2022年高三不等式复习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载20XX 届高三数学专题复习不等式一、本章学问结构：不 等式 的性 质比较法 综合法分析法不均 值 不 等 式不 等 式 的 证 明放缩法 反证法 换元法 函数法一元一次不等式 组 不 等 式 的 应 用函数的定义域、值域与单调性取值范畴问题最值问题等不 等 式 的 解 法有理不等式一元二次不等式 组 方程根的分布式整式高次不等式 组 数列不等式、函分式高次不等式 组无理不等式数不等式的证明指数不等式 组 实际应用问题超越不等式肯定值不等式对数不等式 组 三角不等式 组 线性规划二、考试内容1 懂得不等式的性质及其证明；2

2、 把握两个 不扩展到三个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简洁的应用；（即基本不等式的应用）3 把握分析法、综合法、比较法证明简洁的不等式；4 把握简洁不等式的解法；5 懂得不等式 a- b a+b a + b ；三、重点学问回忆1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础不等式的基本性质有：（1）对称性： ab bb,bc,就 ac；（3）可加性： ab a+cb+c；（4）可乘性： ab,当 c0 时, acbc；当 c0 时, acb,cd,就 a+cb+d ；第 1 页,共 12 页（2）异向相减：ab,cdacbd. （3）正数同向相乘：如ab0,cd0 ,就 a

3、cbd；（4）乘方法就：如ab0,nN +,就anbn；（5）开方法就：如ab0,nN +,就nanb；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （6）倒数法就：如优秀学习资料欢迎下载ab0,ab,就11；ab2、基本不等式（或均值不等式）a 2+b22ab（a,bR）,该不等式可推广为a 2+b22|ab|；或利用完全平方式的性质,可得变形为 |ab|a22b2；或 aba2b2. 当 a, b0 时, a+b2ab3、不等式的证明（1）不等式证明的常用方法：比较法,公式法,分析法,反证法,换元法,放缩法；（2）在不等式证明过程中,应留意与不等式的运算性质联

4、合使用；（3）证明不等式的过程中,放大或缩小应适度；4、 不等式的解法 解不等式是查找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒 等；一元二次不等式（组）是解不等式的基础,一元二次不等式是解不等式的基此题型；一元二次 不等式与相应的函数,方程的联系ax2求一般的一元二次不等式2 axbxc0或ax2bxc0a0的解集,要结合bxc0的根及二次函数yax2bxc 图象确定解集b24a c, 它 的 解 按 照对 于 一 元 二 次 方 程2 a xb xc 0 a0 , 设0,0,0可分为三种情形 相应地, 二次函数y2 axbxc a0的图象与 x 轴的位 置 关 系

5、也 分 为 三 种 情 况 因 此 , 我 们 分 三 种 情 况 讨 论 对 应 的 一 元 二 次 不 等 式ax2bxc0a0的解集,列表如下：含参数的不等式应适当分类争论；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载5、不等式的应用 相当广泛,如求函数的定义域,值域,争论函数单调性等；在解决问题过程 中,应当善于发觉详细问题背景下的不等式模型；用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一；争论不等式结合函数思想,数形结合思想,等价变换思想等；6、线性规划问题的解题方法和步骤

6、解决简洁线性规划问题的方法是图解法,直线）与平面区域（可行域）有交点时,直线在下：（1）设出未知数,确定目标函数；即借助直线 （线性目标函数看作斜率确定的一族平行 y 轴上的截距的最大值或最小值求解；它的步骤如（2）确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域；（3）由目标函数zaxby 变形为 yaxz ,所以,求 z 的最值可看成是求直线 byaxbbz 在 y 轴上截距的最值（其中 ba、b 是常数, z 随 x,y 的变化而变化） ；（4）作平行线： 将直线 axby0 平移（即作 axby0 的平行线）,使直线与可行域有交点,且观看在可行域中使z 最大（或最小）时所

7、经过的点,求出该点的坐标；bz 的最大（或最小）值；（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数,从而求出7、肯定值不等式（1） x a（a0）的解集为： x a xa；x a（a0）的解集为： x xa 或 x a；（2）|a|b|ab|a|b|四、考点剖析 考点一 ：不等关系与不等式【内容解读 】通过详细情境, 感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,明白不等（组）的现实背景；明白不等式的有关概念及其分类,把握不等式的性质及其应用；n养成推理必有依据的良好习惯,不要想当然,不要错漏不等式性质使用的条件,如ab0,Nanbn中,留意后面大于的条件,出题者往往就在这里出一些似是而

8、非的题目来困惑考生【命题规律 】高考中,对本节内容的考查,主要放在不等式的性质上,题型多为挑选题或填空 题,属简洁题；例 、设a,bR,如ab30,就以下不等式中正确选项（a2）0Aba0b2B. a3b0C. ba0D. 解：由ab0知, abb,所以ba0,应选 C. 点评 ：此题考查肯定值的概念和肯定值的性质,假如用特别值法也能求解；名师归纳总结 例 2、已知a b 为非零实数,且ab,就以下命题成立的是 第 3 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A、a2b2B、2 a bab2优秀学习资料欢迎下载D、b aaC、121ab2 a

9、 bb解：取 a 3,b,由（） （）（）都错,故（C）；点评 ：特别值法是解挑选题的一种技巧,在应试时要时刻牢记有这么一种方法；这里 a,b 没 有说明符号,留意不要错用性质；考点二 ：一元二次不等式及其解法【内容解读 】会从实际情形中抽象出一元二次不等式的模型,明白一元二次不等式与函数方程 的联系；会解一元二次不等式,会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式,分类解不等式；对解含参的不等式,对参数进行争论；留意数形结合,会通过函数图象来解不等式（1）用图象法解一元二次不等式教材中在争论一元二次不等式的解法时,是结合二次函数的图象,利用对应的一元二次方程的解得出的,所以我们学习一

10、元二次不等式的解法时,应从二次函数图象动身加以懂得（2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系二次函数yax2bxc a0是争论自变量x 与函数值y 之间的对应关系,一元二次方程的解就是自变量为何值时,函数值y0的这一情形；而一元二次不等式的解集是自变量变化过程中,何时函数值y0（y0）或y0（y0）的情形一元二次方程ax2bxc0a0的解对研究二次函数yax2bxc a0的函数值的变化是非常重要的,由于方程的两根x 1,x 2是函数值由正变负或由负变为正的分界点,也是不等式解的区间的端点学习过程中, 只有搞清三者之间的联系,才能正确熟识与懂得一元二次不等式的解法【命题规律

11、】高考命题中,对一元二次不等式解法的考查,如以挑选题、填空题显现,就会对 不等式直接求解,或常常地与集合、充要条件相结合,难度不大；如以解答题显现,一般会与参数 有关,或对参数分类争论,或求参数范畴,难度以中档题为主；例 、不等式x2x 的解集是（）,01,A ,0B 0 1C 1,D 解：原不等式可化为x2 x,即 x（x）,所以x或 x,选（） 点评 ：这是一道很简洁的一元二次不等式的试题,只要知道它的解法即可例 、“x2” 是“x2x60” 的什么条件 （）再由充分必A充分而不必要B必要而不充分C充要D既不充分也不必要解：由 |x 2,得： 2x2,由x2x60得： 2x3,2x2 成立

12、,就 2x3 肯定成立,反之就不肯定成立,所以,选（）；点评 ：此题是不等式与充分必要条件结合的综合考查题,先解出不等式的解集来,要条件的判定方法可得；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - x2例 、不等式2x 22x41优秀学习资料欢迎下载的解集为2解：原不等式变为2x 22x421,由指数函数的增减性,得：2x41x3x10x 3,1,所以填： 3,1 ；点评 ：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是常常考查的内容,应加强训练；例 6、已知集合Ax x25x40,Bx x22axa20,如

13、BA ,求实数 a 的取值范畴解：A2 x x5x40x|1 4留意设f x x22axa2,它的图象是一条开口向上的抛物线（1）如 B,满意条件,此时0 ,即4a24a20,解得1a2；（2）如 B,设抛物线与x 轴交点的横坐标为x 1,x2,且x 1x 2,欲使 BA,应有x x 1 x2x| x4,f10,f40,结合二次函数的图象,得12a4,20,12aa20,即428 aa20,解得2a181a4,74a24a20,综上可知 a 的取值范畴是1,187点评 ：此题是一元二次不等式与集合结合的综合题,考查含参数一元二次不等式的解法,分类争论思想的应用,分类时做到不遗漏；考点三 ：简洁

14、的线性规划【内容解读 】明白二元一次不等式（组）表示的平面区域和线性规划的意义；明白线性约束条 件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；明白线性规划问题的图解法,并能应用 线性规划的方法解决一些简洁的实际问题,以提高解决实际问题的才能生产实际中有很多问题都可以归纳为线性规划问题在线性规划的实际问题中,主要把握两种类型：一是给定肯定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,能使完成的任务量最大,收到 的效益最大；二是给定一项任务,问怎样支配,能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - -

15、 - - 优秀学习资料 欢迎下载【命题规律 】线性规划问题时多以挑选、填空题的形式显现,题型以简洁题、中档题为主,考 查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深化,近年来,以解答题的形式来考查的试题也时 有显现,考查同学解决实际问题的才能；x01 时,动直线例 7、如 A为不等式组y0表示的平面区域,就当a 从 2 连续变化到yx2xya 扫过 A中的那部分区域的面积为 A 3 4B1 C7 4D5 解：如图知区域的面积是OAB 去掉一个小直角三角形；（阴影部分面积比1 大,比SOAB12 22小,应选 C,不需要算出来）2点评 ：给出不等式组, 画出平面区域, 求平面区域的面积的问题是经

16、常考查的试题之一,假如区域是不规节图形,将它分割成规节图形分别求它的面积即可；2xy40, y 轴例 8、如变量 x,y 满意x2y50,就 z=3x+2y 的最大值是x0 ,y0 ,A90 B. 80 C. 70 D. 40 解:做出可行域如下列图.目标函数化为：y3xz,22令 z,画 y3x,及其平行线,如右图,当它经过两2直线的交点时,取得取大值；解方程组2x2y40,得x10. xy50y20z,画它的平行线,看所以zmax31022070,故答 C. 点评 ：求最优解,画出可行域,将目标函数化为斜截式,再令上的截距的最值,就是最优解；例 9、本公司方案20XX 年在甲、乙两个电视台

17、做总时间不超过300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个名师归纳总结 电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为0.3 万元和 0.2 万元问该公司如第 6 页,共 12 页何安排在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和 y 分钟,总收益为z 元,由题xy300,意得500x200y90000,x ,0y0.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载y

18、 500 目标函数为z3000x2000y l 400 M xy300,300 二元一次不等式组等价于5x2y900,x ,0y0.200 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域100 如图：作直线l:3000x2000y0,0 100 200 300 x 即 3x2y0平移直线 l ,从图中可知,当直线l 过 M 点时,目标函数取得最大值联立xxy300,解得x100,y200200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益52y900.点 M 的坐标为 100 200z max3000x2000y700000（元）答：该公司在甲电视台做100 分钟广告,在乙电视台做是 70 万元点评 ：

19、用线性规划的方法解决实际问题能提高同学分析问题、解决问题的才能,随着课改的深入,这类试题应当是高考的热点题型之一；考点四 ：基本不等关系【内容解读 】明白基本不等式的证明过程,法、分析法、比较法证明不等式；会用基本不等式解决简洁的最值问题,懂得用综合利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：（1）当 a,b 都为正数,且 ab为定值时,有 a b2 ab（定值）,当且仅当 a b 时,等号成立,此时 a b 有最小值；2（2）当 a,b 都为正数,且 a b 为定值时,有 ab a b （定值）,当且仅当 a b 时,4等号成立,此时 ab有最大值创设基本不等式使用的条件,合理拆分项或配凑因

20、式是常常用的解题技巧,而拆与凑的过程中,一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必需使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当 a=b 时,等号成立）,它具有肯定的敏捷性和变形技巧,高考中常被设计为一个难点【命题规律 】高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法,单纯不等式的命题,主要显现在挑选题或填空题,一般难度不太大；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 10、已知 x,yR+,且x优秀学习资料欢迎下载4y1,就 xy 的最大值是A解：xy 1x 4 y 1 x 4 y 2 1, 当且仅当 x

21、=4y=1 时取等号 .4 4 2 16 2点评 ：此题考查基本不等式求最值的问题,留意变形后使用基本不等式；3b2,例 11、已知a0 ,b0 ,且ab2 ,就（）ab1B ab1Ca2b22D a2b222解：由a0,b0,且ab2,4ab2a2b22ab2a2a2b22；点评 ：本小题主要考查不等式的重要不等式学问的运用；代入例 12 、已知x y zR ,x2y3z0,就y2的最小值xz解：由x2y3z0得yx23 z,x 3 z 时取“ ” y2得x29z26xz6xz6xz3,当且仅当xz4xz4xz点评 ：本小题考查二元基本不等式的运用题目有有三个未知数,通过已知代数式,对所求式

