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1、1 简单线性规划应用价值的探讨、线性规划的含义线性规划是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，即要寻找既满足约束条件又使得目标函数达到最优的解。要一下子处理可能比较困难，于是提出“可行域”这一概念，将求解线性规划的问题分解为两步：第一步先求“可行解”；第二步再求“最优解”；从而分散了难点，找到了解决问题的方法。线性规划作为非常成功的数学模型，在数学的各个领域里使用得非常广泛。II、线性规划的常规应用线性规划最常见，最直接的应用就是用来求目标函数的最值，这种目标函数包括线性的和非线性的，解决这一类问题的方法就是分析目标函数所代表的几何意义；如例 1、(2008 年广东卷)若变量y
2、x,满足约束条件0,0010502yxyxyx,则yxz2的最大值是 _.解析：作出可行域(如图 1)，从图可以看出 z表示的是直线zxy2在 y轴上的截距目标函数上移时 z 的值增大，由010502yxyx得)5,3(A,所以，.11532maxz上面这道题目标函数是线性的，如果再进一步变化就可以出现另外两类常见题型：变 式求 目 标 函 数2xyz的 最 大 值_ 解析：该代数式的几何意义可以看成是可行域内的点与点（-2，0）所形成的直线的斜率的最大值，从图 2 可知,当目标函数过 A点时斜率有最大值1 变 式求 目 标 函 数22yxz的 最 大 值_ 解析：目标函数的几何意义是求可行域
3、内的点到原点的最大距离，从图3 可以看出点)5,3(A到x y 0 A(3,5)5x-y-10=0 x-y+2=0 2-2 2 2x+y=0 增大图 1 x y 0 A(3,5)5x-y-10=0 x-y+2=0-2 2 图 2 P(x,y)x y 0 A(3,5)5x-y-10=0 x-y+2=0-2 2 图 3 P(x,y)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -2 原点的距离最大，最大值为34.线性规划的内容是在高中数学必修5 第三章中出现的，可是在前面的必修1必修 4 的教学中都出现了比较多的线性规划的内容，学生往往在解决这一类问题时，并没有注意到线性规
4、划的应用。以下就举一些线性规划在其它章节中的应用的题型。III、线性规划应用的多样性1.线性规划在集合中应用例 2（2007 江苏）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域(,)|1,Ax yxy且0,0 xy，则平面区域(,)|(,)Bxy xyx yA的面积为（）A2 B1 C12 D14解析：令byxayx,，则有2,2baybax由 A满足的条件得0202122babababa,将其转化为001yxyxx，作出可行域（如图 4）所以面积为 1 例 3 设集合 A),(yx|yxyx1,是三角形的三边长，则 A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)的面积是 _ 解析：根据三角形三边所要满足的
5、条件，列出线性约束条件，xyxyyyxxyxyx111，即为212121xyyx,作出可行域（如右图 5 所示），该线性区域的面积为812.线性规划在函数中的应用例 4 已知caxxf2)(，且1)1(4f，5)2(1f,则)3(f的取值范围是x 0 x-y=0 x+y=0 x=1 图 4 y y图 5 x0 x+y=1/2 x=1/2 y=1/2 y图 6 x0 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -3 _ 解 析:1)1(4f可 化 为:14ca;5)2(1f可 化为:541ca,将其变为54114yxyx，作出可行域（如图6 所示）。所求caf9)3(的
6、范围可看作目标函数yxz9的取值范围,当直线过点（1，0）有最小值-1，当直线过（3，7）有最大值 20，所以的)3(f范围为-1,20。例 5 已知方程01)1(2baxax的两个根为21,xx,并且2110 xx，则ab的取值范围 ()A21,1(B.)21,1(C.21,2(D.)21,2(解析：设baxaxxf1)1()(2，则有0)1(0)0(ff，即03201baba，转化为03201yxyx，abz，转化为xyz，作出可行域（如图 7 所示），目标函数的几何意义表示的是可行域内的点与原点（0，0）所形成的直线的斜率。取值结果为21,2(，选 C 3.线性规划在数列中的应用例 6(
7、与数列有关的问题-2010年西工大附中第二次模考)设数列na为等差数列，nS为前 n 项和，若,15,10,13541SSS则4a的最大值为()A.3 B.4 C.-7 D.-5 解析：此题若用数列的前n 项和及通项公式去求解相当繁琐，不易求解，所以可 将 其 看 成 是 关 于da 和1的 线 性 规 划 问 题，即15245510234413111dadaa，可化为3253213111dadaa，求daa314的x 0 1+x+y=0 2x+y+3=0 y 图7 y图 8 x0 x=13 x+2y=3 2x+3y=5 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -
8、4 最大值;将其转化为3253213yxyxx，求yxz3的最大值问题，通过画出可行域(如图8 所示)，求目标函数最值问题，选B.例 7（06 北京高考题）设等差数列na的首项1a及公差 d 都为整数，前n项和为nS.()若98,01111Sa,求数列na的通项公式；()若77,0,611111Saa，求所有可能的数列na的通项公式.解析：（）由9811S得141321da,又010111daa,故解得20,21ad.因此，na的通项公式是3,2,1,222nnan（）由6,0,7711114aaS得6,010,11132111adada将其转化为601011132xyxyx作出可行域,又因为
9、ZyZx,，因此满足条件的有,1y11x或12x.所以，数列na的通项公式可能为nan12，和nan13。4.线性规划在概率中的应用例 8 两人打算于 7 时到 8 时在公园约会，先到者等候 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。解析：这里实际上是一个线性规划问题。以 7 点为坐标原点，小时为单位。yx,分别表示两人到达的时间，),(yx构成边长为 1 的正方形 S，显然这是一个几何概率问题，列出线性约束条件31|1010yxyx，画出可行域（如图9 所示），所以概率为95。5.线性规划在向量中的应用例9如 图 所 示,在 直 角 三 角 形ABC 中5,4,3ABBCAC,D 为CB的中点，M 点是三角形ABC内 任 意 一 点，求AMAD的 最 大 值y图 9 x0 x=1 x-y=1/3 y=1 y-x=1/3 BCADy图 10 x0 x=-3-3x+2y=0 4x+3y=0（-3，4）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -5 _ 解析：以 A点为坐标原点，AC为 X 轴建立直角坐标系,则)2,3(AD,),(yxAM。求AMAD的最大值，相当于求目标函数yxz23的最大值。作出可行域（如图10 所示）,当目标函数过点（-3，4）时有最大值 13。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -