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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载转化与化归思想专题复习一学问探究：等价转化是把未知解的问题转化到在已有学问范畴内可解的问题的一种重要的思想方法；通过不断的 转化,把不熟识、不规范、复杂的问题转化为熟识、规范甚至模式法、简洁的问题；1转化有等价转化与非等价转化；等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后 的结果仍为原问题的结果；非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正（如无理方程化 有理方程要求验根） ,它能带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口；2常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；
2、（2）换元法：运用“ 换元” 把非标准形式的方程、不等式、函数转化为简洁解决的基本问题；（3）参数法：引进参数,使原问题的变换具有敏捷性,易于转化；（4）构造法：“ 构造” 一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理,推测问题的结论,易于确定转化的途径；（7）特别化方法：把原问题的形式向特别化形式转化,并证明特别化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：如原问题是某个一般化形式问题的特别形式且有较难解决,可将问题通过一般化 的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决
3、的等价命题,达到转化目的；（ 10）补集法：（正难就反）如过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U,通过解决全集U及补集CUA获得原问题的解决；3化归与转化应遵循的基本原就：（1）熟识化原就：将生疏的问题转化为熟识的问题,以利于我们运用熟知的学问、体会和问题来解 决；（2）简洁化原就：将复杂的问题化归为简洁问题,通过对简洁问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原就：化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（
4、4）直观化原就：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难就反原就：当问题正面争论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解；二命题趋势 数学问题解答题离不开转化与化归,它即是一种数学思想又是一种数学才能,高考对这种思想方法的 考查所占比重很大,是历年高考考查的重点；推测 20XX年高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分别变量,求范畴等；（2）数与形的相互转化：如解析几何中斜率、函数中的单调性等；（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化；（4）显现更多的实际问题向数学模型的转化问题；三题型解读 题型 1：集合问题名师归纳总结 例
5、 1设集合 Mx y x2y21,xR,yR |, Nx y x2y0,xR,yR |,就集合 MN 中元素的个数为（）D4 ）第 1 页,共 6 页 A1 B2 C3 （2）设 A、B、I 均为非空集合,且满意ABI,就以下各式中错误选项（- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 线 x学习必备欢迎下载xx2y21 与抛物A . C A BIB . C AC BIC AC BD. C AC BC B解析：（1）将集合 MN中元素个数的符号语言转化为与之等价的文字语言：圆2y0 交点的个数；因此在同一坐标系内作出圆x2y21 和抛物线 y2 的图象,观看可得选
6、B；（2）将题设条件转化为图形语言,即构造图 1,由图形逐一验证, 得 B项不正确,I B A 故应选 B；点评：对于很多集合问题,通过转化,将不熟识和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题,将抽象的问题转化为详细的直观的问题,便于将问题解决；题型 2：函数问题x5a图 2 例 2关于 x 的方程sin2xcos0在 0, 内有解,求a 的取值范畴；解析：此题就直接解三角方程再确定a 的范畴,简直难以下手,并且繁琐无比,但如转化为求在acos2xcosx1cosx12x ,的取值范畴,问题就简洁易解,通过简洁的运算,24很快得到了a 的取值范畴是5, ；1 4点评：构造函数解题是数学中的常用方法
7、,通过奇妙地构造帮助函数,把原先的问题转化为争论帮助函数的性质,从而达到解题目的；题型 3：不等式问题例 3（ 1）已知 a,b, mR,且 ab,求证： a bma；图 2 mb（2）已知 a0 , b0,且ab1,求证：a1b125；ab4解析：（1）分析 1：a,a m 的形式可以联想到两点连线的斜率,所以可构造斜率来解题；b b m证法 1：如图 2,设 A（b,a）,B（-m,-m）,其中 m 0 ；由于 0 a b ,就直线 OA的斜率： kOAtan1a1b直线 AB的斜率： kABtan2am1bm由于B 在第三象限的角平分线上,所以AB 必与x 轴正半轴相交,且有0124,所
