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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数 学简洁的线性规划及其实际应用【基础学问导引】1方程x+y+1=0 在平面直角坐标系中,表示一条直线,那不等式x+y+10 在平面直角坐标系中表示什么呢？2如何确定一个点在某条直线的右（或左）上方？3如何求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值？4如何用图解法可求几个变量的线性规划问题的最优解？5常见的线性规划问题有哪些？你能列举一些线性规划在生产生活中的实际应用的例 子或模型吗？【重点难点解读】本两节介绍了二元一次不等式表示平面区域、简洁的线性规划问题以及线性规划的实 际应用,重点是二元一次不等式表示平面区域,而难点就是应用线性规划的
2、方法解决一些 简洁的实际问题；1关于二元一次不等式表示平面区域 直线 1：y=kx+b 把平面上的点分成三类：在直线 1 上方的点；在直线 1 下方的点,其 中 ykx+b 表示直线上方的半平面区域,y0 在直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧的全部点组 成的平面区域,对于在直线 Ax+By+C=0 的同一侧的全部点（x,y）,实数 Ax+By+C 的符号都相同,故只需在此直线的某一侧任取一点 x ,y 0 （常取（ 0,0）,将它的坐标代入 Ax+By+C0 表示直线的那一侧,事实上,这就是所谓的 Ax+By+C ,由其值的符号可判定“ 同侧同号,异侧异号” 的符号法就,它出现了
3、数形结合思想方法的光线；2关于线性规划问题 求线性目标函数的线性约束条件下的最值问题,便是线性规划问题；线性规划问题,一般条件比较繁,因此列出线性约束条件及目标函数往往较为困难；求线性目标函数在线性约束条件下的最值的一般步骤是：列出线性约束条件及写出目标函数；求出线性约束条件所表示的平面区域；通过平面区域求出满意线性条件下的可行解；用图形的直观性求最值；检验由求出的解是最优解或最优解的近似值或符合问题的实际意义；线性规划的实际问题,主要涉及以下常见类型；物资调运问题求怎样编制调运方案,能使总运费最少；产品支配问题求如何组织生产,能使利润最大；下料问题求如何下料,能使损耗最少,利用率最高；应用线
4、性规划的图解方法,一般必需具备以下条件：能够将目标函数表示为最大化或最小化的要求；要有不同挑选的可能性存在,即全部可行解不止一个；所求的目标函数是约束条件的；约束条件应明确地表示为线性不等式或等式；约束条件中所涉及的变量不超过两个；【难题巧解点拨】2x3y+60 所表示的平面区域；例 1 画出不等式 解先画出直线 2x3y+6=0 （画成虚线）取原点（ 0, 0）,代入 2x3y+6=0 中,由于名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2030+60,2x3y+60 所表示的平面区域内,不等式2x3y+60 所表示的所以,
5、原点在不等式平面区域如图11 所示；Ax+By+C=0同一侧的全部点点悟：教科书中有这样的一段表达：“ 由于对在直线（x,y）来说,把它的坐标（x,y）代入 Ax+By+C 所得到实数的符号都相同,所以只需在 此 直 线 的 某 一 侧 取 一 个 特 殊 点 x ,y 0 , 从 Ax 0 By 0 C 的 正 负 即 可 判 断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域,特别地,当 C 0 时,常把原点作为此特别点；” 这里强调了这样的一个重要的事实：在直线一侧全部的点都使 Ax+By+C 同号,另外,由于原点的代入,数值运算相对来说较简洁,故当C 0 时,取原点作为特别点来判断 Ax+B
6、y+C 的符号,那应当是最便利的,当 C=0 时,因原点已在直线 Ax+By+C=0 上,故不能通过原点来判定 Ax+By+C 的符号,此时其值恒为 0；例 2 用不等式组表示图12 中的阴影部分（含边界）；解第一求出各条边所在的直线方程；可以用两点式直接写出各边的方程；AB ：6x+y+15=0 ； BC：x2y4=0；CD ：2x+y8=0；DA ：x+6y 15=0；原点（ 0,0）在直线 AB 的右方,将（ 0,0）代入60+0+150 ,x+y+15 0,CD 的左半平面区域为：2x+y所以,直线AB 的右半平面区域为：同理,直线BC 的上半平面区域为：x2y40,直线80,直线 D
