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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆锥曲线学问点小结一、椭圆： （1）椭圆的定义： 平面内与两个定点F 1, F2的距离的和等于常数（大于|F 1F2|）的点的轨迹；其中：两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距；留意：2 a|F1F2|表示椭圆；2 a|F 1F2|表示线段F 1F2；2a|F1F2|没有轨迹；（ 2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：标准方程中心在原点,焦点在x 轴上中心在原点,焦点在y 轴上x2y21ab0y2x21 ab022a2b2ab图形Py B 2 A 2 x B2 y PF2 A 1 F1 O F2 A 1 O A 2 x B
2、 1 F1 B 1 名师归纳总结 顶点A 1B 1 a ,00, ,b ,A 2B 2 a , ,00 b A 1B 1 b 0, ,0 a ,A 2B 2 b , 0 0 , a 两第 1 页,共 9 页对称轴x 轴, y 轴；短轴为2 b,长轴为2a焦点F 1c0,F 2c,0F 10,c,F20,c焦距|F 1F2|2cc0 c2a2b2离心率ec0e1 （离心率越大,椭圆越扁）a通径2b2（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）a3常用结论：（1）椭圆x2y21ab0的两个焦点为F 1, F2,过F 的直线交椭圆于A,Ba2b2点,就ABF 的周长 = （2）设椭圆x2y21ab
3、0左、右两个焦点为F 1, F2,过F 且垂直于对称轴的直线a2b2交椭圆于P,Q两点,就P,Q的坐标分别是| PQ|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平面内与两个定点F 1, F 2的距离的差的肯定值等于常数（小于|F 1F2|）的点的轨迹；其中：两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距；留意：|PF1|PF2|2a与|PF2|PF1|2 a（2 a|F 1F 2|）表示双曲线的一支；2 a|F 1F2|表示两条射线；2a|F 1F2|没有轨迹；中心在原点,焦点在y轴上（ 2）双曲线的标准方程
4、、图象及几何性质：中心在原点,焦点在x 轴上y2x21a0 ,b0标准方程x2y21a0,b0a2b2a22b图形Py O A2 F2 x Py F2 B2 F1 A 1 O x B 1 F1 顶点A 1ya ,0 ,A 2a 0,B 10,a,B20,a对称轴F 1c ,0 ,c ,0,c x 轴, y 轴；虚轴为2 b,实轴为2 aF2F2c, 0 F 10,焦点焦距x|F 1F2|2c c0 c2a2b2ece1（离心率越大,开口越大）离心率aabxy渐近线ab通径2 2ba（ 3）双曲线的渐近线：名师归纳总结 求双曲线x2y21的渐近线,可令其右边的1 为 0,即得x2y20,因式分解
5、得到xy0；a2b22b2abay2与双曲线x21共渐近线的双曲线系方程是x2y2；a2b2222第 2 页,共 9 页ab（ 4）等轴双曲线为xy2t2,其离心率为2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载F1, F 2,过F 的直线交双曲线的（ 4）常用结论：（ 1）双曲线x2y21 a0 ,b0 的两个焦点为a2b2同一支于A,B两点,就ABF 的周长 = F 1, F 2,过F 且垂直于对称轴的（2）设双曲线x2y21a0 ,b0 左、右两个焦点为a2b2直线交双曲线于P,Q两点,就P,Q的坐标分别是| PQ|三、抛物线：（ 1）抛物
6、线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹；其中：定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线；（ 2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0焦点在 y 轴上,|y 轴|焦点在 y 轴上,焦点在 x 轴上,焦点在 x 轴上,开口向上开口向下开口向右开口向左标准方程y22pxy22pxx22pyx22pyly PPy ly ly PO x 图形O Fx FO x PFx FlO 顶点O 0 , 0对称轴x 轴F,0p|y0F0 ,p焦点F p 2,0 Fp,0 222e1离心率yp 2准线xpxpyp 2222p通径p焦半径|PF|x0|p|PF22焦点弦名师归纳总结 焦准距|AB|
7、1k2|x 1x2|1px 1x 224 x 1x 21k2|A|第 3 页,共 9 页四、 弦长公式：k2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其中 , A , 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程 , 消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程的判别式和 x 2的系数求弦长步骤：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程,消去 y, 得关于 x 的一元二次 方 程 Ax 2Bx C 0 , 设 A x 1y 1 ,B x 2y 2 , 由 韦 达 定 理 求 出 x 1 x 2 B,Ax 1 x 2 C；（ 3）代入弦长公式运算
8、；A法（二） 如是联立两方程, 消去 x, 得关于 y 的一元二次方程 Ay 2By C 0 , 就相应的弦长公式是：| AB | 1 1 2| y 1 y 2 | 1 1 2 y 1 y 2 24 y 1 y 2 1 1 2k k k | A |2留意（ 1）上面用到了关系式 | x 1 x 2 | x 1 x 2 4 x 1 x 2 和| A |2y 1 y 2 y 1 y 2 4 y 1 y 2| A |留意（ 2）求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高（点到直线的距离）,但如三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的
9、求法名师归纳总结 法（一）：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程,消去y, 得关于 x 的一元二次第 4 页,共 9 页方程Ax2BxC0,设Ax1y 1,Bx2y2,由韦达定理求出x 1x2B；（ 3）设中A点Mx0y0,由中点坐标公式得x0x 12x2；再把xx0代入直线方程求出yy0；法（二）：用点差法,设A x 1y1,Bx2y2,中点Mx0y0,由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过A、 B 两点斜率公式,列出5 个方程,通过相减,代入等变形,求出x 0, y 0；六、求离心率的常用方法：法一,分别求出a,c ,再代入公式法二、建立a,b,c满意的关系,消去b, 再化
10、为关于e 的方程,最终解方程求e 求 e 时,要留意椭圆离心率取值范畴是0 e 1,而双曲线 离心率取值范畴是e 1 例 1：设点 P 是圆x2y24上的任一点,定点D 的坐标为（ 8,0）,如点 M 满意PM2MD 当点 P 在圆上运动时,求点M 的轨迹方程- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解 设点 M 的坐标为 ,x y,点 P 的坐标为 x 0 , y 0,由 PM 2 MD ,得 x x 0 , y y 0 2 8 x , y,即 x 0 3 x 16,y 0 3 y 由于点 P x 0 , y 0 在圆 x 2y 24 上,
11、所以 x 0 2 y 0 2 4即 3 x 16 23 y 24,2即 x 16 y 2 4,这就是动点 M 的轨迹方程3 9例 2：已知椭圆的两个焦点为（-2, 0）,（ 2,0）且过点 5, 3,求椭圆的标准方程2 22 2解法 1 由于椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 x2 y2 1 a b 0,a b由椭圆的定义可知：2 a 5 2） （2 3 0）2 5 2） （2 3 0）22 102 2 2 22 2a 10 又 c 2, b 2a 2c 26 所以所求的标准方程为 x y110 62 22 2 2 2 x y解法 2 c 2, b a c a 4,所以可设所求的方程
12、为 2 2 1,将a a 42 2点 5, 3 代人解得：a 10 所以所求的标准方程为 x y12 2 10 6例 3.名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 4.习题： 1已知椭圆长半轴与短半轴之比是 标准方程是（）5：3,焦距是 8,焦点在 x 轴上,就此椭圆的名师归纳总结 （A）x2y21（ B）x2y21 （ C）x2y21 （D）x2y21 第 6 页,共 9 页53259359252以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点,就椭圆的离心率是（）（A）1（B）2（C）3（D）322233. 已
13、知椭圆 x 22y 2 m,就以下与m 无关的是（）（A）焦点坐标（B）准线方程（C）焦距（ D）离心率4.椭圆 mx 2y 21 的离心率是3 ,就它的长半轴的长是（2）（ A）1 （B）1 或 2 （ C）2 （D） 2 1 或 1 5椭圆的中心为O,左焦点为F 1,P 是椭圆上一点,已知PF1O 为正三角形,就P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（）（ A）3 1 （B）33（C）3（D）1 6.如椭圆3x212y2=1 的准线平行于y 轴,就 m 的取值范畴是；mm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载7椭圆的长半轴是短半轴的
