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1、1 近世代数习题解答第二章群论1 群论1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 证不是一个群 ,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证1, 1G对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明 , 我们也可以用条件1,2 以及下面的条件5,4来作群的定义: 4. G至少存在一个右单位元e,能让aae对于G的任何元a都成立5. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元,1a能让eaa1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由eaa1得eaa1因为由4 G有元a能使eaa1所以)()(111aaaaeaaeaaaeaaaaa1111)(即eaa1(2) 一个右恒等元e一
2、定也是一个左恒等元,意即由aae得aeaaaeaaaaaaea)()(11即aea这样就得到群的第二定义. (3) 证bax可解取bax1bbebaabaa)()(11这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到5 ,4是不困难的 . 2 单位元 ,逆元,消去律1.假设群G的每一个元都适合方程ex2,那么G就是交换群 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2 证由条件知G中的任一元等于它的逆元,因此对Gba,有baababab111)(. 2.在一个有限群里阶大于2 的元的个数是偶数. 证(1) 先证a的阶是n则1
3、a的阶也是n.eeaaeannn111)()(假设有nm使eam)(1即eam1)(因而1eameam这与a的阶是n矛盾 .a的阶等于1a的阶(2) a的阶大于2, 则1aa假设eaaa21这与a的阶大于2矛盾(3) ba则11ba总起来可知阶大于2的元a与1a双双出现 ,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3.假定G是个数一个阶是偶数的有限群,在G里阶等于2的元的个数一定是奇数. 证根据上题知 ,有限群G里的元大于2的个数是偶数;因此阶2的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶2的元的个数一定是奇数. 4.一个有限群的每一个元的阶都是有限的. 证Ga故Gaaaanm,2由于G是
4、有限群 ,所以这些元中至少有两个元相等: nmaa)(nm故eamnmn是整数 ,因而a的阶不超过它. 4 群的同态假定在两个群G和G的一个同态映射之下,aa，a和a的阶是不是一定相同? 证不一定相同例如231,231, 1iiG 1G对普通乘法GG,都作成群 ,且1)(x(这里x是G的任意元 ,1是G的元 ) 由可知GG但231,231ii的阶都是3. 而1的阶是1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 5 变换群1.假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元1,使得1? 证 我们的答复是回有的,3,2, 1
5、A1: 11 2 11 21 23 32 34 43 45 显然是一个非一一变换但12.假定A A的可以写成babaxx,是有理数 ,0a形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :baxx:dcxx:dcbcaxdbaxcx)(dcbca,是有理数0ca是关闭的 . (2)显然时候结合律(3)1a0b则:xx(4):bax)(1:1abxax而1所以构成变换群. 又1: 1xx:2xx2:21)1(2 xx:1212xx故1221因而不是交换群. 3. 假定S是一个集合A的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号:)(aaa来说明一个变换.证明 ,我们可以用21: )()
6、(2121aaa来规定一个S的乘法 ,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是S的单位元 . 证:1)(1aa:2)(2aa那么:21)()(2121aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页4 显然也是A的一个变换 . 现在证这个乘法适合结合律: )()(:)(321321aa)(321a)(:)(321321aa)(321a故)()(321321再证还是S的单位元:)(aaa:)()(aaa:)()(aaa4 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。证 设是是变换群G的单位元G，G是变换群，故是一一变换，因此