7、A 的下半平面区域为：x+6y15 0；故所求的不等式组为6x2y15,0xy4,02x6y8,0xy150 .点悟：必需留意这里用的是“ ” 、“ ” ,而非“ ” 、“ ” ,它们的唯独的区 别就是前者表示的区域包括边界,后者表示的区域不包括边界；例 3 北京华欣公司方案在今年内同时出售“ 夜莺牌多功能” 电子琴和“OK 智能型”洗衣机,由于两种产品的市场需求量特别大,有多少就有销售多少,因此该公司要依据实 际情形（如资金、劳动力等）确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大,已知对这两 种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于两种产品有关数据如下 表：名师归纳总结 - -
8、- - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百电子琴洗衣机元）成本30 20 300 劳动力（工资）5 10 110 单位利润6 8 试问：怎样确定两种货的供应量,才能使总利润最大,最大利润是多少？解设电子琴和洗衣机月供应量分别为xx0,y300 ,y0,30205x10y110,xN,yN.x 架、 y 台,总利润为 百元,依据题意,有 =6x+8y ,作出以上不等式组所表示的平面区域,即图13 中的阴影部分,作动直线=6x+8y ,如图中的虚线部分,明显当动直线过图中的解方程组30 x20y300得 M
9、 （4,9）50 x10y110M 点时, 取最大值；4即 当 供应 量为 电子 琴4 架 、 洗衣 机9 台 时, 公司 可 获最 大 利 润, 最 大利 润是6+89=96（百元）；【拓展延长探究】例 1 预算有 2000 元购买单价为50 元的桌子和20 元的椅子,期望使桌椅的总数量尽可能的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5 倍,问桌子和椅子各购买多少？分析 这是生活实际中的一个物资选购问题,可归结为线性规划问题,利用图解法进行 求解；解设桌子和椅子各购买x 0 ,y 0 ,x y ,5 x 20 y 2000 ,x N ,y N .其目标函数 z=x+y ；x、y 张,就
10、 x、y 必需满意线性约束条件名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由xxy,y2000 ,解得x20 7,.故图 14 中点 A 的坐标为200,2007；y200502077由y1 5.xy2000解得x25故图中点 B 的坐标为75 25,2；y7550x202满意以上条件的可行域为如下列图的阴影部分（包括边界和内部）,以 A、B、O 为顶点三角形区域；动直线 z=x+y 表示斜率为 1,在 y 轴上的截距为z 的直线,如下列图的虚线,当动直线运动到如下列图的B 点时, z 的取值最大,此时x=25,y75；37
11、张,是最优选2但由于 x、y 的取值均为整数,故y 应取 37,即购买25 张桌子、椅子择；点悟：由于此题是一个实际问题,当求得最优解75 25,2后,明显它不满意题意,故应取最优解的近似值,这便是实际问题与一般的非应用问题的最大区分；例 2 私人办学是训练进展的方向,某人预备投资1200 万元举办一所中学,为了考虑社会效益和经济效益,对该地区训练市场进行调查,得出一组数据,列表如下（以班级为单 位）：市场调查表中学班级配备硬件建设费老师年薪同学数老师数（万元）（万元）50 2.0 28 1.2 高中40 2.5 58 1.6 依据物价部门的有关文件,中学是义务训练阶段,收费标准适当掌握,估计
12、除书本 费、办公费,中学每生每年可收取 600 元,高中每生每年可收取 1500 元；因生源和环境等 条件限制,办学规模以 20 至 30 个班为宜（含 20 个与 30 个）；老师实行聘任制；初、高 中的训练周期均为三年；请你合理地支配招生方案,使年利润最大,大约经过多少年可以 收回全部投资？ 分析 这是一道线性规划问题,可假设中学编制为x 个班级,高中编制为y 个班级,利用题设先列出不等式组,求出目标函数,然后画出它在直角坐标平面内所表示的区域,利用 图形法加以求解；名师归纳总结 解设中学编制为x 个班,高中编制为y 个班；就依题意有第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习
13、资料 - - - - - - - - - 20xy30 ,28 x 58 y 1200 ,x , y N（）又设年利润为 s万元,那么s=（50 600 10000）x（ 40 1500 10000）y-2.4x-4y ,即 s=0.6x+2y ；现在直角坐标系中作出（）所表示的可行域,如图 15 所示；问题转化为在如图 15 所示的阴影部分中,求直线 s =0.6x+2y 在 y 轴上的截距的最大值,如图,虚线所示的为一组斜率为0.3 的直线,明显当直线过图中的A 点时,纵截距y1s取最大值；2解联立方程组xy30 ,s max34 . 8；28x58y1200 .得x18 ,y12 .将
14、x=18,y=12 代入 s中得,设经过 n 年可收回投资,就第 1 年利润为 6 50 600 100006 2 1.24 40 1500 10000 4 2.5 1.6=11.6（万元）；第 2 年利润为 2 11.6=23.2（万元）,以后每年的利润均为34.8 万元,故依题意应有11.6+23.2+34.8（n2）=1200；解得 n35.5；故学校规模以中学 18 个班、高中 12 个班为宜,第一年中学招生 6 个班约 300 人,高中招生 4 个班约 160,从第三年开头年利润为 34.8 万元,约经过 36 年可以收回全部投资；点悟：读懂问题,正确懂得“ 训练周期为三年” 的含义
15、（办学第三年,学校班级数才达到正常的办学规模；而刚开办的第一年和其次年中,都有班给空缺）,正确懂得表格所赋予的内含,是解题的关键,另外,这是一个实际问题,最终对n 的取值应采纳“ 进1法” ,而不应采纳“ 舍尾法” ；例 3 已知函数fx 2 axc满意 4f（1） 1, 1f（2） 5,试求 f（3）的取值范畴； 分析 由 4f（1） 1, 1f（2） 5,可求出a、 c 的可行域,然后将f（3）表示成关于 a、c 的目标函数,即就是求该目标函数的最大值与最小值； 解由 4f（1） 1,得 4 ac 1,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - -
16、- - - - - - 由 1f（2） 5,得 1 4ac5；作出它们的可行域如图 16 阴影部分所示（含边界）；目标函数 f（3） =9ac,它表示斜率为 9,在 c 轴的截距为 f（ 3）的直线；ac,11；当动直线过点B 时, f （3）取最由4 ac.1解得 A（0,1）；ac4 ,由4 ac5解得 B（3,7）；由图可知,当动直线过点A 时, f（3）取最小值为大值为 20；故 f（3）的取值范畴为 1,20；点悟：常有如下“ 解法” ：由 4f（1） 1,得 4ac 1,于是 1ca4；由 1f（2） 5,得 1 4ac5； +,得 0 3a9,故 0a3；4 +,得 33c21,
17、故 1c7；26,当 a=0、 c=7 时取最小值为7；于是, f（3）=9ac,当 a=3、c=1 时取最大值为故 f（3）的取值范畴为7,26；试分析以上的解答,是正确的仍是错误的？为什么？【命题趋势分析】对于 Ax+By+C0 或 Ax+By+C （0 B0 表示直线 Ax+By+C=0 的上方区域表示直线 Ax+By+C=0 的下方区域Ax+By+C （0 A0 表示直线 Ax+C=0 的右侧区域表示直线 Ax+C=0 的左侧区域Ax+C0 表示直线 Ax+C=0 的左侧区域表示直线 Ax+C=0 的右侧区域【同步达纲练习】1以下命题正确选项（）名师归纳总结 - - - - - - -
18、第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量 x 或 y 的值B线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解2设 E 为平面上以 A （4,1）, B（-1,-6）, C（-3,2）为顶点的三角形区域（包括边界）,就 z=4x-3y 的最大值与最小值分别为（）A 14, -18 B -14,-18 C18,14 D 18,-14 3不等式 |x|y2|x|所表示的平面区域（均含边界）为
