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1、高考数学概率 易错题辨析一、概念理解不清致错例 1抛掷一枚均匀的骰子，若事件A： “朝上一面为奇数” ，事件B： “朝上一面的点数不超过3” ，求 P（A+B ）错误解法：事件A：朝上一面的点数是1，3，5；事件 B：趄上一面的点数为1，2，3，P（A+B ）=P（A）+P（B）=216363错因分析：事件A：朝上一面的点数是1，3，5；事件 B：趄上一面的点数为1，2，3，很明显，事件A 与事件 B 不是互斥事件。即 P（A+B ） P（A）+P（ B） ，所以上解是错误的。实际上：正确解法为： A+B 包含：朝上一面的点数为1，2，3，5 四种情况P（A+B ）=3264错误解法 2：事件
2、 A：朝上一面的点数为1，3，5；事件 B：朝上一面的点数为1，2，3，即以 A、 B 事件中重复的点数1、3 P（A+B ）=P（A）+P（B） P（A B）=4321212121错因分析： A、B 事件中重复点数为1、3，所以 P（ AB）=62；这种错误解法在于简单地类比应用容斥原理)()()()(BACardBCardACardBACard致错正确解答： P（A+B ） =P（A）+P（B） P（AB）=32622121例 2某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列na，使)( , 1)( , 1次掷出奇数当第次掷出偶数当第nnan，记nnaaaS21求)4, 3, 2, 1(0 iSi且28S
3、的概率。错解：记事件A：28S，即前 8 项中， 5 项取值 1，另 3 项取值 1 28S的概率858)21()(CAP记事件 B：)4, 3,2, 1(0 iSi，将)4, 3, 2, 1(0 iSi分为两种情形：（1）若第 1、2 项取值为 1，则 3，4 项的取值任意（2）若第 1 项为 1，第 2 项为 1，则第 3 项必为 1 第四项任意P（B）=83)21()21(32所求事件的概率为P=P（A） P（ B）=858)21(83C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
4、- 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 错因分析：0iS且28S是同一事件的两个关联的条件，而不是两个相互独立事件。0iS对28S的概率是有影响的，所以解答应为：正解：)4, 3,2, 1(0 iSi前 4 项的取值分为两种情形若 1、3 项为 1；则余下 6 项中 3 项为 1，另 3 项为-1 即可。即8361)21(CP；若 1、2 项为正，为避免与第类重复，则第3 项必为 -1，则后 5 项中只须 3 项为 1，余下 2 项为 -1，即8352)21(CP，所求事件的概率为783536215)21()(CCP二、有序与无序不分致错例 3甲、乙两人参加普法知识竞赛
5、，共有10 个不同的题目，其中选择题6 个，判断题 4 个，甲、乙依次各抽一题。求： （1）甲抽到选择题，乙提到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有1 人抽到选择题的概率是多少？错误解法：（1）甲从选择题抽到一题的结果为16C乙从判断题中抽到一题的结果为14C而甲、乙依次抽到一题的结果为210C所求概率为：1582101416CCC错因分析：甲、乙依次从10 个题目各抽一题的结果，应当是先选后排，所以应为210A。为避免错误，对于基本事件总数也可这样做：甲抽取一道题目的结果应为110C种，乙再抽取余下的 9 道题中的任一道的结果应为19C种，所以正确解答：154191101416CCC
6、C（2）错误解法：从对立事件考虑，甲、乙都抽到判断题的结果为24C种，所以都抽到判断题的概率为1511911024CCC，所求事件的概率为15141511错因分析： 指定事件中指明甲、乙依次各抽一题，那么甲、乙都提到判断题的结果应为1314CC种，所以所求事件概率应为1521191101314CCCC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 说明：对于第（2）问，我们也可以用这样解答：152121024CC，这里启示我们，
7、当基本事件是有序的，则指定事件是有序的（指定事件包含在基本事件中） ；当基本事件是无序的，则指定事件也必无序。关键在于基本事件认识角度必须准确。例 4已知 8 支球队中有3 支弱队，以抽签方式将这8 支球队分为A、B 两组，每组4支，求： A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率。错解 1：将 8 支球队均分为A、B 两组，共有4448CC种方法： A、B 两组中有一组恰有两支弱队的分法为： 先从 3支弱队取 2支弱队，又从 5支强队取 2支强队，组成这一组共有2325CC种方法，其它球队分在另一组，只有一种分法。所求事件的概率为：7344482225CCCC。错因分析：从基本事件的结果数来看，
