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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 求函数极限的方法和技巧摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合；关键词 ： 函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的位置并以各种形式显现而贯穿全部内容 ,因此把握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环；本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合 ,力图在方法的正确敏捷运用方面,对读者有所助益；主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明: 0x2x4x4lim x 2x2x3x212证: 由x2x3x212x22x22x20取就当x2时, 就有2 x3x
2、21x2由函数极限定义有 : 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 2x2x3x2122、利用极限的四就运算性质假设x lim x 0 f x Ax lim x 0 g x BIx lim x 0 f x g x x limx 0 f x x lim x 0 g x A BIIx lim x 0 f x g x lim x x 0 f x x lim x 0 g x A BIII 假设 B 0 就：x lim x 0 g f xx xx limlim xx 00 g f x x B AIV x lim
3、x 0 c f x cx lim x 0 f x cAc 为常数上述性质对于 x , x , x 时也同样成立2例：求 lim x 2 xx 3 x4 52 2x 3 x 5 2 3 2 5 5解: lim x 2 x 4 =2 4 23、约去零因式此法适用于 x x 0 时 , 0 型03 2例: 求x lim2 x x37 xx 2 1616 xx 20123 2 2解: 原式 =x lim 2 xx 3 35 xx 2 106 x x 2 2x x210 6 xx 2012 2 =x lim2 xx 22 xx 2 35 xx 106 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2
4、页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - =lim x 22 x3x10 =lim x2x5 x2x 25x6 x2x3=x lim 2x57x2型x34、通分法适用于例: 求lim x 24421x解: 原式 =lim x 2242xx2x=lim x 222x x2x=lim x 2211x45、利用无穷小量性质法 特殊是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质设函数 fx、gx 满意：为正整数 1I lim x x 0fx 0II gx M M而sin1就：lim x x 0gxfx 0例: 求lim x 0xsin1x解: 由lim x 0x0x故原式 =l
5、im x 0xsin10x6、利用无穷小量与无穷大量的关系；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - I 假设：limfx就limf10xII 假设 : limfx0且 fx 0 就limf1x例: 求以下极限lim x15 0lim x 1 x11lim xx15=0x5解: 由lim x x故由lim x 1x1故lim x 1 x117、等价无穷小代换法设,都是同一极限过程中的无穷小量,且有：,lim存在,就lim也存在,且有lim= lim假设以和、例: 求极限lim x 012cosx2xsinx2x22解:
6、 sinx2x2,1cosx22lim x 012cosx2=x221x2 2 x2xsinx22一般只在以乘积形式显现时可以互换,注： 在利用等价无穷小做代换时,差显现时,不要轻易代换,由于此时经过代换后,往往转变了它的无穷小量之比的“ 阶数”8、利用两个重要的极限；4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - A lim x 0sinx1Blim x11xexx但我们常常使用的是它们的变形：Alimsinx ,1x 0 x Blim11xe ,x x 例：求以下函数极限 9 1 、lim x 0ax12 、lim x
7、0lncosaxalnaxlncosbx解：（1）令ax1u ,就xln1au于是axx1ulnlnln1u又当x0 时,u0故有：lim x 0ax1lim u 0ulnalim u 0lnaulim u 0lnlnaxln1uln11u1uu2 、原式lim x 0ln1cosax1 ln1cosbx1 lim x 0ln1cosax1 cos bx1cosax1cos ax1ln1cosbx1 cos bx1lim x 0cosbx1cosax1lim x 02sin22 bxlim x 0sin2axbx2b22a 22x 2 a2sin2xbxx2a2sin2222bx 22、利用函
