根与系数的关系练习题.pdf

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1、一元二次方程根与系数得关系习题 主编:闫老师 准备知识回顾:1、一元二次方程)0(02acbxax得求根公式为)04(2422acbaacbbx。2、一元二次方程)0(02acbxax根得判别式为:acb42（1）当0时,方程有两个不相等得实数根。（2）当0时,方程有两个相等得实数根。（3）当0时,方程没有实数根。反之:方程有两个不相等得实数根,则 ;方程有两个相等得实数根,则 ;方程没有实数根,则 。韦达定理相关知识 1若 一 元 二 次 方 程)0(02acbxax有 两 个 实 数 根21xx 和,那 么21xx ,21xx 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数得关系,简称韦达定理

2、。2、如 果 一 元 二 次 方 程02qpxx得 两 个 根 就 是21xx 和,则21xx ,21xx 。3、以21xx 和为根得一元二次方程(二次项系数为 1)就是0)(21212xxxxxx 4、在一元二次方程)0(02acbxax中,有一根为 0,则c ;有一根为1,则cba ;有一根为1,则cba ;若两根互为倒数,则c ;若两根互为相反数,则b 。5、二次三项式得因式分解(公式法)在 分 解 二 次 三 项 式cbxax2得 因 式 时,如 果 可 用 公 式 求 出 方 程 )0(02acbxax得两个根21xx 和,那么)(212xxxxacbxax.如果方程)0(02acb

3、xax无根,则此二次三项式cbxax2不能分解、基础运用 例1:已 知 方 程02)1(32xkx得 一 个 根 就 是1,则 另 一 个 根 就是 ,k 。解:变式训练:1、已知1x就是方程0232kxx得一个根,则另一根与k得值分别就是多少？2、方程062kxx得两个根都就是整数,则k得值就是多少？例 2:设21xx 和就是方程03422 xx,得两个根,利用根与系数关系求下列各式得值:(1)2221xx (2)1)(1(21xx (3)2111xx (4)221)(xx 变式训练:1、已知关于x得方程01032kxx有实数根,求满足下列条件得k值:(1)有两个实数根。(2)有两个正实数根

4、。(3)有一个正数根与一个负数根。(4)两个根都小于 2。2、已知关于x得方程022aaxx。(1)求证:方程必有两个不相等得实数根。(2)a取何值时,方程有两个正根。(3)a取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大。(4)a取何值时,方程到少有一根为零？选用例题:例 3:已知方程)0(02acbxax得两根之比为 1:2,判别式得值为 1,则ba与就是多少？例 4、已知关于x得方程05)2(222mxmx有两个实数根,并且这两个根得平方与比两个根得积大 16,求m得值。例 5、若方程042mxx与022mxx有一个根相同,求m得值。基础训练:1.关于x得方程0122 xax中,如果0a,那

5、么根得情况就是()(A)有两个相等得实数根 (B)有两个不相等得实数根 (C)没有实数根 (D)不能确定 2.设21,xx就是方程03622 xx得两根,则2221xx得值就是()(A)15 (B)12 (C)6 (D)3 3.下列方程中,有两个相等得实数根得就是()（A）2y2+5=6y(B)x2+5=25 x(C)3 x2 2 x+2=0(D)3x22 6 x+1=0 4.以方程 x22x30 得两个根得与与积为两根得一元二次方程就是()（A）y2+5y6=0 (B)y2+5y6=0 (C)y25y6=0 (D)y25y6=0 5.如果 x1,x2就是两个不相等实数,且满足 x122x11

6、,x222x21,那么 x1x2等于()(A)2 (B)2 (C)1 (D)1 6、关于 x 得方程 ax22x10 中,如果 a0,那么根得情况就是()(A)有两个相等得实数根 (B)有两个不相等得实数根(C)没有实数根 (D)不能确定 7、设 x1,x2就是方程 2x26x30 得两根,则 x12x22得值就是()(A)15 (B)12 (C)6 (D)3 8.如果一元二次方程 x24xk20 有两个相等得实数根,那么 k 9.如果关于 x 得方程 2x2(4k+1)x2 k210 有两个不相等得实数根,那么 k得取值范围就是 10.已知 x1,x2就是方程 2x27x40 得两根,则 x

