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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第 5 讲 函数的奇偶性对称性周期性 2022.3.26 一、函数的奇偶性1. 奇偶性的定义假如对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x ,都有 f x f x ,就称函数 f x 为偶函数；假如对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x ,都有 f x f x ,就称函数 f x 为奇函数；2.奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称,奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y轴对称；3. 常用性质1 f x 0 是既奇又偶函数；2 奇函数如在 x 0 处有定义,就必有 f 0 0；3 偶函数满意 f x
2、f x f x ； 4 奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于 y 轴对称；5 f x 0 除外的全部函数奇偶性满意：奇函数 奇函数 =奇函数 奇函数 奇函数 =偶函数 奇函数 偶函数 =非奇非偶奇函数 偶函数 =奇函数 偶函数 偶函数 =偶函数 偶函数 偶函数 =偶函数6 任何函数 f x 可以写成一个奇函数 x f x f x 和一个偶函数 x f x f x 的和；2 24. 复合函数的奇偶性；性质 1、复数函数ygfgx为偶函数,就fgxfgx; 复合函数yfx为奇函数,就fgxfgx . 性质 2、复合函数yxfxa为偶函数,就fxa fxa; 复合函数yfa为奇函数,就fxafxa
3、. 性质 3、复合函数yxfxa为偶函数,就yfx关于直线 x a 轴对称；复合函数yfa为奇函数,就yf x 关于点 a,0 中心对称；练习 : 名师归纳总结 1. 已知函数fx是定义在 R 上的偶函数 . 当x2,0时,fx xx4,就当x0,时,第 1 页,共 7 页fx2. 已知定义域为R 的函数f 22xb是奇函数x1a2 f2t2k0恒成立,求 k 的取值范畴；1求a b 的值； 2如对任意的 tR ,不等式f t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料f欢迎下载5fxy,3. 已知函数f a211.,如 fx 为奇函数,就a_；x4.已
4、知fx 在（ 1,1）上有定义,且满意x,y1,1 有fx fy1xy证明：fx在（ 1, 1）上为奇函数；xf2,就f_ 5. 如奇函数fxxR满意f2 1,fx2二、函数的对称性1. 函数自对称（1） 关于 y 轴对称的函数（偶函数）的充要条件是fxfx xa是奇函数（2）如函数yf x 关于点a0,对称,就以下四式成立且等价：faxfax f2 axfxf2 axfxyf（3）如函数yf x 关于直线xa对称,就以下四式成立且等价：a是偶函数faxfaxf2ax fxf2ax fxyfx的图像关于直线（4） 假如函数yfx对于一切xR, 都有 fa+x=fb-x成立,那么函数yfxx=a
5、2b对称yfx图像关于（5）假如函数yfx对于一切 x R, 都有faxfax2b成立 , 就函数点a,b对称2.两个函数的图象对称性名师归纳总结 （1）yfx与yfx关于 x 轴对称；第 2 页,共 7 页换种说法：yfx与ygx如满意fxgx,即它们关于y0对称；（2）yfx与yf x关于 y 轴对称；换种说法：yfx与ygx如满意fxgx,即它们关于x0对称；（3）yfx与yf2ax关于直线xa对称；换种说法：yfx与ygx如满意fxg2ax ,即它们关于xa对称；（4）yfx与y2afx关于直线ya对称；换种说法：yfx与ygx如满意fxgx2a,即它们关于ya对称；（5）yfx 与y
6、2 bf2ax关于点a b 对称；换种说法：yfx与ygx如满意fxg2ax 2b,即它们关于点a b 对称；（6）yfax与yxb关于直线xa2b对称；如fxfxa, 就函数yfx的图象关于点a 2,0 对称 ;3. 几个常见的函数方程- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1） 正比例函数f x cx ,f xyf精品资料f y ,f欢迎下载 1c . （2） 指数函数f x x a ,f xyf x f ,f1a0. 0,a1. （3） 对数函数f x log ax ,f xyf x f y ,f a 1 a（4） 幂函数f x ,fxy f x f
7、 ,f1. 三、函数的周期性定义：对于函数ffx,假如存在一个非零常数T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有fx的周期）fxTT,T 为这个函数的一个周期（说明： nT 也是x,就f x 的最小正周期为留意： 关于函数的周期性的几个重要性质：1.假如函数fx 是 R 上的奇函数,且最小正周期为T,那么fTfT0222.假如函数fx 全部的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期,假如函数f x 的最小正周期为T 就函数fax 的最小正周期为T ,假如 ayfx是周期函数,那么yfx的定义域无界nT 也是fx的周期3.如fxTfxT0fx是周期函数, T 是它的
8、一个周期,说明：推广 ：如fxafxb ,就fx是周期函数,ba是它的一个周期是周期函数,2 ba是它4.定义在 R 上的函数fx图象关于直线xa和xbab 对称,就fx的一个周期推论 ：如定义在 R 上的偶函数fx的图象关于直线xaa0 对称,就fx是周期函数,2 a是它的一个周期5.定义在 R 上的函数fx 图象关于点a0,和点b ,0 ab 对称,就fx是周期函数,2 ba是它的一个周期推论 ：如定义在R 上的奇函数fx的图象关于点a0,a0 对称,就fx是周期函数,2 a是它的一个周期6.定义在 R 上的函数fx图象关于直线xa和点b ,0 ab对称,就fx是周期函数,4 ba是它一个
9、周期推论 ：如定义在 R 上的奇函数fx的图象关于直线xaa0 对称,就fx是周期函数,4 a是它的一个周期名师归纳总结 7.如 a 是非零常数,对于函数yfx定义域内的任一变量x,有以下条件之一成立,就函数yfx是第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1；fxafxa周期函数,且2|a| 是它的一个周期：fxafx；fxaf1；fxafxx8.fxa11x,fx1,就f x的周期 T=3a f9.fxa1fx就fx的周期 T=4a；1fxx1 2对称,就 f 1+ f 2+ f 3+ f 4+ f例 1. 设 fx是
10、定义在 R 上的奇函数,且yfx的图象关于直线5=_0_. 【考点分析 】此题考查函数的周期性名师归纳总结 - - - - - - -解析：f0f0得f00,假设f n0由于点（n ,0 ）和点（n1,0）关于x1对称,所以f n1fnfn02因此,对一切正整数n 都有：fn0从而：f1f2f3f4f50；此题答案填写：0 例 2. 已知f x 是周期为 2 的奇函数,当 0x1时,f x lgx 设6a f ,5（D） cb3 f ,2bcf5,就2（A ） abc（B） bac（C） cbaa解： 已知f x 是周期为2 的奇函数,当0x1时,f lgx 设af6 5f4f4 5,5bf3
11、 2f1f1 2,cf5 2f10,b+c0 ,c+a0,证明： f（a） +f（b） +f（c）0；（12 分）名师归纳总结 解：f（x ）是定义域R 上的奇函数且为增函数；,且奇函数f （-b ） =-f （b ）,第 5 页,共 7 页由 a+b0得 a-b ,由增函数faf-b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载得 f （a）+f （b ）0 ；同理可得f（b ）+f （c） 0 ,f （c）+f （a ）0 ；相加得： f（a）+f （b ）+f （c）0 ；例 9 设 函 数 f （ x ） 的 定 义 域 关 于 原 点
12、对 称 , 且 对 于 定 义 域 内 任 意 的 x 1 x 2, 有1 f x 1 f x 2 f x 1 x 2 ,试判定 f（x）的奇偶性,并证明你的结论；（12 分）f x 2 f x 1 解： f x 1 x 2 1 f x 1 f x 2 f x 2 x 1 f x 2 f x 1 1 f x 1 f x 2 1 f x 1 f x 2 f x 1 x 2 ,f x 1 f x 2 f x 2 f x 1 设 x x 1 x 2,就 x x 2 x 1,f （-x ）=-f （x ）；又f（ x）的定义域关于原点对称,f （x ）为奇函数；例 10. 设 f x 是定义在 R上的
13、偶函数,它的图象关于直线 x 2 对称,已知 x 2, 时,函数2f x x 1,就 x 6,2 时,f x _ 例 11. 设 f x 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满意 f 2 x f x ,当 x 0 , 2 时2f x 2 x x 求证：f x 是周期函数； 当 x ,2 4 时,求 f x 的解析式； 3 算：f 0 f 1 f 2 f 2005 例 12. 已 知 f x 是 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 , 且 f x 2 1 f x , 如 f 1 2 3 , 就 f1 f x 2005= . 例 13. 已知 f x 是-,上的奇函数,f 2 x f
14、 x ,当 0 x 1 时,fx=x ,就 f7.5=_当堂练习 : 1. 定义在实数集上的奇函数恒满意,且时,名师归纳总结 就2. 已知函数_；,就图象关于 _对称；第 6 页,共 7 页满意- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 函数与函数精品资料欢迎下载的图象关于关于_对称；4. 设函数的定义域为R,且满意,就的图象关于 _对称；5. 设函数的定义域为 R,且满意,有,就,就的图象关于 _图象关于 _对称；,且方程图象关于对称；6. 设的定义域为R,且对任意_对称,关于 _对称；有 5 个实根,就这57. 已知函数对一切实数x 满意）个实根之和为
15、（A 、5 B、10 C、15 D、18 8. 已知偶函数定义域为 R,且恒满意中的根,如方程在上只有4,求方程在区间三个实根,且一个根是附参考答案：C ：y 轴即： y 轴共 9 个根：方程的根为作业：1. f x 是定义在 R 上的偶函数,图象关于 x 1 对称,对任意 x 1x 2 0 , 1 ,有 f x 1 x 2 f x 1 f x 2 ,2且 f 1 a 0 求 f 1 ；f 1 证明：f x 是周期函数；2 43 32 f x 是定义在 R 上的奇函数,且对一切 x R,恒有 f x f x 2 2求证：f x 是周期函数；如 f 1 2,求 f 2 f 3 的值；3.如存在常
16、数 p 0,使得函数 f x 满意 f px f px p x R ,就 f x 的一个正周期为 _ 24.已知定义在 R 上,最小正周期为 5 的函数 f x 满意 f x f x ,且 f 3 0,就在区间 0,10 内,方程 f x 0 的解的个数至少为 _个5. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f x , 满 足 f 2 x f 2 x , 在 区 间 -2,0 上 单 调 递 减 , 设a f 1.5, b f 2, c f 5,就 a b c 的大小次序为 _ 26.定义在 R 上的函数 f x 满意 f x 2 3 f x 当 x 0 , 2 时 f x x 2 x,就当 x 4 , 2 时 , f x 的最小值是 _ 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页