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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2.4 二次函数与幂函数1二次函数 1二次函数解析式的三种形式 一般式： fxax 2bxca 0顶点式： fxaxm 2na 0零点式： fxaxx1xx2a 02二次函数的图象和性质解析式fxax 2bxca0fxax2bxca0 时,幂函数yxn 是定义域上的增函数 5如函数 fx k 21x 22x3 在, 2上单调递增,就k2 2 . 6已知 fxx24x5,x0,3,就 fxmaxf05,fxminf32. 22022 重庆 3 a a 6 6a3的最大值为A9 B.9C3 D.3 222 答案B 解析由于3 a
2、a 6 183aa2 a3281 4,2所以当 a3 2时,3a a6 的值最大,最大值为9 2. 3函数 fxm1x22mx3 为偶函数, 就 fx在区间 5, 3上A先减后增B先增后减C单调递减D单调递增答案D - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析由 fx为偶函数可得学习必备欢迎下载m0,fx x23,fx在区间 5, 3上单调递增4已知函数y x 22x3 在闭区间 0 ,m上有最大值3,最小值2,就 m 的取值范畴为_答案1,2x1. 解析yx 22x3 的对称轴为当 m2 时, ymaxfmmm0 或 m2,无解 1m2. 5如幂函数y2
3、m3 m3 m x2m2的图象不经过原点,就实数m 的值为 _答案1 或 2 ,解得 m 1 或 2. 解析由m23m312m20m经检验 m1 或 2 都适合 . 题型一 二次函数的图象和性质例 1已知函数 fxx22ax3,x 4,61当 a 2 时,求 fx的最值；2求实数 a 的取值范畴,使y fx在区间 4,6上是单调函数；3当 a1 时,求 f|x|的单调区间思维启发对于 1和2可依据对称轴与区间的关系直接求解,对于3,应先将函数化为分段函数,再求单调区间,留意函数定义域的限制作用解 1当 a 2 时, fxx 2 4x3 x 2 21,由于 x 4,6,fx在 4,2 上单调递减
4、,在 2,6 上单调递增,fx的最小值是 f2 1,又 f4 35,f615,故 fx的最大值是 35. 2由于函数 fx的图象开口向上, 对称轴是 x a,所以要使 应有 a4 或 a6,即 a6 或 a4. 3当 a1 时, fxx 22x3,f|x|x 22|x|3,此时定义域为 x6,6,fx在 4,6上是单调函数,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 且 fxx22x3,x 0,6学习必备欢迎下载,22x3,x 6,0xf|x|的单调递增区间是 0,6,单调递减区间是 6,0 思维升华 1二次函数在闭区间上的
5、最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动, 不论哪种类型, 解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时, 要依据对称轴与区间的关系进行分类争论；图象的对称轴进行分析争论求解2二次函数的单调性问题就主要依据二次函数1二次函数的图象过点0,1,对称轴为x 2,最小值为 1,就它的解析式是_答案y1 2x 2 21 2如函数fx 2x2 mx 1 在区间 1, 上递增,就f 1的取值范畴是_ 答案, 3 轴为 xm 4,解析抛物线开口向上,对称m1,m4. 4又 f11m3,f1, 3题型二二次函数的应用2bx1a,b R,x R. 例 2已知函数 fxax1如函数 fx的最小值
6、为f10,求 fx的解析式,并写出单调区间；2在1的条件下, fxxk 在区间 3, 1上恒成立,试求 k 的范畴思维启发 利用 fx的最小值为 f 10 可列两个方程求出 a、b；恒成立问题可以通过求函数最值解决解 1由题意有 f1ab 10,且b 2a 1,a1,b 2. fx x 22x1,单调减区间为 , 1,单调增区间为 1, 2fx xk 在区间 3, 1上恒成立,转化为 x 2 x1k 在区间 3, 1上恒成立设 gxx 2x1, x3, 1,就 gx在3, 1 上递减gxming11. km 2m1 2,就实数 m 的取值范畴是 A. ,2 5 1B.512,C1,2 D. 5