7、1x2 ,x1x2 ,(x1x2)2 11.若关于x得方程(m22)x2(m2)x10得两个根互为倒数,则m 、二、能力训练:1、不解方程,判别下列方程根得情况:(1)x2x=5 (2)9x26 2+2=0 (3)x2x+2=0 2、当m=时,方程x2+mx+4=0有两个相等得实数根;当 m=时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等得实数根;3、已知关于 x 得方程 10 x2(m+3)x+m7=0,若有一个根为 0,则 m=,这时方程得另一个根就是 ;若两根之与为35,则 m=,这时方程得 两个根为 、4、已知 3 2 就是方程 x2+mx+7=0 得一个根,求另一个根及 m 得值。5、求证

8、:方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0 没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它得两根分别就是 1 5 与 1+5。7、设 x1,x2就是方程 2x2+4x3=0 得两根,利用根与系数关系求下列各式得值:(1)(x1+1)(x2+1)(2)x2x1+x1x2 (3)x12+x1x2+2 x1 8、如果 x22(m+1)x+m2+5 就是一个完全平方式,则 m=;9、方程 2x(mx4)=x26 没有实数根,则最小得整数 m=;10、已知方程 2(x1)(x3m)=x(m4)两根得与与两根得积相等,则 m=;11、设关于x得方程x26x+k=0得两根就是m与n,且3m+2n=20,则k值

9、为 ;12、设方程 4x27x+3=0 得两根为 x1,x2,不解方程,求下列各式得值:(1)x12+x22 (2)x1x2 (3)21xx (4)x1x2212 x1 13、实数、分别满足方程 1929910 与且 199920 求代数式41 得值。14、已知 a 就是实数,且方程 x2+2ax+1=0 有两个不相等得实根,试判别方程x2+2ax+1 12(a2x2a21)=0有无实根？15、求证:不论 k 为何实数,关于 x 得式子(x1)(x2)k2都可以分解成两个一次因式得积。16、实数K 在什么范围取值时,方程0)1()1(22kxkkx有实数正根？训练(一)1、不解方程,请判别下列

10、方程根得情况;(1)2t2+3t4=0,;(2)16x2+9=24x,;(3)5(u2+1)7u=0,;2、若方程x2(2m1)x+m2+1=0有实数根,则 m 得取值范围就是 ;3、一元 二 次 方 程 x2+px+q=0 两 个 根 分 别 就 是 2+3 与 2 3,则p=,q=;4、已 知 方 程 3x2 19x+m=0 得 一 个 根 就 是 1,那 么 它 得 另 一 个 根 就是 ,m=;5、若方程 x2+mx1=0 得两个实数根互为相反数,那么 m 得值就是 ;6、m,n 就是关于 x 得方程 x2-(2m-1)x+m2+1=0 得两个实数根,则代数式 mn=。7、已知关于 x

11、 得方程 x2(k+1)x+k+2=0 得两根得平方与等于 6,求 k 得值;8、如果与就是方程 2x2+3x1=0 得两个根,利用根与系数关系,求作一个一 元二次方程,使它得两个根分别等于+1 与+1 ;9、已知 a,b,c 就是三角形得三边长,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0 有两个相 等得实数根,求证:这个三角形就是正三角形 10、取什么实数时,二次三项式 2x2(4k+1)x+2k21 可因式分解、11、已知关于 X 得一元二次方程222(3)10 得两实数根为,若1 1 ,求得取值范围。训练(二)1、已知方程 x23x+1=0 得两个根为,则+=,=;2、如

12、果关于 x 得方程 x24x+m=0 与 x2x2m=0 有一个根相同,则 m 得值为 ;3、已知方程2x23x+k=0得两根之差为212,则 k=;4、若方程 x2+(a22)x3=0 得两根就是 1 与3,则 a=;5、方程 4x22(a-b)xab=0 得根得判别式得值就是 ;6、若关于x得方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 得值为 ;7、已知 p0,q0,则一元二次方程 x2+px+q=0 得根得情况就是 ;8、以方程x23x1=0得两个根得平方为根得一元二次方程就是 ;9、设 x1,x2就是方程 2x26x+3=0 得两个根,求下列各式得值:(