8、以 tan2tan1,即 a bmamb分析 2：a b,a bm的形式与相像三角形中的对应线段成比例类似,所以可联想到构造相像三角形来m解题；名师归纳总结 证法 2：如图 3,在 Rt ABC 和 Rt ADF , ABa , ACb, BDm ,图 3 第 2 页,共 6 页作 CE/BD 交 DF于 E；由于ABCADF,所以a bamamambCFbCEbm（斜边大于直角边）11 2,当 xx , 0 1 时,（ 2）令 f x x1 , x x , 01 ；由于fxf 0 ,所以 f 在（ 0, 1）上是减函数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
9、- 又 0ab1a2b21学习必备欢迎下载1711 4417；251,所以 f abf1,即 ab44ab4所以 ab1 bab1ba17ba2b a172aabab4ab4a b44即原不等式成立；点评： 联想是由一事物联想到另一事物的思维方式和过程,这种联想通常是事物的形式、结构、 范畴、关系等因素作用的结果；由联想而引发的构造称之为联想构造；题型 4：三角问题 A例 4如 0B a4,sincosa,sincosb ,就（a2）的大小比较就简洁多 ab与b2 ab1 D ab2b C解析：如直接比较a 与 b 的大小比较困难,如将a 与 b 大小比较转化为了；由于 a21sin2,b21
10、sin2,又由于 0222、最值、比所以 sin2sin2,所以 a2b2又由于 a,b0,所以 ab,应选（ A）；点评：表达在三角函数中是切化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）较大小等问题；题型 5：数列问题例 5等差数列 an的前 n 项的和为 Sn ,且 S10100 , S10010 ,求 S110 ；,解析：明显公差d0 ,所以 Sn 是 n 的二次函数且无常数项；于是设S nan2bn, a0 ,就a1022bb10100,解得a11；100a10010010b11110所以 S n11n2111n,从而 S110111102111110110 ；10010100
11、10点评：数列是一种特别的函数,动态的函数观点是解决数列问题的有效方法；数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数；如等差数列an的通项公式 ana 1n1 ddna1d前 n 项的和公式 S nna 1n n1 dd n 22a 1d n 2；当 d0 时,可以看作自变量n 的一次和二2次函数；因此利用函数的思想方法去争论数列问题不仅能加深对数列的懂得,也有助于同学解题思维才能的培育及增强应用函数思想解题的意识；题型 6：立体几何问题名师归纳总结 例 6假如,三棱锥PABC中,已知 PABC, PA=BC=l, PA,BC的公垂线 ED=h求第 3 页,共 6 页证三棱锥PABC
12、的体积V12 l h ；6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：如视学习必备欢迎下载P为顶点, ABC 为底面,就无论是S ABC以及高 h 都不好求假如观看图形,换个角度看问题,制造条件去应用三棱锥体积公式,就可走出困境解析：如图,连结 EB,EC,由 PABC,PAED,EDBC=E,可得 PA面 ECD这样,截面 ECD将原三棱锥切割成两个分别以 ECD 为底面,以 PE、AE 为高的小三棱锥,而它们的底面积相等,高相加等于PE+AE=PA=l,所以VPABC=VPECD+VAECD=1 S ECD.AE+1 S ECD.PE=1 S ECD
13、.PA3 3 3=1 .1 BC ED PA= V 1l h ；23 2 6点评：帮助截面 ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解；题型 7：解析几何问题例 7（ 1）设 x、 yR且 3x 2 2y 2 6x,求 x 2 y 2 的范畴；分析：设 k x 2 y 2,再代入消去 y,转化为关于 x 的方程有实数解时求参数 k 范畴的问题；其中要留意隐含条件,即 x 的范畴；解析：由 6x3x 2 2y 20 得 0x2；设 kx 2 y 2 ,就 y 2 k x 2 ,代入已知等式得：x 2 6x2k0 ,即 k1 x 2 3x,其对称轴为 x3；2由 0x2 得 k0,4；所以 x 2
14、y 2 的范畴是： 0x 2 y 2 4；另解：数形结合法（转化为解析几何问题）：2由 3x 2 2y 2 6x 得x 1 2 y 1,即表示如下列图椭圆,其一个顶点在坐标原点；x 2 y 2 的范32围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方；由图可知最小值是 0, 距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点；设圆方程为 x 2y 2 k,代入椭圆中消 y 得 x 2 6x2k0；由判别式 368k0 得k4, 所以 x 2 y 2 的范畴是： 0x 2 y 2 4；再解：三角换元法,对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：2 x 1 cos由 3x 2 2y 2 6x 得x
15、1 2 y3 1,设y 6sin,就2 2x 2y 2 1 2cos cos 2 3 sin 2 132cos 1 cos 2 2 2 21 cos 2 2cos 50,4 2 2所以 x 2 y 2 的范畴是： 0x 2y 2 4；点评：题运用多种方法进行解答,实现了多种角度的转化,联系了多个学问点,有助于提高发散思维才能；此题仍可以利用均值换元法进行解答；各种方法的运用,分别将代数问题转化为了其它问题,属于问题转换题型；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2） ABC的外接圆的圆心为 O ,两条
16、边上的高的交点为 H, OH m（ OA OB OC ）,就实数 m分析：假如用一般的三角形解决此题较难,不妨设 ABC是以A 为直角的直角三角形,就 O 为斜边BC上的中点, H与 A重合, OA OB OC OA OH ,于是得出 m1；点评：这种通过特别值确定一般性结果的思路仍有很多,如归纳、猜想、证明的方法,过定点问题,定值问题也可以用这样的思路；题型 8：详细、抽象问题例 8（ 2004 浙江卷（理）第12 题）：如 f （x）和 g（ x）都是定义在实数集R上的函数,且方程xfg（ x） 0 有实数解,就gf （x）不行能是（）（A）x 2x1（B） x 2 x5分析：此题直接解不
