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1、精品资料 欢迎下载 第 5 讲 函数的奇偶性对称性周期性 2017.3.26 一、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数()f x的定义域内的任意一个x，都有()()f xfx，则称函数()f x为偶函数；如果对于函数()f x的定义域内的任意一个x，都有()()f xfx ，则称函数()f x为奇函数。2.奇偶性的几何意义 具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。3.常用性质(1)0)(xf是既奇又偶函数；(2)奇函数若在0 x处有定义，则必有0)0(f；(3)偶函数满足)()()(xfxfxf；(4)奇函数图象关于原点对称，偶函数图象
2、关于 y 轴对称；(5)0)(xf除外的所有函数奇偶性满足：奇函数奇函数=奇函数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 奇函数偶函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数(6)任何函数)(xf可以写成一个奇函数2)()()(xfxfx和一个偶函数2)()()(xfxfx的和。4.复合函数的奇偶性。性质 1、复数函数)(xgfy 为偶函数，则)()(xgfxgf;复合函数)(xgfy 为奇函数，则)()(xgfxgf.性质 2、复合函数)(axfy为偶函数，则)()(axfaxf;复合函数)(axfy为奇函数，则)()(axfaxf.性质 3、复合函数)(axfy为偶函数，
3、则)(xfy 关于直线 xa 轴对称。复合函数)(axfy为奇函数，则)(xfy 关于点(a,0)中心对称。练习:1.已知函数)(xf是定义在 R 上的偶函数.当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf 2.已知定义域为R的函数12()2xxbf xa 是奇函数(1)求,a b的值；(2)若对任意的tR，不等式22(2)(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围；精品资料 欢迎下载 3.已知函数1().21xf xa，若 f x为奇函数，则a _。4.已知)(xf在（1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyxfyfxfyx有 证明：)(xf在（1，1）上为奇
4、函数；5.若奇函数)(Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_ 二、函数的对称性 1.函数自对称（1）关于y轴对称的函数（偶函数）的充要条件是)()(xfxf（2）若函数)(xfy 关于点)0,(a对称，则以下四式成立且等价：)()(xafxaf)()2(xfxaf)()2(xfxaf)(axfy是奇函数（3）若函数)(xfy 关于直线ax 对称，则以下四式成立且等价：)()(xafxaf)()2(xfxaf)()2(xfxaf)(axfy是偶函数（4）如果函数)(xfy 对于一切 xR,都有 f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数)(xfy 的图像关于直线x=2ba
5、 对称（5）如果函数)(xfy 对于一切 xR,都有bxafxaf2)()(成立,则函数)(xfy 图像关于点),(ba对称 2.两个函数的图象对称性（1）)(xfy 与)(xfy关于x轴对称。换种说法：)(xfy 与)(xgy 若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。（2）)(xfy 与)(xfy关于y轴对称。换种说法：)(xfy 与)(xgy 若满足)()(xgxf，即它们关于0 x对称。（3）)(xfy 与)2(xafy关于直线ax 对称。换种说法：)(xfy 与)(xgy 若满足)2()(xagxf，即它们关于ax 对称。（4）)(xfy 与)(2xfay关于直线ay 对称。换种说
6、法：)(xfy 与)(xgy 若满足axgxf2)()(，即它们关于ay 对称。（5）)2(2)(xafbyxfy与关于点,a b对称。换种说法：)(xfy 与)(xgy 若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点,a b对称。（6）)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。若)()(axfxf,则函数)(xfy 的图象关于点)0,2(a对称;3.几个常见的函数方程 一个都有则称函数为偶函数如果对于函数的定义域内的任意一个都有则称函数为奇函数奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于轴对称常用性质是既奇又偶函数奇函数数奇函数奇函数奇函数奇