22、 子消去一个未知数,用基本不等式求解；考点五 ：肯定值不等式【内容解读 】把握肯定值不等式它内容的综合；x a, x a（a0）的解法,明白肯定值不等式与其【命题规律 】本节内容多以挑选、填空题为主, 有时与充分必要条件相结合来考查,难度不大；例 13、“ |x1|2” 是“x3” 的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件解：由 |x1|2 得 x,在x的数都有 x,但当 x时,不肯定有 x,如 x,所以选（） 点评 ：此题考查肯定值不等式的解法,充分条件必要条件的解法,可以用特别值法来验证,充分性与必要性的成立；名师归纳总结 例 14 、不

23、等式2 xx2的解集为 2,1x2（）2,2R2,第 8 页,共 12 页（）1,2（）1,1（）解：2 xx22x2x2即2 x0 0,x1xx2x2x1,2应选 A ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载点评 ：此题重点考察肯定值不等式的解法；键,可用公式法,平方法,特值验证剔除法；考点六 ：不等式的综合应用精确进行不等式的转化去掉肯定值符号为解题的关【内容解读 】用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题,如求最值,证明不等式等；【命题规律 】不等式的综合应用多以应用题为主,属解答题,有肯定的难度；例 1

24、5、如图,某单位用木料制作如下列图的框架 ,框架的下部是边长分别为 ,x y 单位 :米的矩形,上部是斜边长为 x 的等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为 8 平方米 . （）求 ,x y的关系式,并求 x 的取值范畴；（）问 ,x y分别为多少时用料最省 . 解：（）由题意得：x y 1 x x 8 x 0, y 0, x2 28 xy ,x 4（）设框架用料长度为 l,就 l 2 x 2 y 2 x 32 x 1 64 6 4 2 8 4 2.2 x当且仅当（32）x 16, x 8 4 2 , y 2 2, 满意 0 x 4 2.2 x答：当 x 8 4 2 米,y 2 2 米时,用料

25、最少 .点评 ：此题考查利用基本不等式解决实际问题,是面积固定,求周长最省料的模型,解题时,列出一个面积的等式,代入周长所表示的代数式中,消去一个未知数,这是常用的解题方法；例 16、某化工企业20XX 年底投入100 万元,购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费肯定的保护费,第一年的保护费为 每年的保护费都比上一年增加 2 万元2 万元,由于设备老化,以后（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解：（1）y即100x0 . 5x2x460）；2x

26、y1001（x.5x（2）由均值不等式得：名师归纳总结 yx1001 .52x10015.21.5（万元）第 9 页,共 12 页xx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当且仅当x100,即x优秀学习资料欢迎下载10时取到等号x答：该企业 10 年后需要重新更换新设备点评 ：此题又是基本不等式的一个应用,第一问求出函数关系式是关键,其次问难度不大；考点七 ：不等式的证明【内容解读 】证明不等式的方法敏捷多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系,挑选适当的证明方法,要熟识各种证法中的推理思维,并把握相应的

27、步骤,技巧和语言特点比较法的一般步骤是：作差 商变形判定符号值【命题规律 】不等式的证明多以解答题的形式显现,属中等偏难的试题；例 7、已知 a, b 都是正数,并且 a b,求证： a 5 + b 5 a 2b 3 + a 3b 2证明 ：a5 + b 5 a 2b 3 + a 3b 2 = a 5a 3b 2 + b 5a 2b 3 = a 3 a 2b 2 b 3 a 2b 2 = a 2b 2 a 3b 3 = a + ba b 2a 2 + ab + b 2 a, b 都是正数, a + b, a 2 + ab + b 2 0 又 a b, a b 2 0 a + ba b 2a 2

28、 + ab + b 2 0 即： a 5 + b 5 a 2b 3 + a 3b 2点评 ：作差相减法是证明不等式的常用方法之一,通过作差比较差的结果的符号是大于 0 仍是小于 0,另外,作商也是常常使用的方法；例 18、已知a1,b1 2且ab1,求证2a12 b1222证明 ：只需证：2 a1 2 b1 22a12b18ab1即证：2a12 b12成立2 a12 b12 a1 2 b1 22原不等式成立 . 点评 ：用分析法证明不等式也是常用的证明方法,通过分析法,能够找到证明的思路；例 19、已知 m,n 为正整数 . 名师归纳总结 （）用数学归纳法证明：当x-1 时, 1+xm1+mx

