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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载帮助公式在三角函数问题中的应用a 2浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平由 两 角 和 与 差 的 三 角 逆 用 公 式 将as i n xbc o s引 入 辅 助 角 合 并 为b2 sinx（其中为帮助角且tanb a）的形式,它在三角进行恒等变形上有着庞大的作用,作为三角问题中的重要公式在历年高考中屡见不鲜；本文就帮助公式在三角函数性质解题中的主要应用进行归纳总结,以引起同学们重视；1 求函数的定义域例 1求函数ysinx3cosx的定义域分析：要使函数有意义,只需根式内为非负数即可即2解：3sinx23co
2、sx,2sinx30,2 kx332 k2,kZkxk2kZ,故原函数的定义域为2k,2k33【评注】在求原函数定义域时应把函数解析式尽量化简后求定义域,当然在化简的过程中也要留意等价性；2 求函数的值域例 2求y3cosx的值域；2sinx分析：此题的解法有许多,除了代数函数最值的求法外,常见的有数形结合,转化为斜率问题和三角函数的有界性求解等,其中三角函数的有界性求解是最基本的解法；解：由原式变形为2yysinx3cosxx33,2y（其中tan1）ysinxcosx32y得y21 sinysinx322y 1,2ysin x11yy21两边平方得到：3y212y80y22322333【评
3、注】值域与最值是紧密相连的,由于三角函数中公式多,变形多,对求最值的方名师归纳总结 法也不拘一格,但利用a2b 2 sinx变形求值域和最值也有它的独到之处；第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载3 求函数的周期例 3.求函数y2cos2x22sinxcosx的最小正周期分析：通过三角公式的变换将原函数化为单一函数,再用周期公式求得；2解 ：y 2 c o s x 2 2 s in x c o s x 1 c o s 2 x 2 s in 2 x 1 3 s in 2 x（其中 tan 1 2）,T 2 22 2
4、w 2【评注】将函数化成 a 2 b 2 sin x 这种单一函数的形式后,求函数的最小正周期就可用周期公式 T 2；由于 a 2 b 2 sin x 中 值的大小对周期没有影响,因w此在求周期时我们可以不求出准确的 值；4 求函数的单调区间例 4.求函数ysinxcosx的单调递增区间22分析：利用帮助公式化为单一函数,再用复合函数求单调区间的方法求之令t解：y22sinx 2t2cosx2sinx42222x,就y2sin,因y2sint在2 k2,2k2,kZ为增函数,24即2k2x42kZ2得4k3x4k2；故22即3x4k,4 k2时 原 函 数 为 增 函 数 , 故 函 数 的
5、增 区 间 为23 2,4k4k,k2；【评注】求复合函数的单调区间时,肯定要留意函数的定义域及复合函数单调区间法就：同增同减为增,一增一减为减；5 求函数的奇偶性例 5. 判定函数y2sin2x42cos22x奇偶性分析：先化简成单一的三角函数再结合奇偶性的定义判定名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：y2sin2x学习好资料x欢迎下载42cos221cos2x22sin2x1sin2x21cos2xsin2xcos2x2sin2x42由函数的定义域为R,fxfx得,fx既不是奇函数也不是偶函数；【评注】函数奇偶性
6、的判定肯定要先考虑定义域是否关于原点对称,否就既是有fxfx或fxfx成立,函数也是非奇非偶函数；6图像变换例 6. 已 知 函 数 f x 1cos 2 x 3 sin x cos x ,1 x R 问 该 函 数 图 像 由2 21y sin x 图像经过怎样平移、伸缩变换得到？2解：f x 1 1 cos 2 x 3 sin 2 x 1 1 cos 2 x 3 sin 2 x 52 2 2 4 4 41 sin 2 x 52 6 4故变换如下： 将 y 1 sin x 的图像向左平移 个单位,得到函数 y 1sin x 图2 6 2 6像,再各点横坐标缩短到原先的 1 倍（纵坐标不变）得
7、到函数 y 1sin 2 x,将所2 2 6得函数图像再向上平移 5 个单位,从而得到 y 1sin 2 x 5的图像4 2 6 4【评注】图像变换即可先平移后伸缩,也可先伸缩后平移,但要留意后者变换肯定要名师归纳总结 提取自变量x 的系数,再来看怎么平移,如由y1sinx变至y1sin2x后应再左平移第 3 页,共 4 页2212个单位得y1sin2 x12,而不是向左平移6个单位；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载7图像对称例 7. 假如函数 y sin 2 x a cos 2 x 图像关于直线 x 对称,求 a 的值；8解：
8、函数 y sin 2 x a cos 2 x 化为 y 1 a 2 sin 2 x,（其中 tan 1）,故a此函数图像的对称轴方程为：2 x k,k Z,由于 x 为其中一条对称2 8轴；所以 2 k,k Z,解得 k 3,k Z8 2 41tan ,1 1,a 1a【评注】由正弦、余弦函数图像既是中心对称图形,又是轴对称图形,利用图像,得留意两者的区分；8求参数范畴问题例 8如 3 sin x cos x 4 m,求实数 m 的范畴分析：由三角帮助公式及三角函数的有界性来确定参数 m 的范畴解：3 sin x cos x 2 sin x,2 sin x 4 m6 6即 sin x 4 m,sin x ,1 4 m1,得 2 m 66 2 6 2【评注】此题用三角帮助公式化得 2 sin x 4 m 后,也可用数形结合的方法来确6定参数的范畴；无论用哪种方法,我们都要留意自变量 x 的取值范畴；2 2 b综上可见, 对三角帮助公式 a sin x b cos x a b sin x tan 在诸a多问题中都有重要的应用,它主要作用是对式子的等价转换,化简成我们熟知的函数再解题；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页