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1、2011 届高三数学专题复习不等式一、重点知识回顾1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础不等式的基本性质有：（1） 对称性： abbb，bc，则 ac；（3） 可加性： aba+cb+c；（4） 可乘性： ab，当 c0 时， acbc；当 c0 时， acb，cd，则 a+cb+d；（2） 异向相减：ba，dcdbca. （3） 正数同向相乘：若ab0，cd0，则 acbd。（4）乘方法则：若ab0，nN+，则nnba；（5）开方法则：若ab0，nN+，则nnba；（6）倒数法则：若ab0，ab，则b1a1。2、基本不等式（或均值不等式）利用完全平方式的性质，可得a2+b22ab（a
2、，bR） ，该不等式可推广为a2+b22|ab|；或变形为 |ab|2ba22；当 a，b0 时， a+bab2或 ab22ba. 3、不等式的证明（1） 不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2） 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；（3） 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。4、 不等式的解法解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系求一般的一元二次不等式20axbxc或20axbxc
3、(0)a的解集， 要结合20axbxc的根及二次函数2yaxbxc图象确定解集对于一元二次方程20(0)axbxca，设24bac，它的解按照00，可分为三种情况 相应地，二次函数2(0)yaxbxc a的图象与x轴的位置关系也分为三种情况因此，我们分 三 种 情 况 讨 论 对 应 的 一 元 二 次 不 等 式20axbxc(0)a的解集，列表如下：含参数的不等式应适当分类讨论。5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
4、页，共 29 页等式模型。用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。6、线性规划问题的解题方法和步骤解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线 （线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域 （可行域） 有交点时，直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：（1）设出未知数，确定目标函数。（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。（3）由目标函数zaxby 变形为 ybaxbz， 所以，求 z 的最值可看成是求直线ybaxbz在 y 轴上截距的最值 （其中 a、b
5、 是常数， z 随 x，y 的变化而变化） 。（4）作平行线：将直线axby0 平移（即作axby0 的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使bz最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（或最小）值。7、绝对值不等式（1） x a（a0）的解集为： x axa；x a（a0）的解集为： x xa 或 x a。（2）|b|a|ba|b|a|二、考点剖析考点一 ：不等关系与不等式【内容解读 】养成推理必有依据的良好习惯，不要想当然，不要错漏不等式性质使用的条件，如0ba，Nnnnba中，注意后面大于的条件，出题者
6、往往就在这里出一些似是而非的题目来迷惑考生【命题规律 】高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为选择题或填空题，属容易题。例、设Rba,，若0ba，则下列不等式中正确的是（）A0abB. 033baC. 0abD. 022ba解：由0ba知, bba,所以0ab,故选 C. 点评：本题考查绝对值的概念和绝对值的性质，如果用特殊值法也能求解。例 2、已知,a b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是( ) A、22abB、22a babC、2211aba bD、baab解：取 a 3，b，由（） （） （）都错，故（C） 。点评：特殊值法是解选择题的一种技巧，在应试时要时刻牢记
7、有这么一种方法。这里a，b 没有说明符号，注意不要错用性质。【命题规律】高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为选择题或填空题，属容易题。例 3、(2008 广东 )设Rba,，若0ba，则下列不等式中正确的是（）A0abB. 033baC. 0abD. 022ba解：由0ba知, bba,所以0ab,故选 C. 点评：本题考查绝对值的概念和绝对值的性质，如果用特殊值法也能求解。例 4、(2007 上海理科 )已知,a b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29