19、图 17 中的（）4如不等式 ax+（2a-1）y+10 表示直线 ax+（2a-1） y+1=0 的下方区域,就实数 a 的取值范畴为 _ ；5某工厂可以制造三种产品,每单位产品分别获利润10 元, 6 元, 4 元,每件产品生产需要消耗原材料 1 个单位,劳动力消耗分别为 10 个, 4 个, 5 个,设备消耗工时分别是 2小时, 2 小时, 6 小时,现有原料 100 个单位,劳动力 600 个,设备可利用工时为 300 小时,试建立使总利润达到最大的生产利润模型；6家具公司制作木质的书桌和椅子,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均四个小时做一把椅子,八个小时做一张书桌,该公司每星期木工
20、最多有 8000 个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌,该公司每星期漆工最多有1300 个工作时,又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是 15 元和 20 元,试依据以上条件,问怎样支配生产能获得最大利润？7某厂能够生产甲、乙两种产品,已知生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产 品的产值如表所示,但是国家每天安排给该厂的煤和电力有限制,每天供煤至多56 吨,供电至多 45 千瓦,问该厂如何支配生产,使得该厂日值最大？用煤（吨）用电（千产值（万元）的最小值；瓦）甲种产品7 2 8 乙种产品3 5 11 8在约束条件：2x+5y 10,2x3y 6,2x+y10 下,求zx2
21、y2参考答案【同步达纲练习】1D （点拨：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,是线性规划问题,满意线性约束条件的解叫可行解,由全部可行解组成的集合叫可行域,使目标函数取得最大值或最小值的可行解便是最优解）2A （点拨：当动直线z=4x 3y 通过点B 时, z 取最大值,通过点C 时, z 取最小值）3A （点拨：可取特别点法进行判定排除）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4a1（点拨：因直线ax+（2a 1）y+1=0 恒过定点（2, 1）,而明显点（22,0）在点（ 2,1）的下方,故它应满意不
22、等式,将点（2a+10；）2,0）代入不等式,即得5 设 x 、 y 、 z 分 别 是 三 种 产 品 的 计 划 制 造 产 品 , 就 约 束 条 件 为x y z 100 ,10 x 4 y 5 z 600 ,2 x 2 y 6 z 300 ,x、y、z 0 ,x、y、z N .,求 =10x+6y+4z 的最大值；6生产 200 把椅子、 900 张书桌可获得最大利润 21000 元（点拨：设每星期生产 x 把4 x 8 y 8000 ,2 x y 1300 ,x 0 ,椅子、 y 张书桌,那么利润 P=15x+20y ,而 x、y 必需满意约束条件：y 0 . 在直角坐标系内作出它
23、的表示的区域,它围成一个封闭的四边形,其四个顶点分别为（0,0）,（ 650,0）,（ 200,900）,（ 0,1000）,而直线 3P=15x+20y ,当 P 变化时,它是一组斜率为 4 的平行直线,当纵截距最大时,利润亦最大,在上述区域内平行移动的直线,易见当直线过点（200,900）时, P 值最大；）7每天生产甲种产品 5 吨,乙种产品天生产甲种产品 x 吨,乙种产品 y 号,就7 吨,日产值到达最大值 117 万元（点拨：设每7x+3y 56, 2x+5y 45,x、 y0,目标函数z=8x+11y ,作出线性约束条件所表示的平面区域,即可求得当 x=5, y=7 时, z 取最大值117 万元）名师归纳总结 8线性约束条件2x+5y 10,2x3y 6, 2x+y10 所表示的区域恰好围成一个三第 8 页,共 8 页角形区域（含边界）,其三个顶点为（5, 0）,（ 3,4）,（ 0,2）,而zx2y2表示原点到点（ x,y）距离d 的平方,故问题等价于原点到可行域内的点的距离d 的平方的最小值,由图形不难得出当d 为原点到直线2x+5y=10 的距离时,所求值最小,故最小值为|10|2100225229；- - - - - - -