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1、学而不思则惘，思而不学则殆高三文科选修 4-5 ：不等式选讲复习贵州省册亨县民族中数学组梅瑰考纲要求 :一、 贵州省高考数学（新课标卷）考试大纲对选做题不等式选讲说明（选考内容与要求）不等式选讲（选修4-5 ）(1) 理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|a+b|1+nx (x-1 ，x0，n 为大于 1 的正整数) ，了解当n 为大于 1 的实数时贝努利不等式也成立。(7) 会用上述不等式证明一些简单问题，能够利川平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。(8) 了解证明不等式的基本方法: 比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。课时建议 :34 课复习
2、建议 : 20XX年、 20XX年高考题 ( 选做题题24) 贵州省进入新课改来20XX年首次开始设置选做题。（一）高考试题（20XX年新课标I ）24 选修 45：不等式选讲已知函数f(x) |2x 1| |2x a| ，g(x) x3. (1) 当 a 2 时，求不等式f(x)g(x) 的解集；(2) 设 a 1，且当 x a2，12时， f(x ) g(x) ，求 a 的取值范围（ 20XX 年新课标卷 ) (24)(本小题满分10 分) 选修 4-5：不等式选讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页学而不思则惘
3、，思而不学则殆设a，b，c均为正数，且1cba，证明：(I)31cabcab；(II)1222bcabca. （ 20XX 年全国新课标卷B）24. （本小题满分10 分）选修45：不等式选讲已知函数|2|)(xaxxf. ( ) 当3a时，求不等式3)(xf的解集；( ) |4|)(xxf的解集包含2, 1 ，求a的取值范围 . （20XX年辽宁卷）24 （本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲已知函数,1.fxxaa其中（I ）=244;afxx当时，求不等式的解集（II ）222|12 ,xfxafxxx已知关于 的不等式的解集为.a求 的值(2014 全国课标I) (24)(本小题
4、满分10 分) 选修 45：不等式选讲若0a，0b，且abba11. (I) 求33ba的最小值；(II)是否存在a，b，使得632ba？并说明理由. (2014 全国课标II) (24)(本小题满分10 分) 选修 4-5：不等式选讲设函数)0(|1|)(aaxaxxf. (I) 证明：2)(xf；(II)若5)3(f，求a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆（20XX年辽宁卷）24. （本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲设函数( )2 |1|1f xxx，2(
5、)1681g xxx，记( )1f x的解集为M ，( )4g x的解集为 N. （1）求 M ；（2）当xMN时，证明：221( )( )4x f xx f x（二）从高考试题来看：1、试卷总体结构： 20XX年、20XX年在考查 选修 4-5 ： 不等式选讲 两部分知识都是安排在试卷（）解答题最后部分；理科、文科高考选做题题都一样在第23、24 两题中任选一题作答; 分值10 分，每题有两个小问。2、试卷知识点考法 24题是选修4-5 ：不等式选讲内容。从20XX年、 20XX年试题看第1 小问主要是考查绝对值不等式的解法；第 2 小问主要是在第1 问的基础上解不等式；可有时是考查不等式的
6、性质应用，利用基本不等式和均值不等式的转化。3、高考选选做题在做高考题时： 首先，大致看考题的考点，根据自己对知识点的把握度选尽可能得分多的题；其次，根据选做题题的要求（请考生从第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。）选择填涂。高考选做题题的分值是10 分，难度系数不大，属于中低档题。选修 4-5 ：不等式选讲的解题方法不等式知识点在人教版高中数学教科书必修系列中，直接涉及“不等式”内容的部分为必修5 第三章不等式。另外，在实际教学过程中，在学到必修5不等式之
7、前的某些章节（如集合、函数的值域等） ，无论文理科班，基于教学内容的关联性和完整性，老师们基本上都要对选修 4-5 中的部分基础性内容进行选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修5 第三章不等式以及选修系列4-5不等式选讲 。1、 不等式的考查内容主要可分为：不等式的求解、证明和应用三部分。不等式分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。不等式是中学数学的主干内容之一，它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。在历年的高考中，不等式虽很少单独命题（理科附加卷除外），但无论
8、从它所涉及到的知识点或是题量来看， 有关不等式的试题分布范围极广（甚至有些题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重，所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值），试题不仅考查了不等式的基础知识、 基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养。2、高考中不等式试题的考点主要有：（1）不等式的性质，常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来，考查不等式的性质、函数的单调性、最值等；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆（2）解不等式，往往与公式