8、数的连续性适用于求函数在连续点处的极限；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - i如fx在xx0 处连续,就lim x x0fxfx0ii如fx是复合函数,又fx lim x0xxfa且xfafu在ua处连续,就x lim x 0x lim x 0例：求以下函数的极限 1 、lim x 01excosx5x fx2lim x 0ln 1xx 2 xln 1excosx5x 的定义域之内；解：由于x0属于初等函数1x2ln1故由函数的连续性定义有：6lim x 01excosx15xf0x2ln2、由ln1xln1x
9、1xx1令x11xx故有：x1lnlim x 01x1lne1lim x 0lnx lim x 0ln1xxx10、变量替换法适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型特殊地有：llim x 1xk1mlm 、n、k 、l 为正整数；xn1nkm例：求以下函数极限lim x 11nxm、n N时tlim x2xt3x1m1mx2x1解: 令 t=mn x就当x11, 于是t 1m1原式 =lim t 11tmlim t 11tt21tn1t 1tt2tn1n由于lim x2x3x1=lim x 12 1x12x12x6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料
10、 - - - - - - - - - 令：2x11就x1112tt2lim x2x3 1x1=lim x122 1x1=lim t 01t11e且有 : t22xx11 =lim t 0 1ttlim t 0 1t2e111、利用函数极限的存在性定理定理 : 设在x 的某空心邻域内恒有 gx fx hx x lim x 0gx x lim x 0h xA就极限lim x x 0fx 存在 , 且有x lim x 0fx A例: 求x limxn a1,n0 ax解: 当 x 1 时, 存在唯独的正整数k, 使 k xk+1 于是当 n0 时有 : 及当 xxnk1 n10a0axakknxnk
11、naxak1aka又时,k有anlim kk1 nlim kka1 kak1及k limkn1k limkn1 a010akaka7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - x limxn=0 ax12、用左右极限与极限关系 等情形 ； 适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限定理 ：函数极限lim x x 0fx 存在且等于A 的充分必要条件是左极限lim x x0fx及右极限lim x x 0fx都存在且都等于A；即有：lim x x 0fx Alim x x0fx =lim x x0fx=A 12 ex,x
12、0例：设fx=xx, 0x1求lim x 0fx及lim x 1fx xx 2 x1解：lim x 0fx lim x 0 12 ex1lim x 0fx lim x 0xxxlim x 0x11由lim x 0fx lim x 0fx 1lim x 0fx 1又lim x 1fxlim x 1xxxlim（x 1x1 0lim x 1fxlim x 1x21由f 10f10 lim x 1fx 不存在13、罗比塔法就适用于未定式极限定理：假设8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - ilim x x 0fx ,0li
13、m x x 0gx 0iif 与g 在x 0 的某空心邻域u0x 0 内可导,且gx 0iiix lim x 0f x A A 可为实数,也可为或）,就g xx lim x 0fx lim x x 0fx Agx gx 此定理是对0 型而言,对于函数极限的其它类型,均有类似的法就；0注：运用罗比塔法就求极限应留意以下几点：1、 要留意条件,也就是说,在没有化为0,时不行求导；02、 应用罗比塔法就,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数；3、 要准时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,假设遇到不是未定式,应立刻停止使用罗比塔法就,否就会引起错误；4、当lim x
14、afx 不存在时,本法就失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用gx 另外方法；例： 求以下函数的极限lim x 0ex 12x1 2x limlnxa0,x0ln1x2xa解：令 fx=x e 12x 1 2, gx= ln 1x2fx x e 12x 12, gx 12xx2fx x e 12x 32,gx 2 11x2x22由于f0f00 ,g0g00但f0,2g0 2从而运用罗比塔法就两次后得到9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 0ex12x12lim x 0ex 12x 12lim x 0
15、ex1x2x3221ln1x22x2 1x221x222 1 由lim xlnx,lim xx a1a故此例属于型,由罗比塔法就有：x limlnxx lim1x lim0 a0 ,x0 x a ax1xaax14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说,应用泰勒公式比使用罗比塔法就更为便利,以下为常用的绽开式：1、ex1xx2xnoxn1ox2n1 xnoxn2 .n .2、sinxxx3x51 n1x2n.3.52n1 .3、cosx1x2x41 nx2no x2n1nn.2.424、ln1xxx21 n1xnoxn2n15、1x1x.21 x2n .6、11x1xx2xnoxn上述绽开式
