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1、复习与回顾一、向量的一、向量的数量积的定义数量积的定义:cosba a0ba0b0a，则则其其夹夹角角为为 ,0二、平面向量二、平面向量数量积的运算律数量积的运算律: 向量向量 和实数和实数 ，则向量的数量积满足：，则向量的数量积满足：, ,a b c 数乘结合律数乘结合律:ba )()()(bababa分配律分配律: baab cba)(cbca 交换律交换律:(2)（3）（1）数量积重要性质数量积重要性质: : eaae(1)|a| cosa2)(b0ba ab=|a|b| cos 设设 ， 都是非零向量，都是非零向量， 是与是与 方向相同的单方向相同的单位向量，位向量，是是 与与 的夹角
2、，则的夹角，则:a bebab（3）当）当 与与 同向时，同向时， = abab 当当 与与 反向时，反向时， =aabbbaba 2aaa baba （5）| |abba22bba2a 22b-a 2)(ba6 )()(baba7（4）cos=2a aaa或或特特别别地地，二、新课讲授二、新课讲授问题展示：问题展示：),(),(2211yxbyxa已知怎样用ba ,的坐标表示呢？请同学们看下列问题.ba 设x轴上单位向量为，Y轴上单位向量为请计算下列式子：ij=ii=jj=ji=ij1001那么如何推导出那么如何推导出 的坐标公式的坐标公式?ba解：解：2211221221jyyjiyxji
3、yxixx2121yyxx)()(2211jyixjyixba 这就是这就是向量数量积的坐标表示向量数量积的坐标表示。由此我。由此我们得到：们得到：两个向量的数量积等于它们对坐两个向量的数量积等于它们对坐标的乘积之和。标的乘积之和。,2211jyixbjyixa 已知：已知：这就是A、B两点间的距离公式两点间的距离公式. 探讨合作1:已知已知 如何将如何将 用其坐标表示？用其坐标表示？ a),(yxa .22yxa 结论结论1:1:若设若设 如何将如何将 用用A、B的坐标表示？的坐标表示？ ),(11yxA),(22yxBAB探讨合作2:,)()(212212yyxx AB结论结论2:2:结论
4、结论3：222221212121cos)(yxyxyyxx 1 cos探讨合作探讨合作3:3:非零非零向量向量 它们的它们的夹角夹角 ，如何用坐标表示，如何用坐标表示 .若若 你又能你又能得到什么结论？得到什么结论？),(),(2211yxbyxa ba 0)(2121 yyxxba20/1221 yxyxba0)(2121 yyxxba2:与与的区别。的区别。例例1.设设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求，求a b，|a|，|b|，和和a, b的夹角的夹角解：解： a b = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.所以所以 =45 |a|=223( 1)10a a |b|=22
5、1( 2)5b b cos =52| |210 5a bab例例2：已知：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（2,5）,求证求证 ABC是直角三角形是直角三角形.想一想：还想一想：还有其他证明有其他证明方法吗？方法吗？证明：证明：031) 3(1ACAB所以所以ABC是直角三角形是直角三角形) 1 , 1 ()23 , 12(AB)3 , 3()25 , 12(AC)2 , 4()35 , 22(BC变式：要使四边形变式：要使四边形ABDC是矩形，求是矩形，求D点坐标点坐标.(2,3)(1, ),ABACkABC 在 ABC中,设且是直角三角形,变形:k的值.变式：变式：所以所以k=13（2
6、）由向量垂直条件得）由向量垂直条件得7(k2) 3=0,所以所以k=177例例3. 已知已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当，当k为何实数时，为何实数时，向量向量kab与与a+3b （1）平行；（）平行；（2）垂直。）垂直。解：解：kab=(k2, 1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得）由向量平行条件得3(k2)+7=0,例4：求与向量 的夹角为45o的 单位向量.) 13, 13(a分析：分析： 可设x=（m, n),只需求m, n. 易知122nm再利用 （数量积 的坐标法）即可！xa )(定定义义xa解：解：设所求向量为 ,由定义知：222845cosxaxa)
7、,(nmx 另一方面nmxa) 13() 13(由由，知知解得：解得：231m211n或或232n212m)21,23(x)23,21(x或或说明：可设说明：可设 进行求解进行求解.)sin,(cosx2) 13() 13(nm2) 13() 13(nm122nm由由练习练习:已知已知a=(4,2) ，求与，求与a 垂直的单位向量垂直的单位向量 。解：设所求向量为解：设所求向量为(x, y), 则则224201xyxy解得解得552 55xy 所求向量为所求向量为52 55 2 5(,)(,)5555或四、演练反馈四、演练反馈6563.D6533.B6533.C6563.AB 1、若 则 与
8、夹角的余弦值 为 （ ）),12, 5(),4 , 3(baab2、已知：求证：)sin,(cos),sin,(cosba)(ba )(ba)()(baba答案：答案：)(ba )(ba0sinsincoscos2222)sinsin,cos(cos)sinsin,cos(cos四、四、小结小结1 1、数量积的坐标表示、数量积的坐标表示 2 2、垂直的条件、垂直的条件1122(,),(,),axybxy 设设两两个个非非零零向向量量则则1212a bx xy y 作业作业:三维设计以及小页三维设计以及小页11221212122100(,),(,),/axybxyabx xy yabx yx y
9、 设设则则课下思考：课下思考：(4)(2, ),(3,4),_ 已知向量且 ， 的夹角为钝角 则 的取值范围是ax ba bx 2.已知已知ABC的顶点坐标为的顶点坐标为A(2，-1),B(3，2) ,C(-3，-1),BC边上的高为边上的高为AD，求，求D点及点及 的坐标的坐标.AD1 11 2( , ),(, )DAD 1 .练习：1若a =0，则对任一向量b ，有a b=02若a 0，则对任一非零向量b ,有a b03若a 0，a b =0，则b=04若a b=0，则a b中至少有一个为05若a0，a b= b c，则a=c6对任意向量 a 有22|aa （1）00 a（3） （4）若 ， 则对于任一非零 有0ab0 ba00 a（2）|baba （5）若 ，则 至少有一个为0 baba、 （6）对于任意向量 都有cba 、）（）（cbacba （7） 是两个单位向量，则ba与22ba0 （8）若 ，则,0acb c c ba 练习：