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1、1 高中数学数列专题练习精编版1. 已知数列nanN是等比数列 , 且130,2,8.naaa(1) 求数列na的通项公式 ; (2) 求证:11111321naaaa；(3) 设1log22nnab, 求数列nb的前 100 项和. 2. 数列an 中，18a，42a，且满足21nnaa常数C(1) 求常数 C 和数列的通项公式；(2) 设201220|Taaa， (3) 12|nnTaaa,nN3. 已知数列nn2 ,na =2n1,n为奇数；为偶数；，求2nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2 4 . 已知
2、数列na的相邻两项1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根, 且11a. (1) 求证: 数列nna231是等比数列 ; (2) 求数列nb的前n项和nS. 5. 某种汽车购车费用10 万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9 千元，汽车的维修费平均为第一年2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，各年的维修费平均数组成等差数列， 问这种汽车使用多少年报废最合算即使用多少年时，年平均费用最少？6. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800 万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400
3、万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. (1) 设 n 年内( 本年度为第一年 ) 总投入为 an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2) 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 7. 在等比数列 an(n N*)中，已知 a11，q0设 bn=log2an，且 b1b3b5=6，b1b3b5=0(1) 求数列 an 、bn 的通项公式 an、bn；(2) 假设数列 bn的前 n 项和为 Sn，试比较 Sn与 a
4、n的大小8. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn， 且 an是 Sn与 2 的等差中项，数列 bn中，b1=1，点 Pbn，bn+1在直线 x- y+2=0上。1求 a1和 a2的值；2求数列 an ， bn的通项 an和 bn；3设 cn=anbn，求数列 cn 的前 n 项和 Tn。9. 已知数列na的前n 项和为11,4nS a且1112nnnSSa，数列nb满足11194b且13nnbbn (2)nnN且求na的通项公式；求证：数列nnba为等比数列 ; 求nb前 n 项和的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，
5、共 14 页4 10. 已知等差数列an的前 9 项和为 1531求5a；2假设，82a，从数列an中，依次取出第二项、 第四项、第八项，第 2n项，按原来的顺序组成一个新的数列cn，求数列cn的前 n 项和Sn. 11. 已知曲线 C ：xye其中e为自然对数的底数在点1,Pe 处的切线与x轴交于点1Q，过点1Q作x轴的垂线交曲线 C 于点1P，曲线 C在点1P处的切线与x轴交于点2Q，过点2Q作x轴的垂线交曲线 C 于点2P，依次下去得到一系列点1P、2P、nP，设点nP的坐标为,nnxy*nN 分别求nx与ny的表达式；求1niiix y12. 在数列)0,(2)2(,2111Nnaa，
6、aannnnn中（1） 求证：数列2() nnna是等差数列；（2） 求数列na的前 n 项和nS；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5 13. 在等差数列na中，公差 d 0，且56a，1求46aa的值2 当33a时， 在数列na中是否存在一项mam正整数 ， 使得3a，5a，ma成等比数列，假设存在，求m的值；假设不存在，说明理由3假设自然数123t n , n , n , , n , , ( t为正整数 )满足 5 1n2n tn， 使得31t5nna , a ,a , ,a , 成等比数列， 当32a时，
7、用t 表示tn14. 已知二次函数2( )f xaxbx满足条件 : (0)(1)ff; ( )f x的最小值为18. ()求函数( )f x的解析式 ; ()设数列na的前n项积为nT, 且()45fnnT, 求数列na的通项公式 ; ( ) 在( ) 的条件下 , 假设5()nf a是nb与na的等差中项 , 试问数列nb中第几项的值最小 ? 求出这个最小值 . 15. 已知函数 f x=x24，设曲线 yf x在点xn，f xn 处的切线与 x轴的交点为 xn+1, 0 nN + ，用 xn表示 xn+1；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
8、 - -第 5 页，共 14 页6 假设 x1=4，记 an=lg22nnxx，证明数列na成等比数列，并求数列nx的通项公式；假设 x14，bnxn2，Tn是数列 bn的前 n 项和，证明 Tn3. 数列专题练习参考答案1. 解：(1) 设等比数列na的公比为q. 则由等比数列的通项公式11nnaa q得3 131aa q,284,2q又0,22naq分数列na的通项公式是12223nnna分 . 123231111211111112221222212nnnaaaa11,2n6分11,117,2nn分123111118.naaaa分2132log21219,212112,nnnnnbnbbn