8、 页A、22abB、22a babC、2211aba bD、baab解：取 a 3，b，由（） （） （）都错，故（C） 。点评：特殊值法是解选择题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一种方法。这晨a，b 没有说明符号，注意不要错用性质。考点二 ：一元二次不等式及其解法【内容解读 】会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解含参的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数图象来解不等式（1）用图象法解一元二次不等式教材中在研究一元二次不等式的解法时，是结合二次函
9、数的图象，利用对应的一元二次方程的解得出的，所以我们学习一元二次不等式的解法时，应从二次函数图象出发加以理解（2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系二次函数2(0)yaxbxc a是研究自变量x 与函数值 y 之间的对应关系，一元二次方程的解就是自变量为何值时，函数值0y的这一情况；而一元二次不等式的解集是自变量变化过程中，何时函数值0y（0y）或0y（0y）的情况一元二次方程20(0)axbxca的解对研究二次函数2(0)yaxbxc a的函数值的变化是十分重要的，因为方程的两根12xx，是函数值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解的区间的端点学习过程中，只有搞清
10、三者之间的联系，才能正确认识与理解一元二次不等式的解法【命题规律 】高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，若以选择题、填空题出现，则会对不等式直接求解，或经常地与集合、充要条件相结合，难度不大。若以解答题出现，一般会与参数有关，或对参数分类讨论，或求参数范围，难度以中档题为主。例 5、不等式2xx的解集是（）A(0)，B(0 1)，C(1)，D(0)(1)，解：原不等式可化为x2x，即 x（x），所以x或 x，选（） 点评：这是一道很简单的一元二次不等式的试题，只要知道它的解法即可例 6、 “2x”是“260 xx”的什么条件（）A充分而不必要B必要而不充分C充要D既不充分也不必要解：由 |
11、x 2，得： 2x2，由260 xx得： 2x3，2x2 成立，则 2x3 一定成立，反之则不一定成立，所以，选（）。点评：本题是不等式与充分必要条件结合的综合考查题，先解出不等式的解集来，再由充分必要条件的判断方法可得。例 7、不等式224122xx的解集为解：原不等式变为224122xx，由指数函数的增减性，得：2241(3)(1)0 xxxx 3,1x，所以填： 3,1。点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是经常考查的内容，应加强训练。例 8、已知集合2540Ax xx|，2|220Bx xaxa，若BA，求实数a的取值范围精选学习资料 - - - - -
12、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页解：2|540|14Ax xxxx 设2( )22f xxaxa，它的图象是一条开口向上的抛物线（1）若B，满足条件，此时0，即244(2)0aa，解得12a；（2）若B，设抛物线与x轴交点的横坐标为12xx，且12xx，欲使BA，应有12x xxx|14xx|，结合二次函数的图象，得(1)0(4)021420ffa，即22122048201444(2)0aaaaaaa， 解得1827a综上a的取值范围是1817，点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，
13、分类时做到不遗漏。【命题规律】高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，若以选择题、填空题出现，则会对不等式直接求解，或经常地与集合、充要条件相结合，难度不大。若以解答题出现，一般会与参数有关，或对参数分类讨论，或求参数范围，难度以中档题为主。例 9. 设 f(x) 1logx3，g(x)2logx2，其中 x0，x1 比较 f(x) 与 g(x) 的大小 .解： (1)(x2y2)(xy)(x2y2)(xy) (2)aabbabba变式训练 1：不等式 log2x+3x21 的解集是 _.答案： x|23x3 且 x 1,x 0 。解析 ： ：2231023xxx或202313, 11,00,
14、3223xxxx。例 2. 设 f(x) 1logx3，g(x)2logx2，其中 x0，x1 比较 f(x) 与 g(x) 的大小 .解： 当 0 x1 或 x34时， f(x) g(x) ；当 1x34时， f(x) g(x)；当 x34时， f(x) g(x).变式训练 2：若不等式 (1)na2nn 1) 1(对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是.例 3. 函数)(xfax2bx 满足： 1) 1(f2 ，2)1(f4 ，求)2(f的取值范围解：由 f (x)ax2bx 得f (1)ab，f (1) ab，f (2)4a2b ；a21f (1) f(1) ；b21f (1)