7、对集合A的任意元a，有A的元b，:)(bab)()(aa=abb)()(aa)(另证)()(1xx根据.7.1习题3知xx)(1xx)(5.证明实数域上一切有逆的nn矩阵乘法来说，作成一个群。证G= 实数域上一切有逆的nn矩阵 GBA,则11AB是AB的逆从而GBA,对矩阵乘法来说，G当然适合结合律且En阶的单位阵是G的单位元。故G作成群。 6 置换群1. 找出所有3S的不能和)(123231交换的元 . 证3S不能和)(123231交换的元有)(),(),(123321123213123132这是难验证的. 2.把3S的所有的元写成不相连的循环置换的乘积精选学习资料 - - - - - -
8、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5 解: 3S的所有元用不相连的循环置换写出来是:(1), (12), (13), (23), (123), (132). 3. 证明 : (1) 两个不相连的循环置换可以交换(2) )()(11121ii iii ikkk证(1) )(121mkkiiii i=)(11211132nmmkknmmkiiiiiiiiiiiii)(12121113221nmmkkknmkkkkiiiiiiiiiiiiiiii=()(121211132132niiiiiiiiiiiiiiiinmmkkkmkkk又mkkiii21()(21
9、kii i=)(12121113221nmmkkknmkkkkiiiiiiiiiiiiiiii)(112111132nmmkknmmkiiiiiiiiiiiiii=)(121211132132nmmkkknmkkkiiiiiiiiiiiiiiii,故)()(211121kmkmkkii iiiiiii i(2) )()(11121iiiiii ikkk,故)()(11121iiiii ikkk. 3.证明一个 K 一循环置换的阶是K. 证设)()(2113221kiiiiiikii i)(1232kiiii)(1111kkiiiik)()(111ikkiiiik设kh, 那么)()(111ik
10、hhiiiih证明nS的每一个元都可以写成)1( ,),13(),12(n这1n个循环置换中的假设干个乘积。证根据.6.2定理。nS的每一个元都可以写成假设干不相干循环置换的乘积而我们又能证明)()()(1312121kki ii ii iii i同时有)1)(1)(1()(111iiii ill, 这样就得到所要证明的结论。则)(1132niiii)(1111kkiiii7 循环群1 证明一个循环群一定是交换群。证)(aGma，Gan则mnmnnmnmaaaaaa2 假设群的元a的阶是n，证明ra的阶是dn这里),(nrd是r和n的最大公因子精选学习资料 - - - - - - - - -
11、名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页6 证因为dnr),(所以,11dnndrr而1),(11nra生成一个阶n是的循环群G。证明ra也生成G，假设1),(nr( 这就是说r和n互素 ) 证a生成一个阶n是的循环群G，可得生成元a的阶是n，这样利用上题即得所证，或者，由于1),(nr有1tnsrnrtnsrtnsraaaaa)(即)(raa故raa)()(4 假定G是循环群，并且G与G同态，证明G也是循环群。证 有 2。4。定理 1 知G也是群，设G且aa)(是同态满射 ) Gb则存在Gb使bb)(kab因而GG故kkaa )(即kab)(因而kab即 ?= ? 5
12、 假设G是无限阶的循环群，G是任何循环群，证明G与G同态。证 设G是无限阶的循环群，)(aG)(aG令aa )(且)()()(aaaaaaassss所以GG设)(aG而a的阶是n。令：11khaa当且只当111knqh, nk10易 知是G到G的一个满射12khaa222knqhnk20设knqkk21则212121)(kkqqnhhkqqqn)(21那么khhaaa212121kkkkqkqaaaaaGG8 子群1找出 S3的所有子群证 S3=)132(),123(),23(),13(),12(),1( 的子群一定包含单位元)1 (。 S3 本身及只有单位元)1 (都是子群包含)1 (和一个
13、 2 一循环的集合一定是子群因)1 ()(),()(1 (2ijijij2H=)12(),1(，3H=)13(),1(，4H=)23(),1 ( 亦为三个子群包含)1(及两个 3循环置换的集合是一个子群精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 )()(2ijkijk，)1()(ikjijk5H=)132(),123(),1 (是子群，3S有以上 6 个子群，今证只有这6 个子群， 包含)1(及两个或三个2循环置换的集合不是子群因)()(ijkikij不属于此集合)假设一集合中3循环置换只有一个出现一定不是子群因)()(
14、2ikjijk)一个集合假设出现两个3循环置换及一个2循环置换不是子群因)()(ikijkij 3循环置换及2循环置换都只有两个出现的集合不是子群因假设)(),(ikij出现则)(0)(jkijkij故3S有且只有6 个子群。2.证明；群G的两个子群的交集也是G的子群。证21,HH是G的两个子群，21HHHH显然非空Hba,则1,Hba同时2,Hba因2, 1HH是子群，故11Hab，同时21Hab所以11HabHH2故H是G的子群 3 取3S的子集)123(),12(S，S生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群？证S)1 ()12(2S)132()123(2S)13
15、()123)(12(S)23()132)(12(从而3SS群的两个不同的子集会生成相同的子群)123(1S1S生成的子群为 )132(),123(),1( )132(2S2S生成的子群为 )132(),123(),1 ( 4 证明，循环群的子群也是循环群。证G=a是循环群，H是G的子群设Hak，而kh0时Hak。任意Hb则Gb因而mabrkqmkr0rkqrkqmaaaa因Ham，qkkqaa)(所以)(kaH是循环群 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页8 5. 找出模 12 的剩余类加群的所有子群证 剩余类加
16、群是循环群故其子群是循环群. G=11 ,1,0 ( ) G)11()7()5()1( ) )0(1H( )10()2(即2H10,8,6,4,2,0( ) )9()3(即3H96,3,0( ) )8()4(即4H8,4,0( ) (6) 即5H6,0有且只有以上6 个 子群 . H是群G的一个非空子集, 并且H的每一个元的阶都有限, 证明 ,H作成子群的充要条件:Hba,推出Hab证必要性显然充分性Hba,推出Hab,(*)所以只证Ha推出即可 . Ha,a的阶有限设为meam即eaam 1所以11maa由(*) 可知Ham 1, 因而Ha1这样H作成G的子群 . 9 子群的陪群1. 证明阶
17、是素数的群一定是循环群证：设群G的阶是素数P, 则可找到Ga而ea, 则a的阶p, 根据.9.2定理 3 知pn, 但p是素数 ,故 ,pn那么1210,paaaa是G的P个不同元 ,所以恰是P的不同元 ,故pn. 2. 证明阶是mp的群 (p是素数 )一定包含一个阶是p的子群 . 证：设阶是mp的群为G, m是正整数 , 可取Ga, 而ea, 根据.9.2定理 3, a的阶是np而mn, 进一步可得1npa的阶为p. )(1npaH是阶为p的G的子群 . 3. 假定a和b是一个群G的两个元 ,并且baab,又假定a的阶是m，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
18、- - - - - -第 8 页，共 14 页9 b的阶n是并且1)(mn.证明 :ab的阶是mn证ebaabebeamnmnmnnm)(,. 设.)(eabr则1),( ,)(nmmrnebbaabmrmrmrmr故. rn1),( ,)(nmnrmebaabnrnrnr故rm又1),(nmrmn因此ab的阶是mn. 4.假定 是一个群G的元间的一个等价关系,并且对于G的任意三个元,xxa来说,xxaxax证明与G的单位元e等价的元所作成的集合为H证 由于 是等价关系 ,故有 ee即HbaHe,.,则ebea,因而11,bbbeaaae由题设可得11,beae由对称律及推移律得11 ab再由
19、题设得eab1即Hab1这就证明了H是G的一个子群 . 5.我们直接下右陪集Ha的定义如下 :Ha刚好包含G的可以写成ha)(HhG的每一个元属于而且只属于一个右陪集. 证任取Ga则Haeaa这就是说 ,G的每一个元确实属于一个右陪集假设HbxHax,则.,21bhxahx则bhah21,因而ahhbbhha112211,ahhhhbbhhhha112211,HaHbHbHa,故 Ha=Hb 这就证明了 ,G的每一个元只属于一个右陪集. 6. 假设我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是4的群 , 它们都是交换群. 证设G是阶为4 G的元的阶只能是.4,2, 11假设G有一个元的阶为4,
20、则G为循环群 ; 2. 假设G有一个元的阶为2,则除单位元外,其他二元的阶亦均未2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 就同构的观点看阶为4的群 ,只有两个 ; 由下表看出这样的群确实存在 . 循环群0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 非循环群循环群是交换群，由乘法表看出是交换群10 不变子群、商群1. 假定群G的不变子群N的阶是2,证明 ,G的中心包含N. 证设,neNN是不变子群 ,对于任意Ga有Nana1假设eana1则aan，en矛盾nana
21、1则naan即n是中心元 . 又e是中心元显然 . 故G的中心包含N. 2. 证明 ,两个不变子群的交集还是不变子群令证21NNN,则N是G的子群 . 1NnNn及2Nn，NanaNanaNana12111,故N是不变子群 . 3. 证明 :指数是2的子群一定是不变子群. 证设群H的指数是2则H的右陪集为HaHe,e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页11 H的左陪集为aHeH,eHHe由aHeHHaHe易知aHHa因此不
22、管x是否属于H均有xHHx4. 假定H是G的子群 ,N是G的不变子群 ,证明HN是G的子群。证任取HNnhHNnh2211,HNhnHNnnhhnnhhnhnhnhnh,)()()()(2121332122112211NhNhhnhn11111)(.)(11HNnhhn至于 HN 非空是显然的!HN 是 G 的子群 . 5. 列举证明 ,G 的不变子群N 的不变子群1 未必是 G 的不变子群 (取 G=!) 证取4SG2314,12314,2413,3412,11NN易知 N 是 G 的子群 ,1N是 N 的子群我们说 N 是 G 的不变子群 ,这是因为43214321432143214321
23、4321iii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiii此即说明.,1NnGaNana因为 N 是阶为 4 的群 ,所以为交换群,故其子群1N是不变子群 . 但1N却不是 G 的不变子群 ,原因是 : 11241334231434N6. 一个群 G 的可以写成abba11!形式的元叫做换位子.证明 : i)所有的有限个换位子的乘积作成的集合C 是 G 的一个不变子群; ii)G/C 是交换群 ; iii) 假设 N 是 G 的一个不变子群,并且 G/N 是交换群 ,那么CN证i)e显然是有限个换位子的乘积; eeeee11故Ce(有限个换位子的乘积)(有限个换位子的乘积)= 有限个换位子的乘
24、积,故 C 对 G 的乘法是闭的 . 由于baababba111111 是换位子 ,故(有限个换位子的乘积)的逆仍为 (有限个换位子的乘积 )即有,1Cc故 C 是子群 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页12 CgCc,由Cgcg1有Cccgcg11即Cgcg1所以 C 是不变子群 . (ii)x、GyCccxyyx11就有yxcxy故yxCxy1 因而yxCxyC即)()(xCyCyCxC所以NG是交换子群 ; (iii) 因 G/N 是交换子群就有)()(xNyNyNxNNyxNxy)()(yxNxyyx
25、nxyNn因此Nxyyx11又由于N是子群 ,所以N包含有限个换位子的乘积, 即CN. 11 同态与不变子群1 我们看一个集合A到集合A的满射,证明 ,假设S是S的逆象 ,S一定是S的象 ;但假设S的S的象 ,S不一定是S的逆象 . 证 ) 在之下的象一定是S; 假设有S的元s在之下的象Ss,则s有两个不同的象,故矛盾又S的逆象是S两者合起来 ,即得所证)设 ,6 ,5,4, 3, 2, 1A2, 1A:112233241526令 3, 1S在之下 1S但S的逆象是5 ,3 ,12. 假定群G与群G同态 ,N是G的一个不变子群,N是N的逆象 .证明 : 证设xx:1是G到G的同态满射 ; 精选
26、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 Nxx:2是G到NG的同态满射 . 规定:)(,)(2NxxxxNxx则是G到NG的同态满射 . 事实上 ,)(,)(:21NyyyyNyy则yxyxyx)()()(111NyNxyxyx)()()(222故NyNxyx:这就是说 ,NGG 现在证明同态满射的核是NNx则xx)(1由于N是N的逆象故xx)(1因而NNxx)(2另一方面 ,假设Nx则Nx(N是N的逆象 ) 根据1 .21 定理 2. NGNG3 假定G和G是两个有限循环群,它们的阶各是m和n证明G与G同态 ,当而
27、且只当mn的时候证 NG令N为同态满射的核心,NG的阶一定整除G的阶但GNG故G的阶一定整除G的阶 .即.mnGGmn.设)(),(aGaG令)0,(:nrrnqiaari在下1rkaa)0 ,(111nrrnqi2rkaa)0 ,(222nrrnqh而rnqrr21)0(nr2121)(rrqqnhkrqqqn)(21rqqqnhkhkaaaa)(212121rrrrraaaa即GG 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 4 假定G是一个循环群 ,N是G的一个子群 ,.证明 ,NG也是循环群 . 证设)(aGGb则mabmmaNNabN)(另证G是循环群 ,由.10.2习题 1 知: G 是交换群 ,又由 !.例 3 知N是G是一个不变子群,由这一节定理1 得NGG 再由.7.2习题 4 知NG是循环群 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页