9、nb由分又常数数列是首项为 3, 公差为 2的等差数列11分数列nb的前 100项和是100100991003210200122S分2解： 1C2102nan ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 1256125671251256720520(2)| =(+a) =2()(+a) =2SS=260nnnTaaaaaaaaaaaaaaaaaa (3)229 ,5409,5nnnnTnnn12321352124621352 -12()()2(14 )( -12222)(3711)341422(41)23nnnnnnn
10、Saaaaaaaaaaaan nnnn3. 解：）（4 . 解：证法 1: 1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根 , .,211nnnnnnaabaa由nnnaa21, 得nnnnaa23123111, 故数列nna231是首项为31321a, 公比为1的等比数列 . 证法 2: 1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根 , .,211nnnnnnaabaannnnnnnnnaaaa23123122312311111231231nnnnaa, 故数列nna231是首项为31321a, 公比为1的等比数列 . (2) 解: 由(1) 得1131231nnn
11、a, 即nnna1231. 111121291nnnnnnnaab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页8 1229112nn. nnaaaaS321nn11122223123221122311nn. 2220.20.40.60.2(1)0.20.10.1 .42100.90.10.1100.1.6nnnnnnnnnn5. 解：维修费总费用分分210 100.1100.11213.9.10nnnnnn平均费用当时，汽车报废最合算分分6. 解：(1) 第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入为 800(151)万元
12、，第 n 年投入为 800(151)n1万元，所以， n 年内的总投入为an=800+800 (1 51)+800(151)n1=nk 1800(151)k1=40001(54)n第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收入为 400(1+41)，第n 年旅游业收入 400(1+41)n1万元. 所以， n 年内的旅游业总收入为bn=400+400 (1+41)+400(1+41)k1=nk1400(45)k1. =1600(45)n1(2) 设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即：1600(45)n140001(54)n0，令 x=(54)n，精选学
13、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页9 代入上式得： 5x27x+20. 解此不等式，得 x52，或 x1( 舍去). 即(54)n52，由此得 n5. 至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入. 7. 11121 3 5155613551321 31 323322522111(1),1,0,log,01,1,0.60,6,log6,264,164,8.81,. 16.2nnnnnnnaa qaqababb baabbbbbbba aaaaaaa qqqaa qaaa q7. 解由题设 有数列是单调数列又及知 必有即
14、由及得即即由得115214116()2log5. (6)2()(9) (2)(1),5,.229,0,0,;12,47;168,;1 1 13 4 5 6 7 8,9 10 10 9 7 4,4 21,2 4 8nnnnnnnnnnnnnnnnnbann bbnnbn SnSaaSnSaaSnSaaS；分由知当 时当或 时或或当时、 、 、 、 、 、.,129,;3 4 5 6 7 8,.(13)nnnnnnnaSnaS综上所述 当或 或 时 有当时 有分、8. 解： 1an是 Sn与 2 的等差中项Sn=2an-2 a1=S1=2a1-2，解得 a1=2 a1+a2=S2=2a2-2，解得
15、a2=4 3分2Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2 ，又 SnSn-1=an，*),2(Nnnan=2an-2an-1，an0，*),2(21Nnnaann，即数列 an 是等比树立 a1=2，an=2n点P(bn，bn+1)在直线 x-y+2=0 上，bn-bn+1+2=0，bn+1-bn=2，即数列 bn 是等差数列，又 b1=1，bn=2n-1， 8 分3cn=(2n-1)2nTn=a1b1+ a2b2+ anbn=12+322+523+ +(2n-1)2n，2Tn=122+323+ +(2n-3)2n+(2n-1)2n+1因此： -Tn=12+(222+223+ +22n)-(