7、12,2思维启发 1由幂函数的定义可得 n 22n21,再利用 fx的单调性、对称性求 n；12构造函数 y x 2,利用函数单调性求 m 范畴答案 1B 2D 解析 1由于 fx为幂函数,所以 n 22n21,解得 n1 或 n 3,经检验只有 n1 适合题意,应选 B. 12由于函数 y x2的定义域为 0, ,且在定义域内为增函数,2m10,所以不等式等价于 m 2m1 0,2m1m 2m1.解 2m10,得 m1 2；解 m 2 m 10,得 m2 51或 m512 . 解 2m1m 2m1,得 1m2,名师归纳总结 综上5 1mfa1的实数 a 的取值范畴解1m2mmm1,mN*,而
8、 m 与 m1 中必有一个为偶数,mm1为偶数函数 fx mN *的定义域为 0, ,并且在定义域上为增函数2函数 fx经过点 2,2,12,即 222 m 2 m 1 . m 2m2.解得 m 1 或 m 2. 1 又mN*, m 1. fxx2 . 2a0,a10 由 f2 afa 1得 2aa1.解得 1a3 2.a 的取值范畴为 1,3 2分类争论思想在函数中的应用典例： 12 分已知函数 fxax2|x|2a1a 为实常数 1如 a1,作出函数 fx的图象；2设 fx在区间 1,2 上的最小值为 ga,求 ga的表达式思维启发 1因 fx的表达式中含 |x|,故应分类争论,将原表达式
9、化为分段函数的形式,然后作图2因 aR,而 a 的取值打算fx的表现形式,或为直线或为抛物线,如为抛物线又分为开口向上和向下两种情形,故应分类争论解决规范解答 解1当 a1 时,名师归纳总结 fxx 2 |x| 1 x 2x1,x0x 2x1,x0.3 分 第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载作图 如右图所示 5 分2当 x1,2 时, fxax 2x 2a1.6 分如 a0,就 fx x1 在区间 1,2 上是减函数,gaf2 3.7 分如 a 0,就 fxa x1 2a 22a1 4a1,1fx图象的对称轴是
10、直线 x2a. 当 a0 时, fx在区间 1,2 上是减函数,gaf2 6a3. 当 0 1 2a 12时, fx在区间 1,2 上是增函数,gaf1 3a2. 当 11 2a2,即 1 4a1 2时,gaf 2a2a 1 4a1. 当1 2a2,即 0a1 时, fx在区间 1,2 上是减函数,gaf2 6a3.11 分6a3,a1 2温馨提示 此题解法充分表达了分类争论的数学思想方法,在二次函数最值问题的争论中,一是要对二次项系数进行争论,二是要对对称轴进行争论在分类争论时要遵循分类的原就： 一是分类的标准要一样,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免分类,绝不无原就的分类争
11、论 . 方法与技巧1二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：1在争论一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从： 开口方向； 对称轴位置； 判别式； 端点函数值符号四个方面分析2在争论一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图象、性质求解名师归纳总结 2幂函数 yxR图象的特点0 时,图象过原点和1,1,在第一象限的图象上升；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载限的图象下降,反之也成立失误与防范1对于函数 yax 2bxc,要认为它是二次函数,就必需满意 a 0,当题目条件中未说明a 0
12、 时,就要争论 a0 和 a 0 两种情形2幂函数的图象肯定会显现在第一象限内,肯定不会显现在第四象限,至于是否显现在其次、三象限内, 要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时显现在两个象限内；假如幂函数图象与坐标轴相交,就交点肯定是原点 . A 组 专项基础训练一、挑选题1如 fxx 2ax1 有负值,就实数a 的取值范畴是 B 2a2 或 a 2 D1a0,就 a2 或 a0,就一次函数yaxb 为增函数,二次函数yax2bxc 的开口向上,故可排除 A；如 a0, b0,从而b 2a0,而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧,故应排除 B,因此选 C. 3假如函数fxx2bx c 对任意的