13、1)x12x2+x1x22 (2)1x1 1x2 10.m 取什么值时,方程 2x2(4m+1)x+2m21=0（1）有两个不相等得实数根,(2)有两个相等得实数根,(3)没有实数根;11.设方程 x2+px+q=0 两根之比为 1:2,根得判别式=1,求 p,q 得值。12.就是否存在实数k,使关于x得方程06)74(922kxkx得两个实根21,xx,满足21xx32,如果存在,试求出所有满足条件得k得值,如果不存在,请说明理由。一元二次方程根与系数关系专题训练 主编:闫老师 1、如果方程 ax2+bx+c=0(a0)得两根就是 x1、x2,那么 x1+x2=,x1x2=。2、已知x1、x

14、2就是方程2x2+3x4=0得两个根,那么:x1+x2=;x1x2=;2111xx ;x21+x22=;(x1+1)(x2+1)=;x1x2=。3、以2与3为根得一元二次方程(二次项系数为1)就是 。4、如果关于x得一元二次方程x2+2x+a=0得一个根就是12,那么另一个根就是 ,a得值为 。5、如果关于x得方程x2+6x+k=0得两根差为2,那么k=。6、已知方程2x2+mx4=0两根得绝对值相等,则m=。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p0)得两根为0与1,则qp=。8、已知方程x2mx+2=0得两根互为相反数,则m=。9、已知关于x得一元二次方程(a21)x2(a+1)x+1=0

15、两根互为倒数,则a=。10、已知关于x得一元二次方程mx24x6=0得两根为x1与x2,且x1+x2=2,则m=,(x1+x2)21xx=。11、已知方程3x2+x1=0,要使方程两根得平方与为913,那么常数项应改为 。12、已知一元二次方程得两根之与为5,两根之积为6,则这个方程为 。13、若、为实数且+3+(2)2=0,则以、为根得一元二次方程为 。(其中二次项系数为1)14、已知关于x得一元二次方程x22(m1)x+m2=0。若方程得两根互为倒数,则m=;若方程两根之与与两根积互为相反数,则m=。15、已知方程x2+4x2m=0得一个根比另一个根小4,则=;=;m=。16、已知关于x得

16、方程x23x+k=0得两根立方与为0,则k=17、已知关于x得方程x23mx+2(m1)=0得两根为x1、x2,且43x1x121,则m=。18、关于x得方程2x23x+m=0,当 时,方程有两个正数根;当m 时,方程有一个正根,一个负根;当m 时,方程有一个根为0。19、若方程x24x+m=0与x2x2m=0有一个根相同,则m=。20、求作一个方程,使它得两根分别就是方程x2+3x2=0两根得二倍,则所求得方程为 。21、一元二次方程2x23x+1=0得两根与x23x+2=0得两根之间得关系就是 。22、已知方程5x2+mx10=0得一根就是5,求方程得另一根及m得值。23、已知2+3就是x

17、24x+k=0得一根,求另一根与k得值。24、证明:如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根就是形如A+B得无理数(A、B均为有理数),那么另一个根必就是AB。25、不解方程,判断下列方程根得符号,如果两根异号,试确定就是正根还就是负根得绝对值大?0362)2(,053)1(22xxx 26、已知x1与x2就是方程2x23x1=0得两个根,利用根与系数得关系,求下列各式得值:x31x2+x1x32 27、已知x1与x2就是方程2x23x1=0得两个根,利用根与系数得关系,求下列各式得值:2221x1x1 28、已知x1与x2就是方程2x23x1=0得两个根,利用根与系数得关系,求下列各式得值

18、:(x21x22)2 29、已知x1与x2就是方程2x23x1=0得两个根,利用根与系数得关系,求下列各式得值:x1x2 30、已知x1与x2就是方程2x23x1=0得两个根,利用根与系数得关系,求下列各式得值:122xx 31、已知x1与x2就是方程2x23x1=0得两个根,利用根与系数得关系,求下列各式得值:x51x22+x21x52 32、求一个一元二次方程,使它得两个根就是2+6与26。33、已知两数得与等于6,这两数得积就是4,求这两数。34、造一个方程,使它得根就是方程3x27x+2=0得根;(1)大3;(2)2倍;(3)相反数;(4)倒数。35、方程x2+3x+m=0中得m就是什