29、；第 10 页,共 12 页（）对于n6,已知1n13n1,求证1m3n1m,m=1,1,2 ,n；2n2（）求出满意等式3n+4m+ +n+2m=n+3n的全部正整数n. 解：（）证：当x=0 或 m=1 时,原不等式中等号明显成立,下用数学归纳法证明：当 x-1,且 x 0 时, m2,1+ xm1+mx. 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载i 当 m=2 时,左边 1+2x+x 2,右边 1+2x,由于 x 0,所以 x 20,即左边 右边,不等式成立；（ii ）假设当 m=kk2时,不等式成立, 即（1+x）k1+kx,

30、就当 m=k+1 时, 由于 x-1,所以 1+x0.又由于 x 0,k2,所以 kx 20. 于是在不等式（1+x）k1+kx 两边同乘以1+x 得nn1m,3 n 0成立,（1+x）k1+x1+ kx1+ x=1+ k+1x+kx 21+k+1x, 所以（ 1+x）k+11+k+1x,即当 mk+1 时,不等式也成立. 综上所述,所证不等式成立. 证：当n6 ,mn 时,（1n1m）31, 1n13m 22而由（）, 1n13m1nm320n0 1nm3n 1n1 3mn1m .2（）解：假设存在正整数n06使等式3n04n0n 0即有（n 03n0） +n043n0n 02n01.3n

31、03又由（）可得（n 033n 0）+n 043n0n02n01nn03n01n 01n0n 030n03+1n 013n 01n01n01111,1与式冲突,2222n0故当 n6 时,不存在满意该等式的正整数n. 故只需要争论n=1,2,3,4,5 的情形；当 n=1 时, 3 4,等式不成立；当 n=2 时, 32+4252,等式成立；. 34+44+54+64 74,等式不成立；当 n=3 时, 33+43+53 6 3,等式成立；4+6 4 为偶数,而 7 4 为奇数,故当 n=4 时, 34+44+5当 n=5 时,同 n=4 的情形可分析出,等式不成立综上,所求的n 只有 n=2

32、,3. 点评 ：此题考查数学归纳法、不等式的基本、反证法等内容,难度较大；五、方法总结与 20XX 年高考猜测（一）方法总结1娴熟把握不等式的基本性质,常见不等式如一元二次不等式,肯定值不等式等的解法,不等式在实际问题中的应,不等式的常用证明方法2数学中有很多相像性,如数式相像,图形相像,命题结论的相像等,利用这些相像性,通过构造帮助模型,促进转化,以期不等式得到证明；可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载形等数学模型, 针对欲证不等式的构特点,挑选恰当的

33、模型,题,顺当解决不等式的有关问题；（二） 20XX 年高考猜测将不等式问题转化为上述数学模型问在近年的高考中,不等式的考查有挑选题、填空题、解答题都有,不仅考查不等式的基础知 识,基本技能,基本方法,而且仍考查了分析问题、解决问题的才能；解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题,函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答,函数不等式相结合的题目,多是先以直觉思维方式定方向,以递推、数学归纳法等方法解决,具有肯定的敏捷性；由上述分析,估计不等式的性质,不等式的解法及重要不等学问将以挑选题或填空的形式出 现；解答题可能显现解不等与证不等式；假如是解不等式含参数的不等式可能性比较大,假如是证

34、明题将是不等式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题,用导数解答这类问题仍旧值得重 视；六、复习建议 、不等式的证明题题型多变,证明思路多样,技巧性较强,加之又没有一劳永逸、放之四海而皆准的程序可循,所以不等式的证明是本章的难点. 攻克难点的关键是娴熟把握不等式的性质和基本不等式,并深刻懂得和领悟不等式证明中的数学转化思想 . 在复习中应把握证明不等式的常用思想方法：比较思想；综合思想；分析思想；放缩思想；反证思想；函数思想；换元思想；导数思想 . 、在复习解不等式过程中,留意培育、强化与提高函数与方程、等价转化、分类争论、数形结合的数学思想和方法,逐步提升数学素养,提高分析解决综合问题的才能 . 能根椐各类不等式的特点,变形的特别性,归纳出各类不等式的解法和思路以及详细解法；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页