16、中的符号oxn都有 : xa0lim x 0oxn0xn例: 求lim x 0a2xxa解: 利用泰勒公式,当x0有10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1x1xox 2于是lim x 0a2xax1a1xxox1ax=lim x 0a12x1xaax=lim x 0a11 22xox a2ax=lim x 0axoxlim x 021xo22axx15、利用拉格朗日中值定理定理 : 假设函数 f 满意如下条件： I f 在闭区间上连续, 使得 IIf 在a ,b内可导就在 a ,b内至少存在一点ffbfaba
17、此式变形可为 : fbfa faba0sin1xsinx01 即 : ba例: 求lim x 0exesinxx fxxsinx解: 令fxex对它应用中值定理得exsin exfxfsinxxsinexsin exfsinxxsinx 01xsinx11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxx e连续lim x 0fsinxxsinxf 0 1从而有 : lim x 0exesinx1xsinx16、求代数函数的极限方法1 有理式的情形,即假设: ,0b 00 0的s重 根 ,R x Px a0x ma 1x
18、m1a ma0b 0xnb 1n x1b nQ x I 当 x时,有nlim xPx lim xa0xma 1xm1ama0mb 0mn0n1Q x b 0xnb 1xb nmnII当x0时有 : 假设Qx00就lim x 0PxPx0QxQx0为Px假设Qx00而Px00就lim x 0Px Qx 假 设Q0x0,Px00, 就 分 别 考 虑 假 设x0即:Pxxx0sP 1x也为Q x0的 r 重根 , 即 : Qx xx0rQ 1x可得结论如下：0,srx lim x 0P x lim x x 0xx0srP 1x P 1x0,srQ 1xQ 1x 0Qx ,sr例：求以下函数的极限1
19、2 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 2x320 3 x2 30lim x 1x33x22x1 50x44x3解 : 分子,分母的最高次方相同,故lim x 2x320 3 x2 30=2203303301 的重根故有 : 312x1 502502Pxx33x2,P 1 0Qx x44x3 ,Q1 0Px ,Qx 必含有 x-1 之因子,即有lim x 1x2x2lim x 1x33 x2lim x 1xx212x22 3x44 x31x2x2x22 无理式的情形；虽然无理式情形不同于有理式,但求极限
20、方法完全类同,这里就不再一一详述 . 在这里我主要举例说明有理化的方法求极限；例：求lim xxxxx1解: lim xxxxxxxxxx limxxxxx limxxxxxxlim x1111x121xx3二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法,然而,每一道题目并非只有一种方法；因此我们在解题中要留意各种方法的综合运用的技巧,使得运算大为简化；13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例: 求lim x 012cosx2xsinx2 解法一 : lim x 01 xcosx2x2xsinx2lim x
21、 0x2sinx2sinx22sinx2lim x 02xsin22xx2cosx2cosx2lim x 0sinx22=1x2cosx2sinx2x2注: 此法采纳罗比塔法就协作使用两个重要极限法； 解法二 : lim x 012cosx2=lim x 02sin2x2lim x 0sin xx212sinx212 2 x222 2 xxsinx22sinxsinx222x22注：此解法利用“ 三角和差化积法” 协作使用两个重要极限法； 解法三 : lim x 012cosx2lim x 01xcosx2lim x 02xsinx2lim x 02xsinx21xsinx22x24x34xx
22、22注: 此解法利用了两个重要极限法协作使用无穷小代换法以及罗比塔法就 解法四 : lim x 012cosx2lim x 01cosx2x22lim x 0x22x2212 4 xxsinx2x4sinxsinx2注: 此解法利用了无穷小代换法协作使用两个重要极限的方法；14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法五 : lim x 012cosx2lim x 02sin2x2lim x 02x22lim x 01 x24 x412 2 x2xsinx2x2sinx222x注: 此解法利用“ 三角和差化积法” 协作使用无穷小代换法； 解法六 ：令ux2lim u 01cosulim u 0sinsinuulim x 01 xcosx22sinx2usinuuucoslim u 0cosucosuusinu1cosu2注：此解法利用变量代换法协作使用罗比塔法就； 解法七 : lim x 012cosx2lim x 0x2sinx2sinx2lim x 01121xsin2 xcosx2x22tgx注: 此解法利用了罗比塔法就协作使用两个重要极限； 作者 : 黄文羊 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页