14、3 倍,过左焦点倾斜角为 30 的弦长为 2 就此椭圆的标准方程是；8. 椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上, 如椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距, 又已知直线 2xy4=0 被此椭圆所截得的弦长为 4 5,求此椭圆的方程；39. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率 e= 2 ,长轴长为 6,那么椭圆的方程是（）；3（ A）x 2+ y 2=1 （B）x 2+ y 2=1 或 x 2+ y 2=1 36 20 36 20 20 36（ C）x 2+ y 2=1 （D）x 2+ y 2=1 或 x 2+ y 2=1 9 5 9 5 5 910 椭圆 25x 216y 2=1
15、的焦点坐标是（）；1 3 3（ A） 3, 0 （B）, 0 （C）, 0 （D）0, 3 20 2011. 曲线 x 2y 2=1 与曲线 x 2y 2=1 k4 （D）x2y2 1 x3 169916- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 8 页,共 9 页19 双曲线x2y21 的渐近线方程是 3649（A）x 36y 0 （B）49y 36x 0 49（C）x 6y 0 7（D）x 7y 0 620. 双曲线 x 2ay2 1 的焦点坐标是（）（ A）1a, 0 , 1a, 0 （B）1a, 0, 1a, 0 （ C
16、）（aa1, 0）,（aa1, 0）（D）aa1, 0, aa1, 0 21. 设双曲线x2y21ba0的半焦距为c,直线 l 过a, 0、 0, b两点,已知原点到a2b2直线 l 的距离是3c,就双曲线的离心率是（）4（ A）2 （B）3（ C）2（D）23322. 双曲线x2y21 的离心率是；9723, 已知方程x2k+2y2k=1 表示双曲线,就k 的取值范畴是；324.双曲线 4x 2y2=1 的渐近线方程是（）；9（ A）y=2x（B）y=1x（C）y=3x（D）y= 6x36225. 如双曲线与椭圆x 2 4y2=64 共焦点, 它的一条渐近线方程是x3 y=0,就此双曲线的标
17、准方程只能是（）；（A）x2y2=1（B）y2x2=1 （C）x2y2= 1 （ D）y2x2= 1 361236123612361226和椭圆x2y2=1 有共同焦点,且离心率为2 的双曲线方程是（）；259（ A）x2y2=1 （B）x2y2=1 （C）x2y2=1（D）x2y2=1 41441261461227. 双曲线的两准线间的距离是它的焦距的1 ,就它的离心率为 3；28. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段,就离心率e= ；29. 中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过1, 3的等轴双曲线的方程是；30. 渐近线是x 3y =0,且经过 P6 42 , 8的双曲线方程是；- -
18、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载31. 和椭圆 x 2y 2=1 有公共的焦点,离心率 e= 5 的双曲线方程是；9 4 232. 59. 实系数一元二次方程 ax 2bxc=0 的系数 a、b、c 恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距,且此二次方程无实根,求双曲线离心率 e 的范畴；2 233. 过双曲线 xy=1 的左焦点 F1,作倾斜角为 的直线与双曲线交于两点 A、B,9 16 4求|AB|的长；34. 抛物线 y 2=8x 的准线方程是（）；（ A）x=2 （B）x=2 （C）x= 4 （D）y=2 35.AB 是过抛物线 y 2
19、4x 焦点 F 的弦,已知 A,B 两点的横坐标分别是 x1 和 x2,且 x1x26 就|AB|等于（）（ A）10 （B） 8 （C）7 （D）6 36. 经过（ 1,2）点的抛物线的标准方程是（）（A）y 24x（B）x 21y C y 24x 或 x 21y D y 24x 或 x 24y2 237.顶点在原点,焦点是 F6, 0的抛物线的方程是；38. 抛物线 x 24y 的焦点为 F, A 是抛物线上一点,已知 |AF|42 2 ,就 AF 所在直线方程是；239,抛物线 y=x 的准线方程是（）；81 1（ A）y=（ B）y=2 （C）y=（D）y=4 32 440. 已 知
20、点 2, 3 与抛 物 线 y 2=2px p0 的焦 点 的 距 离是 5 , 就 抛物 线 的 方 程是；41. 抛物线 x 2=4y 上有一点 Q 到焦点的距离为 3,那么 Q 点的纵坐标是（）；（ A） 2 （B）2 （C）4 （D）1 42. 假如抛物线 y 2=px p0和圆 x2 2y 2=3 在 x 轴上方相交于 A、B 两点, 且弦 AB 的中点 M 在直线 y=x 上,求抛物线的方程；名师归纳总结 43. 抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且点5, 25 在抛物线上,就抛物线的方第 9 页,共 9 页程为（）；y （D）x 2=4y（A）y 2=4x（B）x 2=5 y（C）y 2=4x 或 x2=52544. 抛物线 y=4x 2 的准线方程是（）；1（ A）x=1 （B）y=1 （ C）x=1（D）y=1616- - - - - - -