15、 f(1)则 f(2)2f (1) f (1)f (1) f (1)3f (1)f (1)由条件 1f( 1)2 ，2f (1)4 可得 3 123f(1)f(1) 324；得 f (2)的取值范围是5f (2)10.变式训练 3：若 1 3，4 2，则 | |的取值范围是. 解：(3，3)例 4. 已知函数 f (x) x2axb，当 p、 q 满足 pq1 时，试证明：pf (x) qf (y)f (px qy)对于任意实数x、y 都成立的充要条件是op1.证明 ：pf (x) qf (y)f (px qy)pq(xy)2p(1p)(xy)2充分性：当0p1 时，2)(1(yxpp0从而)
16、()()(qypxfyqfxpf必要性：当)()()(qypxfyqfxpf时，则有2)(1(yxpp0 ，又2)(yx0 ，从而)1(pp0 ，即 0p1综上所述，原命题成立变式训练 4：已知 abc，abc0，方程 ax2bxc0 的两个实数根为x1、x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页(1)证明：21ab1；(2)若 x21x1x2x221，求 x21x1x2x22；(3)求| x21x22|解： (1)abc，abc0， 3aabc，ab ab， a0，1abab1121ab(2)（方法 1） abc0a
17、x2bxc0 有一根为1，不妨设 x11，则由1222121xxxx可得, 0) 1(22xx而)03(0212cbacacxxx， x2 1，3222121xxxx(方法 2)acxxabxx2121,由222221221222121)(abacabxxxxxxxx1122abababa，, 022abab,0, 121abab2121222121xxxxxxx3)(21212212122abaxxxxx(3)由(2)知，1) 1()(11222222221ababaacxx2121ab，4) 1(412ab31) 1(432ab3,02221xx1不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而
18、又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系2使用 “ 作差 ” 比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号3关于数 (式)比较大小，应该将“ 相等 ” 与“ 不等 ” 分开加以说明，不要笼统地写成“AB(或 BA)”考点三 ：简单的线性规划【命题规律 】线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容易题、中档题为主，考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深入，近年来，以解答题的形式来考查的试题也时有出现，考查学生解决实际问题的
19、能力。例 7、若A为不等式组002xyyx表示的平面区域，则当a从 2 连续变化到1 时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为( ) A34B1 C74D5 解：如图知区域的面积是OAB 去掉一个小直角三角形。（阴影部分面积比1 大，比12222OABS小,故选 C,不需要算出来）点评：给出不等式组，画出平面区域，求平面区域的面积的问题是经常考查的试题之一，如果区域是不规节图形，将它分割成规节图形分别求它的面积即可。例 8、若变量 x,y 满足,0, 0,502,402yxyxyx，则 z=3x+2y 的最大值是( ) A90 B. 80 C. 70 D. 40 归纳小结精选学习资料 -
20、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页解:做出可行域如图所示.目标函数化为： y223zx，令 z，画 yx23，及其平行线，如右图，当它经过两直线的交点时，取得取大值。解方程组502402yxyx,得2010yx.所以70202103maxz,故答 C. 点评：求最优解，画出可行域，将目标函数化为斜截式，再令z，画它的平行线，看y 轴上的截距的最值，就是最优解。例 9、本公司计划2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和 200 元/分钟，
21、规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3 万元和 0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得3005002009000000.xyxyxy， ，目标函数为30002000zxy二元一次不等式组等价于3005290000.xyxyxy， ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线:300020000lxy，即320 xy平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值联立30052900.