19、么数值时,方程得两个实数根满足:(1)一个根比另一个根大2;(2)一个根就是另一个根得3倍;(3)两根差得平方就是17。36、已知关于x得方程2x2(m1)x+m+1=0得两根满足关系式x1x2=1,求m得值及两个根。37、就是关于x得方程4x24mx+m2+4m=0得两个实根,并且满足10091)1)(1(,求m得值。38、已知一元二次方程8x2(2m+1)x+m7=0,根据下列条件,分别求出m得值:(1)两根互为倒数;(2)两根互为相反数;(3)有一根为零;(4)有一根为1;(5)两根得平方与为641。39、已知方程x2+mx+4=0与x2(m2)x16=0有一个相同得根,求m得值及这个相

20、同得根。40、已知关于x得二次方程x22(a2)x+a25=0有实数根,且两根之积等于两根之与得2倍,求a得值。41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等得正实根,两根之差等于3,两根得平方与等于29,求b、c得值。42、设:3a26a11=0,3b26b11=0且ab,求a4b4得值。43、试确定使x2+(ab)x+a=0得根同时为整数得整数a得值。44、已知一元二次方程(2k3)x2+4kx+2k5=0,且4k+1就是腰长为7得等腰三角形得底边长,求:当k取何整数时,方程有两个整数根。45、已知:、就是关于x得方程x2+(m2)x+1=0得两根,求(1+m+2)(1+m+2)得值。46、

21、已知x1,x2就是关于x得方程x2+px+q=0得两根,x1+1、x2+1就是关于x得方程x2+qx+p=0得两根,求常数p、q得值。47、已知x1、x2就是关于x得方程x2+m2x+n=0得两个实数根;y1、y2就是关于y得方程y2+5my+7=0得两个实数根,且x1y1=2,x2y2=2,求m、n得值。48、关于x得方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1得实根,x2+2(a+m)x+2am2+6m4=0有大于0且小于2得根。求a得整数值。49、关于x得一元二次方程3x2(4m21)x+m(m+2)=0得两实根之与等于两个实根得倒数与,求m得值。50、已知:、就是关于x得二次方程

22、:(m2)x2+2(m4)x+m4=0得两个不等实根。(1)若m为正整数时,求此方程两个实根得平方与得值;(2)若2+2=6时,求m得值。51、已知关于x得方程mx2nx+2=0两根相等,方程x24mx+3n=0得一个根就是另一个根得3倍。求证:方程x2(k+n)x+(km)=0一定有实数根。52、关于x得方程22n41mx2x=0,其中m、n分别就是一个等腰三角形得腰长与底边长。(1)求证:这个方程有两个不相等得实根;(2)若方程两实根之差得绝对值就是8,等腰三角形得面积就是12,求这个三角形得周长。53、已知关于x得一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1与x2(x1x2),在数轴上

23、,表示x2得点在表示x1得点得右边,且相距p+1,求p得值。54、已知关于x得一元二次方程ax2+bx+c=0得两根为、,且两个关于x得方程x2+(+1)x+2=0与x2+(+1)x+2=0有唯一得公共根,求a、b、c得关系式。55、如果关于x得实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根、,那么(1)2+(1)2得最小值就是多少?56、已知方程2x25mx+3n=0得两根之比为23,方程x22nx+8m=0得两根相等(mn0)。求 证:对任意实数k,方程mx2+(n+k1)x+k+1=0恒有实数根。57、(1)方程x23x+m=0得一个根就是2,则另一个根就是 。(2)若

24、关于y得方程y2my+n=0得两个根中只有一个根为0,那么m,n应满足 。58、不解方程,求下列各方程得两根之与与两根之积 x2+3x+1=0;59、不解方程,求下列各方程得两根之与与两根之积 3x22x1=0;60、不解方程,求下列各方程得两根之与与两根之积 2x2+3=0;61、不解方程,求下列各方程得两根之与与两根之积 2x2+5x=0。62、已知关于x得方程2x2+5x=m得一个根就是2,求它得另一个根及m得值。63、已知关于x得方程3x21=tx得一个根就是2,求它得另一个根及t得值。64、设x1,x2就是方程3x22x2=0得两个根,利用根与系数得关系,求下列各式得值:(1)(x1

