《2022年高等数学常用极限求法 2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学常用极限求法 2.docx（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_求函数极限的方法和技巧摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合.关键词： 函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的位置并以各种形式显现而贯穿全部内容 ,因此把握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合 ,力图在方法的正确敏捷运用方面,对读者有所助益.主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义 例:用极限定义证明 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2lim x3x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x22证:由 x3 x21x2x
2、 24 x4x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2x2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0取就当 0x2时, 就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x23x21x2由函数极限定义有 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2lim x3 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x22、利用极限的四就运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 lim f xAlim gxB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0Ilim f xgxxx0limf xlimg xAB可编辑资料 - -
3、 - 欢迎下载精品_精品资料_IIxx0limf xgxxx0lim f xxlimx0g xA B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0xx 0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_III假设 B 0就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xlim f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limxx0A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0 g xlim gxB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_IV xx 0lim cf xc lim f xcAc 为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
4、_xx0xx 0上述性质对于x, x, x时也同样成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：求x 2lim3x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2解:lim3x522=3 255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x4242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、约去零因式此法适用于xx 时, 0 型 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例:求limx3x2 x30x27x 2016 x2016x12可编辑资料 - -
5、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 原式=limx3x210x332 2x226x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x5x6x2x10x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=lim x2 x3x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2 x2 x25x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2= lim2 x2 x3x10 =5x6lim xx2 x5 x22 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= limx57x2
6、 x34、通分法适用于型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例:求412lim 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 4x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:原式 =lim4 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 2x 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=lim2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 2x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= lim11x2 2x45、利用无穷小量性质法 特殊是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷
7、小量的性质设函数 fx、gx满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I limf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_IIg xMM为正整数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就： limg x fx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例:求lim x1sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:由x0xlim x0而sin 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故原式 =x0lim xx1sin0可编
8、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x6、利用无穷小量与无穷大量的关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I 假设：limf x就lim10f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II假设 :limf x0且 fx 0就lim1f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例:求以下极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1lim1 lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx5x1 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:由由lim x5xlim x10故
9、lim10xx5故lim1=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x1 x17、等价无穷小代换法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 , ,都是同一极限过程中的无穷小量,且有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ , ,lim存在,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就lim也存在,且有lim=lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例: 求极限lim 1cos x 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 xsin
10、 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:sin x 2 x 2 ,1cos x 2 x 2 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1cos x2 x2 221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim22 =22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 xsin xx x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 在利用等价无穷小做代换时,一般只在以乘积形式显现时可以互换,假设以和、差显现时,不要轻易代换,由于此时经过代换后,往往转变
11、了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A limsin x11 xB lim 1e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xxx但我们常常使用的是它们的变形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A limsin x x1, x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ B lim 11 x xe, (x) 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：求以下函数极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x(1) 、lim a1(2) 、limln cos ax可编辑资料 - - -
12、 欢迎下载精品_精品资料_x0xxx0 lncos bxln1uax1u ln a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）令 a1 u, 就 x于是ln axln1u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又当 x0时, u0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x故有：lim a1limu ln alimln alimln a1ln a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xu0 ln1uu0 ln1uuu0ln 1u u可编辑资料 - - -
13、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2、原式limln 1cos ax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 ln1cos bx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limln 1cosax1cosbx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0cosax1cosax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln1cosbx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosbx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limcos bx1可编辑资料
14、- - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 cos ax1sin2 a x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim2 sin2x22lima2x 2b2x22 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x0b2sinx 2x0bsinx 2 a x 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b x 229、利用函数的连续性适用于求函数在连续点处的极限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 如f x在xx0处连续,就limf xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