22、xyxy，解得100200 xy，点M的坐标为(100 200)，max30002000700000zxy（元）答：该公司在甲电视台做100 分钟广告，在乙电视台做200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70 万元点评 ：用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之考点四：基本不等关系【内容解读】了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解用综合法、分析法、比较法证明不等式。利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：（1）当ab，都为正数，且ab为定值时，有2abab（定值），当且仅当ab时，等号成立，
23、此时ab有最小值；（2）当ab，都为正数，且ab为定值时，有2()4abab（定值），当且仅当ab时，等号成立，此时ab有最大值创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b 时，等号成立） ，它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点【命题规律】 高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择题或填空题，一般难度不太大。例 10、 （上海理）已知xy+R，且14yx，则xy的最大值是解：211414()4
24、4216xyxyxy，当且仅当x=4y=12时取等号 . 0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页例 1、 （2008 浙江） 已知则且,2,0, 0baba（）(A)21ab(B) 21ab(C)222ba(D) 322ba解：由0,0ab,且2ab，222224()22()abababab，222ab。点评：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。例 2、(2008 江苏 )已知, ,x y zR，230 xyz，则2yxz的最小
25、值解：由230 xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当x3z时取“”点评：本小题考查二元基本不等式的运用题目有有三个未知数，通过已知代数式，对所求式子消去一个未知数，用基本不等式求解。例 13设 a、bR，试比较2ba，ab ，222ba，ba112的大小解： a、bR+，ba112ab1；即ba112 ab ，当且仅当ab 时等号成立又42)2(222abbaba42222baba222ba2ba222ba；当且仅当 ab 时等号成立而ab 2ba于是ba112 ab 2ba222ba(当且仅当 ab 时取 “ ” 号)说明：题中的ba112、
26、ab 、2ba、222ba分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明练习 1： （1）设,aRb，已知命题:p ab；命题222:22ababq，则p是q成立的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：B.解析：ab是22222abab等号成立的条件. （2）若, ,a b c为 ABC 的三条边，且222,Sabcpabbcac，则（）A2SpB2pSpCSpD2pSp解： D解析：2222221()()()() 0,2SpabcabbcacabbcacSp，又222222222|,|,|,2,2
27、,2abcbcaacbaabbcbbccaaaccb2222(),2abcabbcacSp。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页（3）设 x 0, y 0,yxyxa1, yyxxb11， a 与 b 的大小关系（）Aa b Ba 0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式. 解：mbmaba解析 :由盐的浓度变大得2. 已知 a，b，x，yR+（a，b 为常数），1ybxa，求 xy 的最小值 . 解：ab2ab变式训练 2：已知 a，b，x，yR+（a，b 为常数），ab10，1ybxa，若 xy 的最小值
28、为18，求 a，b 的值解：，82ba或.28ba，例 3. 已知 a, b 都是正数，并且a b，求证： a5 + b5 a2b3 + a3b2解：证： (a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 ) = a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) = (a2 b2 ) (a3 b3)= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) a, b 都是正数， a + b, a2 + ab + b2 0；又 a b， (a b)2 0 (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) 0 即： a5 + b5 a2b3 + a
29、3b2变式训练 3：比较下列两个数的大小：（1）；与3212（2）5632与；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明解： （1）3212,（2）5632（3）一般结论：若231nnnnNn则成立证明欲证231nnnn成立；只需证23111nnnn也就是231nnnn（）Nn13 ,2nnnn；从而（ * ）成立，故231nnnn)(Nn例 4. 甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米 /小时）已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成可变部分与速度v（千米 /小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元(1)
30、试将全程运输成本Y(元)表示成速度V( 千米 /小时 )的函数 . (2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？解: (1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs,全程运输成本为yavsbv2vss(vabv)，故所求函数及其定义域为ys(vabv)v(0,c) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页(2) s、a、b、vR+，故 s(vabv)2s ab当且仅当vabv 时取等号，此时vba若bac 即 vba时，全程运输成本最小若bac，则当 v(0，c)时，ys(vabv)s(cabc)vcs