7、函数偶函数奇函数偶函数非奇非偶奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和复合函数的奇偶性性质复数函数为偶函数则复合函数为奇函数于点中心对称练习已知函数是定义在上的偶函数当时则当时已知定义域为的函数是奇函数求的值若对任意的不等式恒成立求的取值范围精品资料欢迎下载已知函数若为奇函数则已知在上有定义且满足有证明在上为奇函数若奇函数二精品资料 欢迎下载（1）正比例函数()f xcx,()()(),(1)f xyf xf yfc.（2）指数函数()xf xa,()()(),(1)0f xyf x f yfa.（3）对数函数()logaf xx,()(
8、)(),()1(0,1)f xyf xf yf aaa.（4）幂函数()f xx,()()(),(1)f xyf x f yf.三、函数的周期性 定义：对于函数)(xf，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf，则)(xf的最小正周期为 T，T 为这个函数的一个周期（说明：nT 也是)(xf的周期）注意：关于函数的周期性的几个重要性质：1.如果函数)(xf是 R 上的奇函数，且最小正周期为 T，那么0)2()2(TfTf 2.如果函数)(xf所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期，如果函数)(xf的最小正周期为 T
9、 则函数)(axf的最小正周期为aT，如果)(xfy 是周期函数，那么)(xfy 的定义域无界 3.若)0)()(TxfTxf)(xf是周期函数，T 是它的一个周期，说明：nT 也是)(xf的周期 推广：若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期 4.定义在 R 上的函数)(xf图象关于直线ax 和bx)(ba 对称，则)(xf是周期函数，)(2ab 是它的一个周期 推论：若定义在 R 上的偶函数)(xf的图象关于直线ax)0(a对称，则)(xf是周期函数，a2是它的一个周期 5.定义在 R 上的函数)(xf图象关于点)0,(a和点)0,(b)(ba 对称，则)(xf是周
10、期函数，)(2ab 是它的一个周期 推论：若定义在 R 上的奇函数)(xf的图象关于点)0,(a)0(a对称，则)(xf是周期函数，a2是它的一个周期 6.定义在 R 上的函数)(xf图象关于直线ax 和点)0,(b)(ba 对称，则)(xf是周期函数，)(4ab 是它一个周期 推论：若定义在 R 上的奇函数)(xf的图象关于直线ax)0(a对称，则)(xf是周期函数，a4是它的一个周期 7.若 a 是非零常数，对于函数)(xfy 定义域内的任一变量 x，有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是一个都有则称函数为偶函数如果对于函数的定义域内的任意一个都有则称函数为奇函数奇偶性的几何意义具有奇偶
11、性的函数的定义域关于原点对称奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于轴对称常用性质是既奇又偶函数奇函数数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数非奇非偶奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和复合函数的奇偶性性质复数函数为偶函数则复合函数为奇函数于点中心对称练习已知函数是定义在上的偶函数当时则当时已知定义域为的函数是奇函数求的值若对任意的不等式恒成立求的取值范围精品资料欢迎下载已知函数若为奇函数则已知在上有定义且满足有证明在上为奇函数若奇函数二精品资料 欢迎下载 周期函数，且 2|a|是它的一个周期：)()(xfaxf；)(1)(xfa
12、xf；)(1)(xfaxf；)()(axfaxf 8.)1)(,)(11)(xfxfaxf，则)(xf的周期 T=3a 9.)(1)(1)(xfxfaxf则)(xf的周期 T=4a；例 1.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 xfy 的图象关于直线21x对称，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_0_.【考点分析】本题考查函数的周期性 解析：00ff 得 00f，假设 0f n 因为点（n，0）和点（1,0n）关于12x 对称，所以 10f nfnf n 因此，对一切正整数n都有：0f n 从而：123450fffff。本题答案填写：0 例 2.已知()f x是周期为
13、2 的奇函数，当01x 时，()lg.f xx设63(),(),52afbf5(),2cf则（A）abc （B）bac （C）cba （D）cab 解：已知()f x是周期为 2 的奇函数，当01x 时，()lg.f xx设644()()()555afff，311()()()222bfff，51()()22cff0，b+c0，c+a0，证明：f（a）+f（b）+f（c）0。（12 分）解：f（x）是定义域 R 上的奇函数且为增函数。由 a+b0得 a-b，由增函数 f(a)f(-b)，且奇函数 f（-b）=-f（b），一个都有则称函数为偶函数如果对于函数的定义域内的任意一个都有则称函数为奇函数
14、奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于轴对称常用性质是既奇又偶函数奇函数数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数非奇非偶奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和复合函数的奇偶性性质复数函数为偶函数则复合函数为奇函数于点中心对称练习已知函数是定义在上的偶函数当时则当时已知定义域为的函数是奇函数求的值若对任意的不等式恒成立求的取值范围精品资料欢迎下载已知函数若为奇函数则已知在上有定义且满足有证明在上为奇函数若奇函数二精品资料 欢迎下载 得 f（a）+f（b）0。同理可得 f（b）+f（
15、c）0，f（c）+f（a）0。相加得：f（a）+f（b）+f（c）0。例9 设 函 数 f（x）的 定 义 域 关 于 原 点 对 称，且 对 于 定 义 域 内 任 意 的21xx，有)()()()(1)(122121xfxfxfxfxxf，试判断 f（x）的奇偶性，并证明你的结论。（12 分）解：)()()()()(1)(12122121xxfxfxfxfxfxxf)()()()()(1)()()()(12112212121xxfxfxfxfxfxfxfxfxf，设21xxx，则12xxx，f（-x）=-f（x）；又 f（x）的定义域关于原点对称，f（x）为奇函数。例 10.设)(xf是定
16、义在R上的偶函数，它的图象关于直线2x对称，已知 22，x时，函数1)(2 xxf，则 26，x时，)(xf_ 例 11.设)(xf是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足)()2(xfxf，当 2,0 x时22)(xxxf 求证：)(xf是周期函数；当 4,2x时，求)(xf的解析式；(3)算：)0(f)1(f)2(f)2005(f 例12.已 知f(x)是 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数，且,32)1(,)(1)(1)2(fxfxfxf若则f(2005)=.例 13.已知)(xf是(-，)上的奇函数，)()2(xfxf，当 0 x1 时，f(x)=x，则 f(7.5)=_
17、 当堂练习:1.定义在实数集上的奇函数 恒满足 ，且 时,则 _。2.已知函数 满足 ，则 图象关于_对称。一个都有则称函数为偶函数如果对于函数的定义域内的任意一个都有则称函数为奇函数奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于轴对称常用性质是既奇又偶函数奇函数数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数非奇非偶奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和复合函数的奇偶性性质复数函数为偶函数则复合函数为奇函数于点中心对称练习已知函数是定义在上的偶函数当时则当时已知定义域为的函数是奇函数求的值若对
18、任意的不等式恒成立求的取值范围精品资料欢迎下载已知函数若为奇函数则已知在上有定义且满足有证明在上为奇函数若奇函数二精品资料 欢迎下载 3.函数 与函数 的图象关于关于_对称。4.设函数 的定义域为 R，且满足 ，则 的图象关于_对称。5.设函数 的定义域为R，且满足 ，则 的图象关于_对称。图象关于_对称。6.设 的定义域为 R，且对任意 ，有 ，则 图象关于_对称，关于_对称。7.已知函数 对一切实数 x 满足 ，且方程 有 5 个实根，则这 5个实根之和为（）A、5 B、10 C、15 D、18 8.已知偶函数 定义域为 R，且恒满足 ，若方程 在 上只有三个实根，且一个根是 4，求方程在
19、区间 中的根 附参考答案：y 轴即 ：y 轴 ：C ：方程的根为 共 9 个根 作业：1.)(xf是定义在R上的偶函数，图象关于1x对称，对任意21,0,21xx，有)(21xxf)()(21xfxf，且0)1(af求)21(f；)41(f 证明：)(xf是周期函数；2)(xf是定义在 R 上的奇函数，且对一切Rx，恒有)23()23(xfxf 求证：)(xf是周期函数；若2)1(f，求)2(f)3(f的值。3.若存在常数0p，使得函数)(xf满足)2()(ppxfpxf(Rx)，则)(xf的一个正周期为_ 4.已知定义在 R 上，最小正周期为 5 的函数()f x满足()()fxf x，且(
20、3)0f，则在区间0,10内，方程()0f x 的解的个数至少为_个 5.定 义 在 R 上 的 偶 函 数()f x，满 足(2)(2)fxfx，在 区 间 -2,0 上 单 调 递 减，设(1.5),(2),(5)afbfcf，则,a b c的大小顺序为_ 6.定义在 R 上的函数)(xf满足xxxfxxfxf2)(2,0)(3)2(2时当，则当)(,2,4xfx时 的最小值是_ 一个都有则称函数为偶函数如果对于函数的定义域内的任意一个都有则称函数为奇函数奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于轴对称常用性质是既奇又偶函数奇函数数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数非奇非偶奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和复合函数的奇偶性性质复数函数为偶函数则复合函数为奇函数于点中心对称练习已知函数是定义在上的偶函数当时则当时已知定义域为的函数是奇函数求的值若对任意的不等式恒成立求的取值范围精品资料欢迎下载已知函数若为奇函数则已知在上有定义且满足有证明在上为奇函数若奇函数二