15、ii 如f x 是复合函数,又lim xa且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f u在ua处连续,就limxx 0f xf lim xf a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：求以下函数的极限ex cosx5xx0xx0ln1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 、lim22lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 1xln1xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于 x0属于初等函数f xex cos x52的定义域之内.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1xln1x故由函数的连续性定义有
16、：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limex cos x52f 06可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 1xln1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 、由ln1xx1ln1x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令x1x x 故有：11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limln1xlimln1x xln lim 1x x ln e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0x010、变量替换法适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型特殊的有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l
17、knlim x1mlm 、n、k 、l 为正整数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 1nkx m1例：求以下函数极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ lim 1x m 、nN lim 2 x3 x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nx1 1m xx2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:令 t= mn x就当 x1时t1, 于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mn原式 =lim 1tlim 1t1tt 2 2t
18、m 1mn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t1 1t2 xt1 13 x 1t1tt2x 1tn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于lim x2 x1= lim 1x2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1111令：就x12tt2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim 2x3 x 1 = lim 12 x 1 = lim 11 1t t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 x1x2x1t 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1=lim 1t tlim 11t 2e 1e可编辑资料 - -
19、 - 欢迎下载精品_精品资料_t0t011、 利用函数极限的存在性定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 :设在x0 的某空心邻域内恒有gx fx hx且有 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim g xlimhxA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就极限limf x存在, 且有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0lim f xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0例:求limxnxa1,n0可编
20、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa解:当 x 1 时, 存在唯独的正整数k, 使k x k+1于是当 n0时有 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x nkxa1 n ka可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x nk n及xk 1aak n1kaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又当 x时,k有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nlim k1lim kn1a0 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ka kka k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
21、_k n及limk 1 kak n11klim00kaaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limxnx =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa12、用左右极限与极限关系 适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 ：函数极限lim f x 存在且等于 A 的充分必要条件是左极限limf x 及右极可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0xx 0限 limf x 都存在且都等于A.即有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0lim f xAlimf x =limf
22、 x =A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0xx 0xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：设1f x =x2e x , x0x ,0x1求 limf x 及 limf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 2 , x1x0x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： lim f xlim 12e x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim f xlim
23、xx lim x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0由 lim f xlimxx0f x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0lim f x1x0又lim f xlim xxlim（ x10x1x 1xx1lim f xlim x 21x1x 1由f 10f 10lim f x不存在x113、罗比塔法就适用于未定式极限定理：假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i lim f x0, limgx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii f与g在x0的某空心邻域u
24、0 x内可导,且g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iii limf xA A可为实数,也可为或 ）,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf xlimf xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0g xxx0g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此定理是对0 型而言,对于函数极限的其它类型,均有类似的法就.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：运用罗比塔法就求极限应留意以下几点：1、 要留意条件,也就是说,在没有化为0 ,0时不行求导.可编辑资料
25、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 应用罗比塔法就,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数.3、 要准时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,假设遇到不是未定式,应立刻停止使用罗比塔法就,否就会引起错误.f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、当lim不存在时,本法就失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa gx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另外方法.例： 求以下函数的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ex112 x 2ln x可编辑资料 - - -
26、欢迎下载精品_精品资料_ lim2 lima a0, x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0ln1x xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 fx=e1x12x 2,gx= l2n1x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xe1x12x2 ,g x2 x1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xex12x32 , g x211x2 x2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 f0f 00, g 0g 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但 f 02, g 02从而运用罗比塔法就两次后得到
27、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_exlim112 x 22exlim112 x2exlim312 x2221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0ln1x x02 xx021x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x21x 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 由 limxln x, lim xaxa1故此例属于型,由罗比塔法就有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_alimxln x xlimxa1xaxlim1xax0 a0, x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14、利用泰勒公式n对于求某些不定式
28、的极限来说,应用泰勒公式比使用罗比塔法就更为便利,以下为常用的绽开式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21、 ex1xx2.xo xn n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3x52、 sin xx3.5. 1 n2 nx12 n11.o x2n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_243、 cos x1xx2.4. 1 nx 2n2n .o x2n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x24
29、、 ln1xx25、 1x1x12. 1 n 1 xnnx2o xn 1n.n1 xnoxn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、 11xx 21xxnox n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述绽开式中的符号o xn 都有 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limno x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例: 求 lima2 xax a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x解: 利用泰勒公式,当 x0 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x12于是limao x2 xax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0