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1、1 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一. 概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像, 只给出一些函数符号及其满足的条件的函数, 如函数的定义域 , 解析递推式 , 特定点的函数值 ,特定的运算性质等 , 它是高中函数部分的难点, 也是大学高等数学函数部分的一个衔接点 , 由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体, 因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1 、周期函数的定义：对于( )f x定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()( )f xTf x恒成立，则称函数( )f x具有周期性，T叫做(
2、)f x的一个周期， 则kT（,0kZ k）也是( )f x的周期，所有周期中的最小正数叫( )f x的最小正周期。分段函数的周期：设)(xfy是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(xfyabTbax,。把)()(abKKTxxfy轴平移沿个单位即按向量)()0,(xfykTa平移，即得在其他周期的图像：bkTakTxkTxfy,),(。bkTa,kT x)(ba, x)()(kTxfxfxf2、奇偶函数：设baabxbaxxfy,),(或若为奇函数；则称)(),()(xfyxfxf若为偶函数则称)()()(xfyxfxf。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点对
3、称；关于点与),()2,2(),(baybxaByxA对称；关于与点),(),(),(baybxaBybxaA成中心对称；关于点与函数),()2(2)(baxafybxfy成中心对称；关于点与函数),()()(baxafybxafyb成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),baybxaFyxF（2）轴对称：对称轴方程为：0CByAx。)(2,)(2(),(),(2222/BACByAxByBACByAxAxByxByxA与点关 于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
4、第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2 直线成轴对称；0CByAx函数)(2()(2)(2222BACByAxAxfBACByAxByxfy与关于直线0CByAx成轴对称。0)(2,)(2(0),(2222BACByAxByBACByAxAxFyxF与关于直线0CByAx成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）若()()f xaf xb， 则( )f x具有周期性；若()()f axf bx， 则( )f x具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxb
5、xax对称推论 1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论 1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(xfy与)( xfy图象关于 Y轴
6、对称2、奇函数)(xfy与)( xfy图象关于原点对称函数3、函数)(xfy与( )yf x图象关于 X轴对称4、互为反函数)(xfy与函数1( )yfx 图象关于直线yx对称名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3 5. 函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线2abx对称推论 1: 函数)(xafy与)(xafy图象关于直线0 x对称推论 2: 函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称推论 3: 函数
7、)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称（三） 抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 yf(x) 关于直线 xa轴对称， 则以下三个式子成立且等价：（1）f(a x) f(a x) （2）f(2a x) f(x) （3）f(2a x) f( x) 性质 2 若函数 yf(x) 关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a x) f(a x) （2）f(2a x) f(x) （3）f(2a x) f( x) 易知， yf(x) 为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、 若对于定义域内的任一变量x，均
8、有 fg( x) fg(x)，则复数函数 yfg(x)为偶函数。定义 2、 若对于定义域内的任一变量x，均有 fg( x) fg(x)，则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明：（1） 复数函数 fg(x)为偶函数，则 fg( x) fg(x)而不是 f g(x)fg(x)，复合函数 yfg(x)为奇函数，则 fg( x) fg(x)而不是f g(x) fg(x)。（2）两个特例： yf(x a)为偶函数，则 f(x a)f( xa)；yf(x a) 为奇函数，则 f( xa) f(a x) （3）yf(x a) 为偶（或奇）函数，等价于单层函数yf(x) 关于直线 xa 轴对称（或关于点（ a
9、，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yf(a x) 与 yf(b x) 关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yf(a x) 与 yf(b x) 关于点（ ba）/2 ，0）中心对称推论 1、 复合函数 yf(a x) 与 yf(a x) 关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yf(a x) 与 yf(a x) 关于原点中心对称4、函数的周期性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - -
10、4 若 a 是非零常数， 若对于函数 yf(x) 定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数yf(x) 是周期函数，且 2|a| 是它的一个周期。f(x a)f(x a) f(x a)f(x) f(x a)1/f(x) f(x a)1/f(x) 5、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x) 同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T2|a b| 性质 6、若函数 yf(x) 同时关于点（ a，0）与点（ b，0）中心对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且T2|a b| 性质 7、若函数 yf(x) 既关于点（ a，0）中心对称，又关于直线xb
11、 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且T4|a b| 6、函数对称性的应用（1）若kyyhxxkhxfy2,2),)(/对称，则关于点（, 即kxhfxfxfxf2)2()()()(/nkxhfxhfxhfxfxfxfnnn2)2()2()2()()()(1121（2）例题 1、1)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（; 2)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（1)1()2121)0,(11)(xfxfxRxxf（）对称：，关于（ 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(xfxf。 3、 若)(),()()2()(xfyxafxa
12、fxafxf则或的 图像 关 于 直线ax对称。设个不同的实数根，则有nxf0)(naxaxxaxxaxxxxnnn)2()2()2(22221121. ),212(111axxaxkn时，必有当（四）常用函数的对称性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 5 三、函数周期性的几个重要结论1、()( )f xTfx( 0T) )(xfy的周期为T，kT(kZ) 也是函数的周期2、()()f xafxb)(xfy的周期为
13、abT3、)()(xfaxf)(xfy的周期为aT24、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT25、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT26、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT37、1)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT28、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT49、)()()2(xfaxfaxf)(xfy的周期为aT610、若.2,)2()(,0pTppxfpxfp则11、)(xfy有两条对称轴ax和bx()ba)(xfy周期)(2abT推论：偶函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT212、)(xfy有两个对称中心)0 ,(
14、a和)0,(b()ba)(xfy周期)(2abT推论：奇函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT413、)(xfy有 一 条对 称 轴ax和 一 个 对 称 中 心)0,(b()ba( )f x的)(4abT四、典例分析1. 求函数值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 6 例 1. 设)(xf是),(上 的奇函数 ，),()2(xfxf当10 x时 ，xxf)(，则)5.7(f等于-0.5 例 2已
15、知)(xf是定义在实数集上的函数，且)(1)(1)2(xfxfxf，,32) 1(f求)1989(f的值.23)1989(f。2、比较函数值大小例 3. 若)(Rxxf是以 2 为周期的偶函数，当1 , 0 x时，,)(19981xxf试比较)1998(f、)17101(f、)15104(f的大小 . 解：)(Rxxf是以 2 为周期的偶函数，又19981)(xxf在1 ,0上是增函数，且1151419161710，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(ffffff即3、求函数解析式例 4. 设)(xf是定义在区间),(上且以 2 为周期的函数，对Zk，用
16、kI表示区间),12, 12(kk已知当0Ix时，.)(2xxf求)(xf在kI 上的解析式 . 解：设1211212),12 , 12(kxkxkkkx0Ix时，有22)2()2(121,)(kxkxfkxxxf得由)(xf是以 2 为周期的函数，2)2()(),()2(kxxfxfkxf. 例 5 设)(xf是定义在),(上以 2 为周期的周期函数， 且)(xf是偶函数，在区间3, 2上，.4)3(2)(2xxf求2, 1x时，)(xf的解析式 . 解：当2,3x，即3 ,2x，4) 3(24) 3(2)()(22xxxfxf又)(xf是以 2 为周期的周期函数，于是当2, 1x，即243
17、x时，).21(4)1(243)4(2)()4()(22xxxxfxfxf有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 7 ).21 (4) 1(2)(2xxxf4、判断函数奇偶性例 6. 已知)(xf的周期为 4，且等式)2()2(xfxf对任意Rx均成立，判断函数)(xf的奇偶性 . 解：由)(xf的周期为 4，得)4()(xfxf，由)2()2(xfxf得)4()(xfxf，),()(xfxf故)(xf为偶函数 .
18、5、确定函数图象与x轴交点的个数例7. 设 函 数)(xf对 任 意 实 数 x 满 足)2()2(xfxf，)7(xf, 0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与 x 轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数)(xf图象关于直线2x和7x对称，又由函数的性质得)(xf是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间10,0上，,)(0)0()22()22()4(, 0)0(不能恒为零且xffffff故)(xf图象与 x 轴至少有 2 个交点 . 而区间30,30有 6 个周期，故在闭区间30,30上)(xf图象与 x轴至少有13 个交点 . 6、在数列中的应用例 8. 在数列
19、na中，)2(11,3111naaaannn，求数列的通项公式，并计算.1997951aaaa分析：此题的思路与例2 思路类似 . 解：令,1tga则)4(1111112tgtgtgaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 8 4) 1(11,4)1()42()4(1)4(111111223ntgaaantgatgtgtgaaannnn于是不难用归纳法证明数列的通项为：)44(ntgan，且以 4 为周期 . 于是
20、有 1，5，9 , 1997是以 4 为公差的等差数列，1997951aaaa，由4)1(11997n得总项数为 500项，. 350050011997951aaaaa五、练习1、设函数 y= f (x)定义在实数集 R上，则函数 y= f (x1) 与 y= f (1x) 的图象关于直线 x=1 对称。2、函数 yf(x) 是定义在实数集 R上的函数，那么 yf(x 4)与 yf(6 x)的图象之间关于点（ 1，0）对称3、 设 f(x) 是定义在 R上的函数，且满足 f(10 x) f(10 x) ， f(20 x) f(20 x) ，则 f(x) 是奇函数，又是周期函数4、定义在 R上的
21、非常数函数满足： f (10+x) 为偶函数，且 f (5x) = f (5+x),则 f (x)一定是偶函数，也是周期函数5、已知函数( )f x是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有(1)(1)( )xfxx f x，则5( )2ff的值是 0 6 、 已 知113xfxx，1fxffx，21fxffx， ,，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 9 1nnfxffx，则20042f177、在
22、数列12211(*)nnnnxxxxxx nN 中，已知， 则100 x= -1 8、yf x定义 域为R，且 对任意xR都 有111f xf xf x，若212f则f(2009)=_-1-29、 已知 f(x) 是 R上的偶函数，对Rx都有 f(x 6)=f(x)f(3) 成立， 若 f(1)=2 ，则 f(2011)= 2 10、 函 数)(xf在 R 上 有 定 义， 且满 足)(xf是 偶 函 数 ， 且02005f，1g xfx是奇函数，则2005f的值为 0 11、设 f(x) 是定义在 R上的偶函数， 且 f(1+x)= f(1 x), 当1x0 时，f (x) = 21x，则
23、f (8.6 ) = _0.3_ 解： f(x) 是定义在 R上的偶函数 x = 0 是 y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数， f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3 12、设)(xf是定义在区间),(上且以 2 为周期的函数，对Zk，用kI 表示区间),12, 12(kk已知当0Ix时，.)(2xxf求)(xf在kI 上的解析式 . 解：设1211212),12, 12(kxkxkkkx0Ix时，有22)2()2(121,
24、)(kxkxfkxxxf得由)(xf是以 2 为周期的函数，2)2()(),()2(kxxfxfkxf. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 11 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
25、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 12 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 13 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 14 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -