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1、学习好资料欢迎下载辅助公式在三角函数问题中的应用浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平由 两 角 和 与 差 的 三 角 逆 用 公 式 将xbxac o ss i n引 入 辅 助 角 合 并 为22sin()abx（其中为辅助角且abtan）的形式，它在三角进行恒等变形上有着巨大的作用，作为三角问题中的重要公式在历年高考中屡见不鲜。本文就辅助公式在三角函数性质解题中的主要应用进行归纳总结，以引起同学们重视。1 求函数的定义域例 1求函数xxycos3sin的定义域分析：要使函数有意义，只需根式内为非负数即可解：03sin2cos3sinxxx，kxk232即Zkkxk,32232，故原
2、函数的定义域为Zkkk,322,32【评注】在求原函数定义域时应把函数解析式尽量化简后求定义域，当然在化简的过程中也要注意等价性。2 求函数的值域例 2求xxysin2cos3的值域；分析：本题的解法有很多，除了代数函数最值的求法外，常见的有数形结合，转化为斜率问题和三角函数的有界性求解等，其中三角函数的有界性求解是最基本的解法。解：由原式变形为xxyycos3sin2yxxy23cossin得yxy23sin12（其中y1tan）123sin2yyx，1sin x11232yy两边平方得到：081232yy3322,3322y【评注】值域与最值是紧密相连的，由于三角函数中公式多，变形多，对求
3、最值的方法也不拘一格，但利用22sin()abx变形求值域和最值也有它的独到之处。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习好资料欢迎下载3 求函数的周期例 3.求函数xxxycossin22cos22的最小正周期分析：通过三角公式的变换将原函数化为单一函数，再用周期公式求得。解 ：xxxxxxy2s in312s in22c o s1c o ss in22c o s22（其中2221tan） ，222wT【评注】将函数化成22sin()abx这种单一函数的形式后，求函数的最小正周期就可用周期公式wT2；由于22sin(
4、)abx中值的大小对周期没有影响，因此在求周期时我们可以不求出确切的值。4 求函数的单调区间例 4.求函数2cos2sinxxy的单调递增区间分析：利用辅助公式化为单一函数，再用复合函数求单调区间的方法求之解：42sin22cos222sin222xxxy令42xt，则tysi n2，因tysin2在Zkkk,22,22为增函数，即224222kxk得24234kxk；故即24,234kkx时 原 函 数 为 增 函 数 ， 故 函 数 的 增 区 间 为Zkkk,24,234。【评注】求复合函数的单调区间时，一定要注意函数的定义域及复合函数单调区间法则：同增同减为增，一增一减为减。5 求函数
5、的奇偶性例 5. 判断函数xxy2cos24sin222奇偶性分析：先化简成单一的三角函数再结合奇偶性的定义判断精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习好资料欢迎下载解：xxxxy222sin222cos12cos24sin222cos122sin1xx42sin22cos2sinxxx由函数的定义域为R，xfxf得，xf既不是奇函数也不是偶函数。【评注】函数奇偶性的判断一定要先考虑定义域是否关于原点对称，否则既是有xfxf或xfxf成立，函数也是非奇非偶函数。6图像变换例6. 已 知 函 数Rxxxxxf, 1cos
6、sin23cos212问 该 函 数 图 像 由xysin21图像经过怎样平移、伸缩变换得到？解：452sin432cos4112sin2322cos121xxxxxf4562sin21x故变换如下： 将xys i n21的图像向左平移6个单位，得到函数6sin21xy图像，再各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）得到函数62sin21xy，将所得函数图像再向上平移45个单位，从而得到4562sin21xy的图像【评注】图像变换即可先平移后伸缩，也可先伸缩后平移，但要注意后者变换一定要提取自变量x的系数，再来看怎么平移，如由xysin21变至xy2sin21后应再左平移12个单位得)12(
7、2sin21xy，而不是向左平移6个单位。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习好资料欢迎下载7图像对称例 7. 如果函数xaxy2cos2sin图像关于直线8x对称，求a的值。解：函数xaxy2cos2sin化为xay2sin12， （其中a1tan） ，故此函数图像的对称轴方程为：Z，kkx22，因为8x为其中一条对称轴。所以Z，kk282，解得Z，kk4311, 1tana，1a【评注】由正弦、余弦函数图像既是中心对称图形，又是轴对称图形，利用图像，得注意两者的区别。8求参数范围问题例 8若mxx4cossin3，求实数m的范围分析：由三角辅助公式及三角函数的有界性来确定参数m的范围解：6sin2cossin3xxx，mx46sin2即246sinmx，, 16sin x124m，得62m【评注】本题用三角辅助公式化得mx46sin2后，也可用数形结合的方法来确定参数的范围。无论用哪种方法，我们都要注意自变量x的取值范围。综上可见， 对三角辅助公式abxbaxbxatansincossin22在诸多问题中都有重要的应用，它主要作用是对式子的等价转换，化简成我们熟知的函数再解题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页