31、(cv)(abcv) cv0 ，且 abc2，故有 abcva bc20 s(vabv)s(cabc)，且仅当 vc时取等号，即vc 时全程运输成本最小变式训练 4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：第一种传统方法是建造一台超级计算机此种方法在过去曾被普遍采用但是人们逐渐发现建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作站 )组成一个计算网络这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个工作站的效能之和假设计算机的计算能力的单位是MIPS( 即每秒执行百万
32、条指令的次数)，一台运算能力为6000MIPS 的传统巨型机的成本为100 万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为300MIPS，其价格仅为5 万元需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600 万元请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？解： 设投入的资金为x万元，两种方法所能达到的计算能力为21,yyMIPS ，则xky11把100 x，60001y代入上式得6001k，又)600(22xky，当5600 x时，3002y代入上式得602k，由2y1y得)600(60 xx600，即60010 xx0 ，解得x900
33、( 万元 )答：在投入费用为900 万元以上时，建造新型的分布式计算系统更合算。1在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件2在使用 “ 和为常数、积有最大值” 和“ 积为常数、和有最小值” 这两个结论时，必须注意三点：“ 一正 ” 变量为正数， “ 二定 ” 和或积为定值， “ 三相等 ” 等号应能取到，简记为“ 一正二定三相等 ” 考点五 ：绝对值不等式【内容解读 】掌握绝对值不等式x a，x a（a0）的解法，了解绝对值不等式与其它内容的综合。【命题规律 】本节内容多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大。考点六 ：不等式的综合应用【内容解读
34、】用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题，如求最值，证明不等式等。【命题规律 】不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有一定的难度。例 14、 （江苏模拟）如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为,x y(单位 :米)的矩形 ,上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 平方米 . （）求, x y的关系式，并求x的取值范围；（）问, x y分别为多少时用料最省? 归纳小结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页解： （）由题意得：18(0,0),22xx
35、 yxxy（）设框架用料长度为l，则222lxyx31 6(2 )2xx4 64 284 2.当且仅当3162,84 22xxx（）,2 2,y满足04 2.x答：当84 2x米，2 2y米时，用料最少.点评：本题考查利用基本不等式解决实际问题，是面积固定，求周长最省料的模型，解题时，列出一个面积的等式，代入周长所表示的代数式中，消去一个未知数，这是常用的解题方法。例 15、某化工企业2007 年底投入 100 万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2 万元（1）求该企业
36、使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解： （1）xxxy)2642(5 .0100即5 .1100 xxy（0 x） ；（ 2）由均值不等式得：5.215 .110025. 1100 xxxxy（万元）当且仅当xx100，即10 x时取到等号答：该企业10 年后需要重新更换新设备内容解读】用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题，如求最值，证明不等式等。【命题规律】不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有一定的难度。考点七 ：不等式的证明（一）1比较法是证明不等式的一个最
37、基本的方法，分比差、比商两种形式(1)作差比较法，它的依据是：babababababa000它的基本步骤：作差 变形 判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等(2) 作商比较法，它的依据是：若a0，b0，则babababababa111它的基本步骤是：作商 变形 判断商与 1 的大小它在证明幂、指数不等式中经常用到2综合法：综合法证题的指导思想是“ 由因导果 ” ，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论8,4xyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 29 页3分析法：分析法证题的
38、指导思想是“ 由果索因 ” ，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立例 1. 已知0,0 ba，求证：baabba证法 1：)(baabbaababbaba)()()(33abbababa)(2)(22abbaba2)(ba0，ab 0，0)(2ba0)(baabba即baabba证法 2：ababbaabbababaabba)()()(3311)(2abbabaabba故原命题成立，证毕变式训练 1：已知 a、b、x、yR+且a1b1，xy. 求证：axxbyy
39、解：证法一 ：(作差比较法 ) axxbyy）（byaxaybx，又a1b1且 a、bR+，ba0.又 xy0， bxay. ）（byaxaybx0，即axxbyy. 证法二： (分析法 ) x、y、a、bR+，要证axxbyy， 只需证明 x(y+b)y(x+a)，即证 xbya. 由a1b10， ba0. 又 xy0，知 xbya 显然成立 .故原不等式成立 . 例 2. 已知 a、bR+，求证：)(22) 1)(abbababa证明： abba2，因此要证明原不等式成立，则只要证)(21baba由于)(21baba0)22()22(22ba所以)(21baba从而原不等式成立变式训练 2
40、：已知 a、b、cR，求证：cbabcba234222证明：左边右边cbabcba234222)812416444(41222cbabcba0) 1(4)2(3)2(41222cbbacbabcba234222典型例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29 页例 3. 已知 ABC 的外接圆半径R1，41ABCS， a 、b、 c 是三角形的三边，令cbas，cbat111求证：st证明：RabcRcabCabSABC4221sin21又 R1，41ABCS1abcabcabccbas111211211211baaccb
41、tcba111ts但st的条件是1cba，此时43ABCS与已知矛盾st变式训练 3：若, ,a b c为 ABC 的三条边，且222,Sabcpabbcac，则（）A2SpB2pSpCSpD2pSp答案 :D解析：2222221()()()() 0,2SpabcabbcacabbcacSp，又222222222|,|,|,2,2,2abcbcaacbaabbcbbccaaaccb2222(),2abcabbcacSp。例 4. 设二次函数)0()(2acbxaxxf，方程0)(xxf的两个根1x 、2x 满足axx1021(1) 当 x(0，x1)时，证明： xf (x)x1 (2) 设函数
42、 f (x) 的图象关于直线xx0对称，证明： x0 a2b3 + a3b2证明： (a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5a3b2) + (b5a2b3 ) = a3 (a2b2 ) b3 (a2b2) = (a2b2 ) (a3b3)= (a + b)(ab)2(a2 + ab + b2) a, b 都是正数， a + b, a2 + ab + b2 0 又ab， (ab)2 0 (a + b)(ab)2(a2 + ab + b2) 0 即： a5 + b5 a2b3 + a3b2点评 ：作差相减法是证明不等式的常用方法之一，通过作差比较差的结果的符号是大于0 还是小
43、于 0，另外，作商也是经常使用的方法。例 6、已知12121baba且，求证221212ba证明：只需证：812122) 12() 12(baba1ba即证：21212ba22)12()12(1212baba成立原不等式成立 . 点评：用分析法证明不等式也是常用的证明方法，通过分析法，能够找到证明的思路。例 7、已知 m，n 为正整数 . （）用数学归纳法证明：当x-1 时， (1+x)m 1+mx；（）对于n6 ，已知21311nn，求证mnnm2131，m=1,1,2 ，n；（）求出满足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n. 解： （）证：当x=0 或 m=1 时，原不
44、等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当 x-1，且 x0 时， m2,(1+x)m1+mx. 1(i)当 m=2 时，左边 1+2x+x2,右边 1+2x，因为 x0,所以 x20，即左边 右边，不等式成立；（ii）假设当 m=k(k2)时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则当 m=k+1 时，因为 x-1,所以 1+x0.又因为 x0,k2,所以 kx20. 于是在不等式（ 1+x）k1+kx 两边同乘以1+x 得（1+x）k(1+x)(1+ kx)(1+x)=1+( k+1)x+kx21+(k+1)x, 所以（ 1+x）k+11+(k+1)x,即当 mk+1 时，不等式也成立. 综
45、上所述，所证不等式成立. ()证：当,)21()311 (,21311,6mnmmnnnmn）（时，而由（），31)311 (nmnm.)21()311 ()31(mnmnnnm（）解：假设存在正整数00)3()2(43600000nnnnnnn使等式成立，即有（0330nn）+00)32()34(000nnnnn1.又由（）可得（0330nn）+0000)311 ()31 ()32()34(0000000nnnnnnnnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页+, 121121)21()21()311(0000
46、10nnnnn与式矛盾，故当 n6 时，不存在满足该等式的正整数n. 故只需要讨论n=1,2,3,4,5 的情形；当 n=1 时，34，等式不成立；当 n=2 时，32+4252，等式成立；当 n=3 时，33+43+5363，等式成立；当 n=4 时，34+44+54+64为偶数，而 74为奇数，故34+44+54+6474,等式不成立；当 n=5 时，同 n=4 的情形可分析出，等式不成立. 综上，所求的n 只有 n=2,3. 点评：本题考查数学归纳法、不等式的基本、反证法等内容，难度较大。1比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见作差比较的关键在于作差后如何变形来达到
47、判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方2综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口3分析法是 “ 执果索因 ” 重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范4分析法和综合法是对立统一的两个方法在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想不等
48、式证明（二）证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立
49、例 1. 已知 f(x) x2 pxq，(1) 求证： f(1)f(3)2f(2)2；(2) 求证： |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21证明 : (1)f(1) f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2 (2)用反证法。假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于21，则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)| 2，而 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)| f(1)f(3)2f(2)2，出现矛盾 . |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式训练 1：设cba、R ，那么三个数ba1、cb1、ac1（）A都
50、不大于 2 B都不小于2 典型例题基础过关归纳小结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2 解:D 例 2. （1） 已知 x2y21，求证 :2211aaxya. （2） 已知 a、bR，且 a2b21 ，求证 :2222baba. 证明 :(1)设sin,cosyxcossinaaxy)sin(12a(其中221sin,11cosaaa) 1)sin(12211aaxya(2)令cos,sinkbka(其中 k21),则222baba22222coscossin2sinkk