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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第二讲、函数二. 函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）（一）函数 1.了解函数、映射的概念，会求一些简单函数的定义域和值域。 2.理解函数的三种表示法：解析法、图想法和列表法。 3.了解简单的分段函数，并能简单应用。 4.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性；理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性。 5. 理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求函数的最大（小）值。 6.会运用函数图像理解和讨论函数的性质。（二）指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景。 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 3.理解指数
2、函数的概念，会解决与指数函数性质有关的问题。（三）对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。 2.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质有关的问题。（四）幂函数 1.了解幂函数的概念。 2.结合函数12231,yx yxyxyyxx的图象，了解它们的变化情况。（五）函数与方程了解函数零点的概念，能判断函数在某个区间上是否存在零点。（六）函数模型及其应用 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征。 2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。1. 函数的定义：y=f（x） ，xA，其中x叫做自变量。x的取值范围A
3、叫做函数的 定义域 ；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的 值域2. 函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数3. 映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB由映
4、射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思4. 映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象且唯一;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象5. 函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系6. 求函数解析式的题型有：（1）已知
5、函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知( )f x求 ( )f g x或已知 ( )f g x求( )f x：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）( )f x满足某个等式，这个等式除( )fx外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等题型讲解例 1（1）已知3311()f xxxx，求( )f x； （配凑法）（2）已知( )f x是一次函数，且满足3 (1)2(1)217f xf xx，求( )f x；（3）已知( )f x满足12( )()3f xfxx，求( )f x（方程组法）7求函数定义域一般有三类问题：（
6、1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知( )f x的定义域求 ( )f g x的定义域或已知 ( )f g x的定义域求( )fx的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；若已知( )f x的定义域,a b，其复合函数( )f g x的定义域应由( )ag xb解出8求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
7、 - - - - -第 2 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(1) 求常见函数值域； (2) 求由常见函数复合而成的函数的值域；(3) 求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域直接法：利用常见函数的值域来求一次函数 y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数)0(kxky的定义域为 x|x0 ，值域为 y|y0 ；二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，当 a0 时，值域为 abacyy4)4(|2；当 a0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进
8、,熟读而精思(1)x1 ,x2 ,x2, 则0)()2/(0afab(3) x1 , x2 ,则)2/(0)(0)(0abff(4)x1( 0(0(0(1 0a 0 ,a 1 ，m 0 ,m 1,N0) 8两个常用的推论: 1loglogabba，1logloglogacbcbabmnbanamloglog（ a, b 0且均不为 1）9对数函数的性质：a1 0a0 （转化法）(3)af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb (取对数法 ) (4)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab (换底法 ) 幂函数yx（定义域与有关） （R）
9、过定点：（1,1）图形的形状位置：在第一象限函数图象变换1作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势） ；描点连线，画出函数的图象2三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：（1）水平平移： 函数()yf xa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向左(0)a或向右(0)a平移|a个单位即可得到；（2）竖直平移：函数( )yfxa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向上正抛负双 （0，抛物线；1，
10、竖抛； 01，横抛精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(0)a或向下(0)a平移|a个单位即可得到 y=f(x)h左移y=f(x+h); y=f(x) h右移y=f(x h); y=f(x) h上移y=f(x)+h; y=f(x) h下移y=f(x)h5对称变换：（1）函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于y轴对称即可得到；（2）函数( )yf x的图像可以将函数( )yf x的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于
11、原点对称即可得到；（4）函数1( )yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于直线yx对称得到y=f(x) 轴xy= f(x); y=f(x) 轴yy=f( x); y=f(x) ax直线y=f(2ax); y=f(x) xy直线y=f1(x); y=f(x) 原点y= f( x)6翻折变换：（1）函数|( )|yf x的图像可以将函数( )yfx的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留( )yf x的x轴上方部分即可得到；（2）函数(|)yfx的图像可以将函数( )yf x的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留( )yfx在y轴右边部分即可得到
12、y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx7伸缩变换：（1）函数( )yafx (0)a的图像可以将函数( )yf x的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的a倍得到；（2）函数()yf ax (0)a的图像可以将函数( )yf x的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的1a倍得到y=f(x)xy=f(x) y=f(x)yy=f(x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思函数及其表示例 1
13、 判断下列对应是否为函数 xx2，x0 ，xR； xy，这里 y2= x， xN，yR 指数函数例 1 求下列各式的值33)2(= 44)2(= 66)3(= 222yxyx= 例 2 把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式（a0） ； a5=256 a4=28 a7=56 an3=3m5(m，nN*) 计算： 923 1623例 3 化简32132baba3211abba例 4 化简（式中字母都是正数） （x2y3）6 (2x2+ 3y3)(2x2- 3y3) 4x213x21(- y3) y33例化简下列各式323222yxyx- 323222yxyx精选学习资料 - - - - - -
14、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思323323134428bababaa（ 1 23ab）3a典型例题题型一、根式的性质例1 求值322aaa（ a0）. 例 2 计算：625625335252题型二、分数指数幂及运算性质1. 计算问题：例3 计算：313373329aaaa2. 化简问题：例4 化简下列各式：313315383327aaaaaa （x01xx） （x2121x）3. 带附加条件的求值问题例 5 已知 a21+ a21= 3，求下列各式的值： a + a1精选学习资料 - - - - - - -
15、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 a2+ a221212323aaaa数学思想方法一、 化归与转化思想例 6 化简：332baabba（a 0，b0）. 二、 整体代换思想例 7 已知 2axx2（常数），求 8xx8的值。 已知 x + y = 12, xy = 9，且 xy，求21212121yxyx的值。创新、拓展、实践1. 数学与科技例 8 已知某两星球间的距离d1= 3.12 1034千米， 某两分子间的距离d2= 3.12 1032米，请问两星球间距离是两分子间距离的多少倍？2. 创新应用题例 9 已知
16、 a、 b是方程 x2- 6x + 4 = 0的两根，且ab0，求baba的值。3. 开放探究题例 10 已知 a0，对于0 r 8，rN，式子 (a)r8(41a)r能化为关于a 的整数指数幂的可能情形有几种？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思一、巧用公式（ aa1）2= a22 + a2；a b = (a21+ b21)(a21- b21)；a + b = (a31+ b31) （a32- a31b31+ b32）例 1 化简（x+ x + 1）(x21- x21)二、整
17、体带入例 2 已知 x21+ x21=3 求32232322xxxx的值。例 3 计算（ 1 + 204821） （1 + 102421）（ 1 + 421） （1 + 221） （1 + 21）. 三、根式、小数化为指数幂例 4 计算（ 0.0081）41- 3(87)018125.0+(383)3121. 指数函数及其性质例 1 指出下列函数哪些是指数函数 y = 4x；y = x4；y = - 4x；y = (-4)x；y = x；y = 4x2； y = xx；y = (2a - 1)x(a21，且 a 1 ) 例 2 比较下列各题中两个值的大小。 1.75. 2，1.73； 0.81
18、 . 0，0.82.0； 1.73. 0，0.91 .3例 3 求下列函数的定义域和值域： y = x21； y = 211x y = (21)322xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思教材问题探究1. 函数图像的变换例 1 画出下列函数的图像，并说明他们是由函数f (x) = 2x的图像经过怎样的变换得到的。 y = 21x； y = 21x； y = 2x； y = 12x； y = -2x； y = -2x2. 图像变换的应用例 2 设 f (x) = 13x，cba
19、 且 f(c)f(a) f(b) ，则下列关系式中一定成立的是（）A. 3c3bB. 3c3bC. 3c+ 3a2D. 3c+ 3a2 探究学习例 3 选取底数a (a0，且 a 1 )的若干个不同的值, 在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图像. 观察图像 , 你能发现他们有哪些共同特征? 典型例题精析题型一指数函数的定义例 1 函数 y = (a2+ 3a + 3) ax是指数函数， 则 a 的值为 _ 题型二指数函数的图像和性质1. 过定点问题例 2 函数 y = 23x+ 3 恒过定点 _. 2. 指数函数的单调性例 3 讨论函数f (x) = (31)xx22的单调性，并求其值
20、域。例 4 已知函数f (x) = 11xxaa（a1） 求该函数的值域；证明 f (x) 是 R 上的增函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3. 指数函数的图像例 5 若函数 y = ax+ b 1（a0，且 a1）的图象经过第一、三、四象限，则一定有（）A. a1，且 b1 B. 0a 1，且 b 0 C. 0a1，且 b0 D. a 1，且 b1 变试训练1：当a0 时，函数y = ax + b和 y = bax的图象只可能是下列中的（）题型三指数函数图像和性质的综合
21、应用1. 比较大小例 6 右图是指数函数： y = ax， y = bx， y = cx， y = dx的图象，则a、 b、c、d 与 1 的大小关系是（）A. ab1cd B. ba1dc C. 1abcd D. ab1dc 2. 解不等式例 7 解不等式2221x 2. 已知xaa22xaa122，则 x 的取值范围是_。 设函数 f(x)=,0,01221xxxx若 f (x0) 1，则 x0的取值范围是（）变试训练2：设 y1= a13x，y2= ax2，其中 a0，a 1，确定 x 为何值时，有：y1= y2； y1 y2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
22、总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3. 定义域和值域例 8 求下列函数的定义域与值域 y = 241x； y = x32. 例 9 已知 -1 x2，求函数f(x)=3+2 31x9x的值域4. 指数方程例 10 解方程： 32x-3x2=80 例 11 若方程021411axx有正数解，则实数a的取值范围是（）A （， 1）B. (，2) C. （-3 ，-2）D. （-3 ，0）5. 单调性问题例 12 已知 a0 且 a1，讨论 f(x)=a232xx的单调性例 13 设a0，f(x)=xxeaae在 R 上满足 f(-x)=
23、f(x)。 求a的值 证明： f(x) 在（ 0， +）上是增函数6. 奇偶性问题例 14 已知函数f(x)=321121xx， 求 f(x)的定义域 讨论 f(x)的奇偶性 证明 f(x)0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思题型四指数函数的实际应用例15 截止到1999 年底，我国人口约13 亿。如果今后能将人口平均增长率控制在1% ，那么经过20 年后，我国人口约为多少？（精确到亿）数学思想方法一、数形结合思想1. 比较大小例 16 比较 35. 1和 47. 12.
24、求参数的取值范围例 17 关于 x 的方程aax52343有负根，求a的取值范围。3. 研究函数的单调性例 18 求函数 y =xx21221的单调区间二、分类讨论思想例 19 根据下列条件确定实数x 的取值范围：axa211(a 0 且 a1) 三、函数与方程思想例 20 已知 x,yR，且 3x+5y3y+ 5x，求证 x + y 0. 创新、拓展、实践1. 数学与科技例 21 家用电器（如冰箱等）使用的氟化物的释放破坏了大气中的臭氧层。臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式Q = Qte0025.00，其中 Q0是臭氧的初始量，t 为时间。 随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
25、多少年以后将会有一半的臭氧消失？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例 22 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t （小时）之间近似满足右图所示的曲线。 写出服药后y 与 t 之间的函数关系式y = f(t)； 据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 微克时，治疗疾病有效。求服药一次治疗疾病有效的时间。2. 数学与生产例 23 某工厂今年1 月、 2 月、 3 月生产某产品的数量分别为1 万件、 1.2 万件、 1.3万件，为了估测以后各月的产量，以这三个的月产量为依据，用一个函数模拟产品月产量y（万件）与月份数x 的关系，根据经验，模拟函数可以选用二次函数或y=abx+c（其中 a、b、c 为常数），已知 4 月份该产品产量为1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并求此函数的解析式。3. 创新应用例 24 设 f(x)=244xx，若 0a1，试求： f(a)+ f(1-a)的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页