9、、根式和参数的讨论联系在一起，考查学生的等价转化能力和分类讨论能力；3、不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。(1) 两个实数的大小：baba0；baba0；baba0(2) 不等式的基本性质：不等式的两边都加上( 或减去 ) 同一个数或同一个整式不等号的方向不变。如果ab，那么cbca。不等式的两边都乘以( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变。如果,0ab c，那么bcac（或cbca） 。不等式的两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变。如果ba,0c, 那么bcac（
10、或cbca）由上面三条可以衍生出如下的性质：abba（对称性）cacbba,（传递性）cbcaba（加法单调性）dbcadcba,（同向不等式相加）dbcadcba,（异向不等式相减）bdacdcba0,0（同向不等式相乘）bcaccba0,，bcaccba0,（乘法单调性）) 1,(0nZnbabann且（平方法则）) 1,(0nZnbabann且（开方法则）4、解一元二次不等式（组）（1）一般的一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集。设一元二次方程的两根为且，则
11、相应的不等式的解集的各种情况如下表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆(a0)的图象有两相异实根有两相等实根无实根|21xxxxx或注：表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，可先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（2）规律方法指导：解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数；若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；根据不等式的解集的端点
12、恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数。5、解分式不等式形如 f(x)/g(x)0或 f(x)/g(x)0”, 则找“线”在 x 轴上方的区间； 若不等式是 “0”,则找“线”在x 轴下方的区间. 说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；7、解无理不等式根号下含有未知数的不等式。无理不等式的类型（高考对这方面的要求不太高）0)()()4()()()3()()()2()()()1(xgxfxgxfxgxfxgxf根式不等式的解法解法：解无理不等式的主要思路是去根号。但去根号的时候要
13、注意下根号里的数和根号外的数的正负。8、解绝对值不等式的常用方法解含有绝对值的不等式的关键是想法把它转化为不含绝对值的不等式，常见的解法有以下几种：（1）利用绝对值的定义例：解不等式5121x. 解：原不等式于： （）5121012xx或（）5)12(1012xx由（）得：31x或（）得02x+ + + - - - x1 x2 x3 xn-1 xn 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆原不等式的解集为：2013xxx或. （2）利用绝对值的性质例：解不等式3132xx。解：原不等式等价于31
14、323432xxxx即: xxxx02301322由得41x由得21xx或原不等式的解集为：1124xxx或. （3）利用平方法例：解不等式3223xx。解：将原不等式两边平方为：191244129222xxxxx即原不等式的解集为：11x xx或。（4）利用分段讨论法（即零点分段法）例：解不等式42xx. 解：当2x时，不等式化为：4)2(xx3x当02x时，不等式化为：42xxx当0 x时，42xx1x综上所述，不等式的解集为：3,1x xx或. 注：利用此法解题时要注意x 的系数为正。（5）利用绝对值的几何意义例：解不等式523xx. 解：不等式523xx表示数轴距A （3） 、 B（-
15、2）两点的距离之和大于5 的点，方程523xx表示在数轴上距A、B两点的距离之和等于5 的点。原不等式的解集为：3,2xxx或. （6）利用不等式组法（即等价转化法）例：已知关于x 的不等式axx12有解，求a 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆解：令12xxy则3y， 可将原不等式变为不等式组ayy3，因原不等式有解，如图，易得3a。（7）利用数形结合法例解不等式321xx解 ： 画出11xy和322xy的图像，如图所示，求出他们的交点的横坐标分别是23x和4x因为321xx
16、，所以原不等式的解是21yy的交点的横坐标，由图像知：原不等式的解是23x或4x. 10k，即k的取值范围是 1 ,0。注：运用数形结合的方法求解绝对值不等式问题，既直观形象，又简单易行。（8）利用利用定比分点法例解不等式axx2120a。解：在数轴上取axpxpxp2, 1,2221，其中Rx，使 P为21, pp的内分点即可，这就顺利地去掉了绝对值符号，由12p ppp0即：2212021xaxaxx即：解不等式：2221021xaxxax. 等价于整式不等式：2221210.xaxxax222211110.xaaxaaxaaxaa又0 x2211.aaxaa故不等式的解集为：22|11.
17、xaaxaa（9）利用绝对值不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆主要指绝对值的三角不等式|bababa例：解不等式：|log|2|log2|22xxxx。解析：首先应有0 x，所以原不等式等价于|log|2|log2|22xxxx，由于在不等式|baba中，成立的条件是0ab，所以原不等式等价于0log22xx，而0 x，所以0log2x，因此得1x，故原不等式的解集为1| xx。评注：要特别注意不等式|bababa中各部分等号及不等号成立的条件，利用这些条件可以解决一些绝对值不等式或
18、方程问题。9、不等式的证明（1）比较法证明不等式例：若10 x，证明)1(log)1 (logxxaa（0a且1a） 分析：用作差法来证明需分为1a和10a两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明。解法 1 ： （1）当1a时，因为11 , 110 xx，所以)1(log)1 (logxxaa)1 (log)1(logxxaa0)1(log2xa（2）当10a时，因为11 , 110 xx，所以)1(log)1 (logxxaa)1(log)1(logxxaa0)1(log2xa综合（ 1） （2）知)1(log)1(logxxaa分析 2 ： 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号解法 2
19、：作差比较法因为)1(log)1 (logxxaaaxaxlg)1lg(lg)1lg()1lg()1lg(lg1xxa)1lg()1lg(lg1xxa0)1lg(lg12xa，所以)1(log)1(logxxaa说明： 解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快。例 2 ： 设0ba，求证：.abbababa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆分析：发现作差后变形、判断符号较为困难考虑到两
20、边都是正数，可以作商，判断比值与1 的大小关系，从而证明不等式。证明：baabbaabbababababa)(，0ba，.0,1baba1)(baba. abbababa.1又0abba，.abbababa. 说明：本题考查不等式的证明方法比较法( 作商比较法 ). 作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1 的大小 . （2）综合法证明不等式例 1： 对于任意实数a、b，求证444()22abab（当且仅当ab时取等号）分析：这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4()2ab，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：222abab出发，再恰当地利
21、用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明：222abab（当且仅当22ab时取等号）两边同加4444222() :2()()ababab，即：44222()22abab（1）又：222abab（当且仅当ab时取等号）两边同加22222() :2()()ababab222()22abab2224()()22abab（2）由（ 1）和（ 2）可得444()22abab（当且仅当ab时取等号）说明： 此题参考用综合法证明不等式综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解。例 2 若 a、b、c 是不全相等的正数
22、，求证：cbacabcbalglglg2lg2lg2lg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。证法一： （综合法）：Rcba,，02abba，02cbbc，02acca又 a、b、 c 是不全相等的正数，有abccabcba222。abccabcbalg)222lg(即cbacabcbalglglg2lg2lg2lg证法二：（分析法）要证cbacabcbalglglg2lg2lg2lg即证abccabcbalg)222lg(成立
23、。只需证abccabcba222成立。02abba，02cbbc，02acca。0222abccabcba（ *）又 a、b、c 是不全相等的正数，（*）式等号不成立。原不等式成立。（3）分析法证明不等式例 1: 已知cba，求证：accbba1110. 分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程. 证明一： (分析法书写过程) 为了证明accbba1110 只需要证明cbba11ca1cba0,0cbbacacbcaba1,110 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
24、第 11 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆cbba11ca1成立accbba111 0 成立证明二： (综合法书写过程) cba0,0cbbacaba1ca1cb10 cbba11ca1成立accbba111 0 成立说明： 学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚. 例 2、若0,0ab，且2cab，求证：22.ccabaccab分析这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径但用“分析”法证不等式，要有严格的格式， 即每一步推出的都是上一步的充分
25、条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等） 证明：为要证22.ccabaccab只需证22cabaccab，即证2accab，也就是22()accab，即证22aacab，即证2()aca ab，0,2,0acab b，2abcab，故2cab即有20cab，又 由2cab可得2()aca ab成立，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆 所求不等式22ccabaccab成立说明： 此题考查了用分析法证明不等式在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程
26、应该是：“欲证需证”，综合法的书写过程是：“因为（）所以（）”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混例 3 设x、y为正数，求证33322yxyx分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法证明：要证33322yxyx，只需证233322)()(yxyx，即证6336642246233yyxxyyxyxx，化简得334224233yxyxyx，0)323(2222yxyxyx0334422yy，032322yxyx0)323(2222yxyxyx原不等式成立说明： 1、本题证明易出现以下错误证法：xyyx222，323233332yxyx，然后分(1)1yx；(2)1yx；(3)1x且
27、10y；(4)1y且10 x来讨论， 结果无效。2、用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是BA，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以。（4）反正法证明不等式例 1 若233ba，求证2ba分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法证法一：假设2ba，则)(2)(222233babababababa，而233ba，故1)(22babaabbaab2122从而1ab，2122abba4222)(222ababbaba2ba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页学而不思
28、则惘，思而不学则殆这与假设矛盾，故2ba证法二：假设2ba，则ba2，故3333)2(2bbba， 即261282bb， 即0) 1(2b， 这不可能。 从而2ba证法三：假设2ba，则8)(3)(333baabbaba由233ba，得6)(3baab，故2)(baab又2)(2233babababa)()(22babababaababbaba22，即0)(2ba这不可能，故2ba说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾。一般说来，结论中出现“至少”“至多” “唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法。例 2 已知qpxxx
29、f2)(，求证：|)3(|,)2(|,)1 (|fff中至少有一个不小于21。【分析】由于题目的结论是：三个函数值中“至少有一个不小于21” ，情况较复杂，会出现多个异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁冗，而结论的反面构成三个同向不等式，结构简单，故采用反证法为宜。【证明】（反证法）假设|)3(|,)2(|,)1 (|fff都小于21，则2|)3(|)2(|2|)1(|fff，而|)2(2)3()1 (| )3(|)2(|2|)1 (|ffffff2|)248()39()1 (|qpqpqp，相互矛盾|)3(| |,)2(| |,)1(|fff中至少有一个不小于21。注：用反证法证明命题时
30、，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。（5）三角换元法证明不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆例 1 已知2122yx，求证32122yxyx分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数r2122yx，可设cosrx，sinry，其中2021，r)2sin211(cossin22222rrryxyx由232sin21121，故22223)2si
31、n211(21rrr而21212r，3232r，故32122yxyx说明： 1、 三角代换是最常见的变量代换，当条件为222ryx或222ryx或12222byax时，均可用三角代换2、用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性。（6）放缩法证明不等式例 1 设n是正整数，求证121211121nnn分析：要求一个n项分式nnn212111的范围， 它的和又求不出来，可以采用 “化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围。证明：由),2, 1(2nknknn，得nknn1121当1k时，nnn11121；当2k时，nnn12121，当nk时，nn
32、nn11211212111221nnnnnnn说明： 1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境典型例题如证明4712111222n由kkk11112，如果从第3 项开始放缩，正好可证明；如果从精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆第 2 项放缩，可得小于2当放缩方式不同，结果也在变化。放缩法一般包括：用缩小分母， 扩大分子， 分式值增大； 缩小分子， 扩大分母， 分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求， 第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过
33、头，同时放缩后便于求和。例 2、 证明不等式：nn2131211，Nn解 因为对于任意自然数k，都有12121kkkkk，所以，nnnn212232122012131211从而不等式得证注：放缩法是一种证明的技巧，要想用好它， 必须有目标， 目标可以从要证的结论中考察如本题中注意到所要求证的式子左右两端的差异，以及希望把左式化简的目标。例 3 已知10a，10b，10c，求证：accbba)1()1()1(，三数不都大于41分 析 ： 此 命 题 的 形 式 为 否 定 式 ， 宜 采 用 反 证 法 证 明 假 设 命 题 不 成 立 ， 则accbba)1()1 ()1(，三数都大于41，
34、从这个结论出发，进一步去导出矛盾。证明：假设accbba)1()1()1(，三数都大于41，即41)1(ba，41)1(cb，41)1(ac又10a，10b，10c，21)1(ba，21)1(cb，21)1(ac23)1()1()1(accbba又21)1(baba，21)1(cbcb，21)1(acac以上三式相加，即得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆23)1()1()1(accbba显然与相矛盾，假设不成立，故命题获证。说明： 一般情况下， 如果命题中有 “至多”、 “至少”、
35、“都” 等字样， 通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想。例 4 求证2131211222n分析： 此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n下手考查即可。证明：)2(111)1(11112nnnnnnnn，312121111131211222n212111nnn说明： 此题证明过程并不复杂，但思路难寻 本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这
36、一步极为关键。（7）基本不等式法证明不等式例 1 如果x，y，zR，求证：332332332888yxzxzyzyxzyx分析： 注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻 求 一 个 熟 知 的 不 等 式 具 有 这 种 转 换 功 能 （ 保 持 两 边 项 数 相 同 ）， 由0)()()(222accbba， 易得cabcabcba222， 此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明。证明：242424888)()()(zyxzyx444444xzxyyx222222222)()()(xzzyyx222222222222yxxzxzzyzy
37、yx222222)()()(yzxxyzzxyzxyyzxyzxxyzxyzzxy222222332332332yxzxzyzyx332332332888yxzxzyzyxzyx说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式abba222而得到的左右两边都是三项，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆实质上是cabcabcba222公式的连续使用。如果原题限定x,y,zR, 则不等式可作如下变形：)111(333888zyxzyxzyx,进一步可得到：zyxyxzzxyzyx1113353353
38、35显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过程。例 2 已知x是不等于1 的正数，n是正整数，求证nnnnxxx12)1)(1 (分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2 的因子，因此可考虑使用均值不等式。证明：x是不等于1 的正数，021xx，nnnxx2)1(又021nnxx将式，两边分别相乘得nnnnnxxxx22)1)(1(，nnnnxxx12)1)(1(说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利由特点选方法是解题的关键，这里因为1x，所以等号不成立，又因为，两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向
39、乘性证得结果这也是今后解题中要注意的问题。例 3 已知，x，y，zR ，且1zyx，求证3zyx分析： 从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法。证明：要证3zyx，只需证3)(2yzxzxyzyx，只需证1yzxzxyx，y，zR，xyyx2，xzzx2，yzzy2，)(2)(2yzxzxyzyx，1yzxzxy成立3zyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆说明： 此题若一味地用分析法去做，难以得到结果
40、。 在题中得到只需证1yzxzxy后，思路已较清晰，这时改用综合法，是一种好的做法通过此典型例题可以看出，用分析法寻求不等式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的。例 4、已知a、b、cR，1abc，求证1119.abc分析： 显然这个题用比较法是不易证出的。若把111abc通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如baab，再利用 “均值定理” 就有可能找到正确的证明途径，这也常称为 “凑倒数”的技巧。证明：1abc111abcabcabcabcabc(1)(1)(1)bcacab
41、aabbcc3()()()bacacbabacbc22bab aaba b，同理：2caac，2cbbc。11132229.abc说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的。（8）化归法证明不等式例 1 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c， 若BCA2， 求证4442bca分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化。证明：BBCA2，21cos3BB，由余弦定理得accaBaccab22222cos2精选学习资料 - - - - -
42、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆acbca222，22222442)(cacaca =)2)(2(2222accaacca) 12() 12(22acbacb22242cabacb44222)(bbbac说 明 ： 三 角 形 中 最 常 使 用 的 两 个 定 理 就 是 正 弦 和 余 弦 定 理 ， 另 外 还 有 面 积 公 式CabSsin21本题应用知识较为丰富，变形较多。这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养。（9）判别式法法证明不等式例 1： 已知5zyx，
43、9222zyx求证：zyx,都属于37,1 。【证明】由已知得：yxz5，代入9222zyx中得：085)5(22yyxyxRx， 0，即0)85(4)5(22yyy解得371y，即 y37,1 。同理可证x37, 1，z37, 1。变式：设1, 1222cbacba，且cba，求证：031c因为ccabbacba212,1222所以，而2221cba所以ccab2，所以 a，b 为方程0)1(22ccxcx（1）的二实根而cba，故方程（ 1）有均大于c 的二不等实根。记ccxcxxf22)1()(，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
44、第 20 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆0)(,21,0cfcc解得031c。在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制。例 2 证明不等式122baabba证法：令) 1()(22baabbaaf1) 1(22bbaba关于 a 的二次三项式0) 1(3363)1(4)1(2222bbbbbbf （a） 0 12baabba（10）构造函数法证明不等式例 1 设 0 x1，0y1，0z1，证明1)1()1()1 (xzzyyx。分析构造一次函数解答本题。证明构造函数)1()1()1 ()(xzzyy
45、xxf整理，得f(x)=(1-y-z)+(y+z-yz) （0 x1） (1) 当 01y z1 时， f(x) 在（ 0，1）上是增函数，于是f(x)f(1)=1yz1； (2) 当 11y z0 时， f(x) 在（ 0，1）上是减函数，于是f(x)f(0)=y+zyz=1(1 y)(1 z)1 ； (3)1 yz=0 时，即 y+z=1 时，f(x)=y+zyz=1 yz1，综上，原不等式成立。注：由于 11 yz1，所以本题就“01y z1， 11 yzbc，求证：cacbba411分析考虑到 ac= （ab）+（b c） ，由此可以令x=ab0，y=bc0，使问题转化为 “若x、y0
46、，证明yxyx411” 。证明令 x=ab0，y=bc0， ac=x+y，下面只要证明yxyx411即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆x，y0，4222)(11(yxxyyxyx，（当且仅当xyyx，即 x=y，2b=a+c 取等号）yxyx411，即cacbba411。（12）数学归纳法证明不等式例 1 证明不等式：nn2131211，Nn讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明解 1 1n时，不等式的左端=1，右端 =2，显然 12，所以，1n时命题成立假设Nkkn时命题成立，即：kk2131211则当1kn时，不等式的左端11131211kk112kk不等式的右端12 k由于12 k112kk=1112kkk1112kkk011112kkk所以，112kk12 k，即1kn时命题也成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页学而不思则惘，思而不学则殆由可知：原不等式得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页