8、分组是讲求顺序的，那么指定事件：“A、B 组中有一组有2 支弱队”应分为两种情形。即“A 组有”或“ B 组有”，所以正确解答为：正解：76244482225CCCC或76/2244482225ACCCC说明：这道题也可从对立事件求解：3 支弱队分法同一组共有：1515CC种结果。所求事件概率为76144481515CCCC三、分步与分类不清致错例 5某人有 5 把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3 次打开房门的概率？错误解法： 由于此人第一次开房门的概率为51，若第一次未开， 第 2 次能打开房门的概率应为41；所以此人第3 次打开房门的概率为31。错因分析： 此人第 3 次打开
9、房门实际是第1 次未打开，第2 次未打开， 第 3 次打开 “这三个事件的积事件”，或者理解为“开房门是经过未开、未开、开”这三个步骤，不能理解为此事件只有“开房门”这一个步骤，所以，正确解答应为：正解：第1 次未打开房门的概率为54；第 2 次未开房门的概率为43；第 3 次打开房门的概率为31，所求概率为：51314354P。例 5某种射击比赛的规则是：开始时在距目标100m 处射击，若命中记3 分，同时停止射击。若第一次未命中，进行第二次射击，但目标已在150m 远处，这时命中记2 分，同时停止射击；若第2 次仍未命中，还可以进行第3次射击，此时目标已在200m 远处。若第名师资料总结
10、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 次命中则记1 分，同时停止射击，若前3 次都未命中，则记0 分。已知身手甲在100m 处击中目标的概率为21，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。求：射手甲得k 分的概率为Pk，求 P3，P2， P1，P0的值。：设射手射击命中目标的概率P 与目标距离x之间的关系为2xkP，由已知5000100212kk错误解法：213P92150500022P812005000
11、21P14449)811)(921)(211(0P错因分析：求P2时，将第150m 处射击命中目标的概率作为第2 次命中目标的概率，隔离了第1 次射击与第2 次射击的关系， 实际上， 第 2 次射击行为的发生是在第1 次未击中的前提下才作出的。P2应为“第 1 次未击中， 第 2 次击中” 这两个事件的积事件的概率。求 P1 时也如此。正解：213P9192)211(2P144781)921)(211(1P14449)811)(921)(211(0P四、考虑不周致错例 7将 n 个球等可能地放入到N（ nn）个有编号的盒子中（盒子中容纳球的个数不限） 。求 A：某指定的n 个盒子中恰有一球的概
12、率。错误解法：将n 个球等可能地放入到N 个盒子中，共有Nn种方法。而指定的 n 个盆中各有一球的放法有：n!种，则所求概率：mNnAP!)(错因分析：这种解法不全面，如果球是有编号的，则答案是对的。若球是不可辨认的，则答案错了， 若球是不可辨认的， 则若考虑盒子中球的个数而不考虑放的是哪几个球，为此，我们用“”表示一个盒子；用“”表示一个球，先将盒子按编号1 2 3 4 5 n 把 n 个球放入 N 中盒子中， 形如：1010011,10001，正好看作 N+1 个“1”和 n 个“0”的全排列。由于两边必为“1”所以排法只有nnNC1种；而指定的n 个盒子中恰有一球的放法只有 1 种，故)
13、!1()!1( !1)(1nNNnCAPnnN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 五、混淆“互斥”与“独立”出错例 8甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解：设“甲恰好投中2 次”为事件A， “乙恰好投中2 次”为事件B，则两人恰好投中 2 次为 A+B 。所以 P（A+B ）=P（A）+P（B）=825. 03.07. 02. 08.0223223CC。
14、错因分析： 本题解答错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑。将两人都恰好投中2 次理解为“甲恰好投中2 次”与“乙恰好投中2 次”的和。正解：设“甲恰好投中2 次”为事件A， “乙恰好投中2 次”为事件B，则两人恰好都投中 2 次为 AB 。所以 P（AB ）=P（A） P（B）=169.03. 07.02.08.0223223CC六.混淆有放回与不放回致错例 9某产品有3 只次品， 7 只正品，每次取1 只测试，取后不放回，求：（1）恰好到第5 次 3 只次品全部被测出的概率；（2）恰好到第k 次 3 只次品全部被测出的概率)(kf的最大值和最小值。错解： （ 1）P（A）=
15、144161758792103（2）21.0)1031(103)3(2355CP。错因分析：错解（1）的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解（2）的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的（比前一次少一个）。正解： （ 1）201542713103443AACCP（2）),103(),2)(1(2401113143437433ZkkkkACCPkkk当3k时，1201)3(min)(fkf；当3k时，103)10(max)(fkf。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -