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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修四三角函数重要公式 公式一：设 为任意角 ,终边相同的角的同一 三角函数 的值相等：sin2k sin cos2k cos tan2k tan cot2k cot 公式二：设 为任意角 , +的 三角函数值 与 的三角函数值 之间的关系：sin sin cos cos tan tan cot cot 公式三：任意角 与 - 的三角函数值 之间的关系：sin sin cos cos tan tan cot cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到sin sin cos cos tan tan cot cot 公式五：利用公式一和公式
2、三可以得到sin2 sin cos2 cos tan2 tan cot2 cot 公式六：- 与 的三角函数 值之间的关系：2- 与 的三角函数 值之间的关系： /2 及 3 /2 与 的三角函数值之间的关系：sin /2 cos cos /2 sin tan /2 cot cot /2 tan sin /2 cos 1 / 7名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - cos /2 sin tan /2 cot cot /2 tan sin3 /2 cos cos3 /2 sin tan3 /2 cot cot3 /2 ta
3、n sin3 /2 cos cos3 /2 sin tan3 /2 cot cot3 /2 tan 以上 kZ 诱导公式 记忆口诀 规律总结上面这些 诱导公式 可以概括为：对于 k /2 k Z的个三角函数值,当 k 是偶数时,得到 的同名函数值,即函数名不转变；当 k 是奇数时,得到 相应的 余函数 值,即 sin cos;cos sin;tan cot,cot tan. 奇变偶不变然后在前面加上把 看成 锐角 时原函数 值的符号；符号看象限例如：sin2 sin4 /2 ,k 4 为偶数,所以取sin ；当 是锐角 时, 2270,360,sin2 0,符号为 “ ”；所以 sin2 si
4、n 上述的记忆口诀是：奇变偶不变,符号看象限；公式右边的符号为把 视为 锐角 时,角 k 360 + kZ,-、180 , 360- 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限；各种三角函数在四个象限的符号如何判定,也可以记住口诀 余弦 ”这十二字口诀的意思就是说：第一象限 内任何一个角的四种三角函数值都是“ ”；其次象限内只有正弦是“” ,其余全部是 “” ；第三象限 内切函数是 “” ,弦函数是 “” ；第四象限 内只有余弦是 “” ,其余全部是 “” 2 / 7“ 一全正；二正弦；三为切；四名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 -
5、 - - - - - - - - 其他三角函数学问：同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系 : tan 1 cot sin 1 csc cos sec 商的关系：sin /cos tan sec /csc cos /sincot csc /sec 平方关系：sin2 cos2 1 1tan2 sec2 1cot2 csc2 同角 三角函数关系 六角形 记忆法六角形 记忆法 ：参看图片或参考资料链接构造以 上弦 、中切、下割；左正 、右余、中间1的正六边形 为模型；1倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；2商数 关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积；主
6、要是两条虚线两端的三角函数值的乘积；由此,可得 商数 关系式；3平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的 平方和 等于下面顶点上的三角函数值的平方；两角和差公式两角和与差的 三角函数公式sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan tan tan tan 1tan tan 3 / 7名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 倍角公式二倍角的正弦、余弦
7、和 正切 公式 升幂 缩角公式sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 112sin2 2tan tan2 1tan2 半角公式半角 的正弦、余弦和 正切 公式 降幂 扩角公式1cos sin2 /22 1cos cos2 /22 1cos tan2 /21cos 万能公式万能公式2tan /2 sin 1tan2 /2 1tan2 /2 cos 1tan2 /2 2tan /2 tan 1tan2 /2 万能公式 推导附推导：4 / 7名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - sin2 =2si
8、n cos =2sin cos /cos2 +sin2 .*由于 cos2 +sin2 =1再把 *分式 上下同除 cos2 ,可得 sin2 tan2 /1tan2 然后用 /2代替 即可；同理可推导余弦的万能公式；三倍角公式正切 的万能公式可通过正弦比余弦得到；三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos 3tan tan3 tan3 13tan2 三倍角公式 推导附推导：tan3 sin3 /cos3 sin2 cos cos2 sin /cos2 cos-sin2 sin 2sin cos2 cos2 sin sin3 /cos3上下同除以
9、 cos3 ,得：tan3 3tan tan3 /1- 3tan2 sin3 sin2 sin2 cos cos2 sin 2sin cos2 12sin2 sin 2sin 2sin3 sin 2sin2 3sin 4sin3 cos3 cos2 cos2 cos sin2 sin 2cos2 1cos 2cos sin2 2cos3 cos2cos 2cos3 4cos3 3cos 即sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos 三倍角公式 联想记忆记忆方法 ：谐音、联想cos sin2 2sin2 cos 正弦三倍角： 3 元 减 4 元 3 角欠债了 被减成负数 ,所
10、以要 “ 挣钱 ” 音似 “ 正弦 ” 余弦三倍角： 4 元 3 角 减 3 元减完之后仍有“ 余” 留意函数名,即正弦的三倍 角都 用正弦表示,余弦的三倍 角都 用余弦表示；5 / 7名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 和差化积公式三角函数的 和差化积公式 sin sin 2sin -cos- 2 2 sin sin 2cos-sin- 2 2 cos cos 2cos-cos- 2 2 cos cos 2sin-sin- 2 2 积化和差公式三角函数的 积化和差公式sin 0.5sin sin cos 0.5sin
11、 sin cos 0.5cos cos sin 0.5cos cos 和差化积公式 推导附推导：第一 ,我们知道 sina+b=sina*cosb+cosa*sinb,sina-b=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sina+b+sina-b=2sina*cosb 所以 ,sina*cosb=sina+b+sina-b/2 同理 ,假设把两式相减 ,就得到 cosa*sinb=sina+b-sina-b/2 同样的 ,我们仍知道 cosa+b=cosa*cosb-sina*sinb,cosa-b=cosa*cosb+sina*sinb 所以 ,把两式相加 ,我们就可
12、以得到cosa+b+cosa-b=2cosa*cosb 所以我们就得到 ,cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2 同理 ,两式相减我们就得到sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2 这样 ,我们就得到了 积化和差 的四个公式 : sina*cosb=sina+b+sina-b/2 cosa*sinb=sina+b-sina-b/2 cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2 6 / 7名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2 好,有了 积化
13、和差 的四个公式以后 ,我们只需一个变形 ,就可以得到 和差化积 的四个公式 . 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=x+y/2,b=x-y/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到 和差化积 的四个公式 : sinx+siny=2sinx+y/2*cosx-y/2 sinx-siny=2cosx+y/2*sinx-y/2 cosx+cosy=2cosx+y/2*cosx-y/2 cosx-cosy=-2sinx+y/2*sinx-y/2 向量的运算加法运算AB BCAC,这种运算法就叫做向量加法的 三角形法就 ；已知两个从同一点 O 动身的两个向量 O
14、A 、OB,以 OA 、OB 为邻边作平行四边形 OACB ,就以 O 为起点的对角线 OC 就是向量 OA 、OB 的和,这种运算法就叫做向量加法的 平行四边形法就 ；对于 零向量 和任意向量 a,有： 0aa0a；|ab| |a|b|；向量的加法满意全部的 加法运算定律 ；减法 运算与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 是零向量 ；a 的相反向量 , a a,零向量 的相反向量 仍旧1aaaa02aba b；数乘运算实数 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 a,| a| | |a|,当 0时, a的方向和 a 的方向相同, 当 0时, a的方向和 a 的方向相反,
15、当 = 0时, a = 0；设 、 是实数,那么： 1 a = a2 + a = a + a3 a b = a b a = a = a；向量的加法运算、减法 运算、数乘运算统称 线性运算 ；向量的 数量积已知两个 非零向量 a、b,那么 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 或内积 ,记作 a.b, 是 a 与 b的夹角, |a|cos |b|cos 叫做向量 a 在 b 方向上 b 在 a 方向上的投影；零向量与任意向量的 数量积 为 0；a.b的几何意义：数量积a.b等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积；两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；7 / 7名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页