16、2 n-1)2n+1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 即：-Tn=12+(23+24+ +2n+1)-(2n-1)2n+1，Tn=(2n-3)2n+1+6 14分9. 解： (1) 由112221nnnSSa得1221nnaa, 112nnaa2 分111(1)24naandn4 分(2) 13nnbbn, 11133nnbbn , 1111111111113()3324364324nnnnnbabnnbnbn; 11111113(1)2424nnnnbabnbn由上面两式得1113nnnnbaba, 又1
17、111913044ba数列nnba是以-30 为首项 ,13为公比的等比数列 . 8 分(3) 由(2) 得1130( )3nnnba，11111130( )30 ( )3243nnnnban12111111130( )(1)30( )243243nnnnbbnn=221111130 ( )(1)20( )023323nn，nb是递增数列 11 分当 n=1时, 11194b0； 当 n=2时, 23104b0； 当 n=3时, 351043b0，所以 , 从第 4 项起的各项均大于0, 故前 3 项之和最小. 且31101(1 35)3010414312S 13 分10. 解：1153922
18、92)(955919aaaaS175a5分2设数列an的公差为 d，则35174811512dadaadaa23nan9 分Saaaannnnn248213 2482232()26n12分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页11 11. 解： xye，曲线 C ：xye在点1,Pe 处的切线方程为1yee x，即 yex此切线与x轴的交点1Q的坐标为0,0 ，点1P的坐标为0,1 2 分点nP的坐标为,nnxy*nN ，曲线 C ：xye在点nP,nnxy处的切线方程为nnxxnyeexx， 4分令0y，得点1nQ
19、的横坐标为11nnxx数列nx是以 0 为首项，1为公差的等差数列1nxn，1 nnye *nN8分1122331.niinnix yx yx yx yx y1234101232122112234.(1) (1)234.(1) (2)(1)(2)(1)1.(1)1(1)1(1)(1nnnnnnSeeeen eeSeeeen ee Seeen een eSee 得到： )e14 分12. 解： 1由1*1(2)2 ,(,0)nnnnaanN，可得11122()()1nnnnnnaa所以2() nnna是首项为 0，公差为 1 的等差数列 . 2解：因为2()1nnnan即*(1)2 ,()nnn
20、annN设2312(2)(1)nnnTnn3412(2)(1)nnnTnn当1时，得2341(1)(1)nnnTn211(1)(1)1nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页12 21121222(1)(1)(1)1(1)nnnnnnnnT13. 解： 1在等差数列na中，公差 d 0 ，且56a，则546462aaa , aa12 3 分2在等差数列na中，公差 d 0 ，且56a，33a则11233014621nad3 d= , a ,anad2nN又235m aa a则3631m3a , 12=m , m=
21、92 7分3在等差数列na中，公差 d 0 ，且56a，3a2则1124461nad2 d=2 , a2 ,a2n ,nNad又因为公比53632aq , a首项32a，12 3ttn a又因为112442 332tttntttan , 2n , nnN12 分: (1) 由题知 : 200148ababa , 解得1212ab , 故211( )22f xxx. 2 分(2) 221245nnnnTa aa , 2(1)(1)211214(2)5nnnnTa aan, 114(2)5nnnnTanT, 又111aT满足上式 . 所以14()5nnanN 7 分精选学习资料 - - - - -
22、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 (3) 假设5 ()nf a是nb与na的等差中项 , 则25 ()nnnf aba, 从而21110()22nnnnaaba , 得2239565()55nnnnbaaa. 因为14()5nnanN是n的减函数 , 所以当35na, 即3()nnN时, nb随n的增大而减小 , 此时最小值为3b; 当35na, 即4()nnN时, nb随n的增大而增大 , 此时最小值为4b. 又343355aa, 所以34bb, 即数列nb中3b最小, 且2223442245655125b. 12 分15. 解： 由题
23、可得( )2fxx所以曲线( )yf x在点(,()nnxf x处的切线方程是：()()()nnnyf xfxxx即2(4)2()nnnyxxxx令0y，得21(4)2()nnnnxxxx即2142nnnxx x显然0nx，122nnnxxx 由122nnnxxx， 知21(2)22222nnnnnxxxxx， 同理21(2)22nnnxxx故21122()22nnnnxxxx从而1122lg2lg22nnnnxxxx，即12nnaa所以，数列na成等比数列故111111222lg2lg 32nnnnxaax 即12lg2lg 32nnnxx从而12232nnnxx所以11222(31)31nnnx由知11222(31)31nnnx，1242031nnnbx1111 12122223111113313133nnnnnnbb当1n时，显然1123Tb当1n时，21121111( )( )333nnnnbbbb12nnTbbb111111( )33nbbb111 ( ) 3113nb133 ( )33n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 综上，3nT(*)nN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页