17、简洁,不妨令1（C）x 21（D）x 215 5 5f （x） x,就 f g（x） g（x）,gf （x） g（x）,xf g（x） 0 有实数解即xg（x） 0 有实数解；这样很明显得出结论,B 使 xg（ x） 0 没有实数解,选 B 这种从抽象到详细再到抽象,使同学从心理上感到特别轻松,象这样常见抽象函数式仍有一次函数型f （xy）f （x）f （y）m,对数函数型f （xy） f （x） f （ y）,幂函数型f （xy） f （x）f （ y）；点评：把抽象问题详细化是在数学解题中常有的化归途径,它是对抽象问题的懂得和再熟识,在抽象 语言与详细事物间建立联系,从而实现抽象向详细的化
18、归；题型 9：正难就反转化问题例 9在由数字0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5 整除的数共有个；分析：不能被 5 整除的数要分类争论,情形较多,这时我们不妨换一个角度,从反面入手考虑；留意 到不能被 5 整除实质上是末位数字不是 0,也不是 5；用间接法；1 3 3 1 2 全部四位数有 A 5 A 5300 个,末位为 0 时有 A 560 个,末位为 5 时有 A 4 A 448 个,满意题意的数共有 3006048192 个；点评： 一些数学问题, 假如从条件动身,正面考虑较难较繁,不妨调整摸索方向,从问题的结论入手,或从问题的条件与结论的反面入手进行摸索,
19、迂回地得到解题思路,这叫做“ 正难就反” ；“ 正难就反”是一种重要的解题策略,敏捷用之,能使很多难题、趣题和生活中的问题获得巧解；题型 10：实际应用问题例 10把一块钢板冲成上面是半圆形,下面是矩形的零件,其周长是 面积最大？并求出它的最大面积；分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决；P,怎样设计才能使冲成的零件AB解析：如图,设矩形的一边长为x, 就半圆的周长为x ,矩形的另一边长为 2A O D 1Pxx=2 P42x22B x C 设零件的面积为S,就 S=14x2x2P42x=84x2Px22a0 当xb2P时, S有最大值,这时AB=P4；2a4当矩形的两邻边AB与
20、 BC之比为 12 时, Smax=8P2；2点评：实际问题转化为数学问题,用数学结果说明最终的实际问题；四思维总结 1娴熟、扎实地把握基础学问、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏微小的观看、比较、类比是实现转化的桥梁；培育训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法就有本质上的 深刻懂得和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发觉事物之间的本质联系；“ 抓基础,重转 化” 是学好中学数学的金钥匙；2为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - -
21、- - - - - - 学习必备 欢迎下载结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去熟识问题,又可以从几何的角度去解决问题；3留意紧盯化归目标,保证化归的有效性、规范性 化归作为一种思想方法,应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素；因此,化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、挑选好方法,而设计目标是问题的关键；设计化归目 标时,总是以课本中那些基础学问、基本方法以及在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为 依据,而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）；化归能不能如期完成,与化归方法的选 择有关,同时仍要考虑到化归目标的设计与化归方法的可
22、行性、有效性；因此,在解题过程中,必需始终 紧紧盯住化归的目标,即应当始终考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的；在这个大前提下实施 的化归才是卓有成效的,盲目地挑选化归的方向与方法必将走入死胡同；4留意化归的等价性,确保规律上的正确 化归包括等价化归和非等价化归,等价化归后的新问题与原问题实质是一样的,不等价化归就部分地 转变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正；高中数学中的化归大多要求等价化归,等价化归要 求转化过程中的前因后果既是充分的,又是必要的,以保证转化后的结果为原题的结果；假如在解题过程 中没有留意化归的等价性,就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误；例如在解应用题时 要留意原题中数量的实际意义,在经过数学变换后,应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时 应留意变换的同解性是否仍旧保持；数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程,没有一个统一的模式可以遵循,而是在多方领会、反复 应用的基础上形成的,化归也不例外；同学在解题过程中,必需依据问题本身供应的信息,利用动态的思 维,多方式、多途径、有方案、有步骤地反复渗透,要善于反思解题过程,倒摄解题思维,回味解题中所 使用的思想,去寻求有利于问题解决的化归途径和方法；正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页