25、4)(x24);(2)x13x24+x14x23;(3)12213131xxxx;(4)x13+x23。65、设x1,x2就是方程2x24x+1=0得两个根,求x1x2得值。66、已知方程x2+mx+12=0得两实根就是x1与x2,方程x2mx+n=0得两实根就是x1+7与x2+7,求m与n得值。67、以2,3为根得一元二次方程就是 ()A、x2+x+6=0 B、x2+x6=0 C、x2x+6=0 D、x2x6=0 68、以3,1为根,且二次项系数为3得一元二次方程就是 ()A、3x22x+3=0 B、3x2+2x3=0 C、3x26x9=0 D、3x2+6x9=0 69、两个实数根得与为2得

26、一元二次方程可能就是 ()A、x2+2x3=0 B、x22x+3=0 C、x2+2x+3=0 D、x22x3=0 70、以3,2为根得一元二次方程为 ,以213,213 为根得一元二次方程为 ,以5,5为根得一元二次方程为 ,以4,41为根得一元二次方程为 。71、已知两数之与为7,两数之积为12,求这两个数。72、已知方程2x23x3=0得两个根分别为a,b,利用根与系数得关系,求一个一元二次方程,使它得两个根分别就是:(1)a+1、b+1(2)baab 2,2 73、一个直角三角形得两条直角边长得与为6cm,面积为27cm2,求这个直角三角形斜边得长。74、在解方程x2+px+q=0时,小

27、张瞧错了p,解得方程得根为1与3;小王瞧错了q,解得方程得根为4与2。这个方程得根应该就是什么?75、关于x得方程x2ax3=0有一个根就是1,则a=,另一个根就是 。76、若分式1322xxx得值为0,则x得值为 ()A、1 B.3 C、1或3 D、3或1 77、若关于y得一元二次方程y2+my+n=0得两个实数根互为相反数,则 ()A、m=0且n0 B、n=0且m0C、m=0且n0 D、n=0且m0 78、已知x1,x2就是方程2x2+3x1=0得两个根,利用根与系数得关系,求下列各式得值:(1)(2x13)(2x23);(2)x13x2+x1x23。79、已知a2=1a,b2=1b,且a

28、b,求(a1)(b1)得值。80、如果x=1就是方程2x23mx+1=0得一个根,则m=,另一个根为 。81、已知m2+m4=0,04112nn,m,n为实数,且nm1,则nm1=。82、两根为3与5得一元二次方程就是 ()A、x22x15=0 B、x22x+15=0 C、x2+2x15=0 D、x2+2x+15=0 83、设x1,x2就是方程2x22x1=0得两个根,利用根与系数得关系,求下列各式得值:(1)(x12+2)(x22+2);(2)(2x1+1)(2x2+1);(3)(x1x2)2。84、已知m,n就是一元二次方程x22x5=0得两个实数根,求2m2+3n2+2m得值。85、已知

29、方程x2+5x7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它得两个根分别就是已知方 程得两个根得负倒数。86、已知关于x得一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)得两根之比为21,求证:2b2=9ac。87、已知关于x得一元二次方程x2+mx+12=0得两根之差为11,求m得值。88、已知关于y得方程y22ay2a4=0。(1)证明:不论a取何值,这个方程总有两个不相等得 实数根;(2)a为何值时,方程得两根之差得平方等于16?89、已知一元二次方程x210 x+21+a=0。(1)当a为何值时,方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么?90、已知关于x得方程x2(2a1)x

30、+4(a1)=0得两个根就是斜边长为5得直角三角形得两条直角边得长,求这个直角三角形得面积。91、已知方程x2+ax+b=0得两根为x1,x2,且4x1+x2=0,又知根得判别式=25,求a,b 得值。92、已知一元二次方程8y2(m+1)y+m5=0。(1)m为何值时,方程得一个根为零?(2)m为何值时,方程得两个根互为相反数?(3)证明:不存在实数m,使方程得两个相互为倒数。93、当m为何值时,方程3x2+2x+m8=0:(1)有两个大于2得根?(2)有一个根大于2,另一个 根小于2?94、已知2s2+4s7=0,7t24t2=0,s,t为实数,且st1。求下列各式得值:(1)tst1;(2)tsst323。95、已知x1,x2就是一元二次方程x2+mx+n=0得两个实数根,且x12+x22+(x1+x2)2=3,5222221xx,求m与n得值。