13、实数x,都有 f1xfx,那么 Af 2f0f2 Bf0 f2f2 Cf2 f0f2 Df0f2f2 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案D 学习必备欢迎下载解析由 f1xfx知 fx的图象关于x1 对称,2又抛物线开口向上,结合图象图略 可知 f0 f2f24设二次函数 fx ax 22axc 在区间 0,1 上单调递减,且 fmf0,就实数 m 的取值范围是 A, 0 B2, C, 0 2, D0,2答案 D 解析 二次函数 fxax 22axc 在区间 0,1 上单调递减, 就 a 0,fx2ax10,即函
14、数图象的开口向上,对称轴是直线 x1. 所以 f0f2,就当 fmf0时,有 0m 2. 15已知 fxx2,如 0ab1,就以下各式中正确选项 Afafbf1 1af b Bf1 af1 bfbfa Cfa fbf1 1bf a 1 Df afaf1 bfb 答案C 1解析 由于函数 fxx2 在0, 上是增函数,又 0ab1 b0,0m1 4.综上 0m1 4. 7如方程 x 2 11x30a0 的两根均大于 答案 00,02x 的解集为 1,3如方程fx6a0 有两个相等的根,求fx的单调区间解fx2x0 的解集为 1,3,设 fx2xax1x3,且 a0,fx ax1x32xax 22
15、4ax3a. 由方程 fx6a 0 得 ax 22 4ax9a0.方程 有两个相等的根, 24a 24a9a 0,解得 a1 或 a1 5.由于 a0,舍去 a1. 将 a1 5代入 式得 fx1 5x 26 5x31 5x3 26 5,函数 fx的单调增区间是 , 3,单调减区间是 3, 10已知函数 fx x 22ax1 a 在 x 0,1 时有最大值 2,求 a 的值解 函数 fx x 2 2ax1a 2 a 2a1, xa 对称轴方程为 x a. 1当 a1 时, fx maxf1a, a2. 综上可知, a 1 或 a2. 1设函数 fx1x7,x0,B 组专项才能提升 2如 fa1
16、,就实数 a 的取值范畴是x,x0,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A, 3 B1, C3,1 D, 31, 答案 C 解析 当 a0 时, 1 2 a71,即 2a3,3a0. 当 a0 时,a1,0 a1.故 3abc,abc0,集合 A m|fm0 B. mA,都有 fm30 C. m0A,使得 fm030 D. m0A,使得 fm03bc,abc0 可知 a0,c0,且 f10,f0 c1 时, fx0. 由 ab,得 1b a,x1,设方程 ax2bxc0 的另一个根为就 x11b
17、a1,即 x12,由 fm0 可得 2m1,所以 1m 30,选 A. 3已知函数 fxx 22ax2a4 的定义域为 R,值域为 1, ,就 a 的值域为 _答案1 或 3 解析 由于函数 fx的值域为 1, ,所以 fxmin1 且 0.5 1a0. 第 11 页,共 12 页1求证： 2b a1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2如 x1、 x2是方程 fx0 的两个实根,求 |x1x2|的取值范畴1证明 当 a0 时, f0 c,f12bc,又 bc0,就 f0 f1c2bc c 20 即b a1b a20,从而 2b a1
18、. 2解 x1、x2是方程 fx0 的两个实根,就 x1x22b 3a,x1x2 ab 3a,那么 x1x 2 2x1x2 2 4x1x22b 3a 24ab 3a 4 9 ba 24b 3a44 9 b a 3 2 21 3. 2b a1,13x1x2 2 49,3|x1x2|0,bR,cRf x ,x0,1如函数 fx的最小值是 f10,且 c1,Fx求 F2F2的值；f x , x0,Fx x1 2,x0.F2F22 1 221 2 8. 2fxx 2bx,原命题等价于1x 2bx1 在0,1上恒成立,即 b1 x x 且 b 1 xx 在0,1 上恒成立又1 x 的最小值为 0,1x 的最大值为 2. x x2b0. 故 b 的取值范畴是 2,0名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页