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1、学习必备欢迎下载 2.4二次函数与幂函数1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式： f(x)ax2bxc(a0)顶点式： f(x)a(xm)2n(a0)零点式： f(x)a(xx1)(xx2)(a 0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0 时，幂函数yxn是定义域上的增函数() (5)若函数 f(x)(k21)x22x3 在(， 2)上单调递增，则k22. () (6)已知 f(x)x24x5，x0,3)，则 f(x)maxf(0)5，f(x)minf(3)2. () 2(2013 重庆 )3 a a 6 (6a3)的最大值为() A9
2、B.92C3 D.3 22答案B 解析因为3 a a 6 183aa2 a322814，所以当 a32时，3a a6 的值最大，最大值为92. 3函数 f(x)(m1)x22mx3 为偶函数， 则 f(x)在区间 (5， 3)上() A先减后增B先增后减C单调递减D单调递增答案D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载解析由 f(x)为偶函数可得m0，f(x) x23，f(x)在区间 ( 5， 3)上单调递增4已知函数y x22x3 在闭区间 0，m上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_答案1,2
3、解析yx22x3 的对称轴为x1. 当 m2 时， ymaxf(m)m22m33，m0 或 m2，无解 1m2. 5若幂函数y222)33(mmxmm的图象不经过原点，则实数m 的值为 _答案1 或 2 解析由m23m31m2m20，解得 m 1 或 2. 经检验 m1 或 2 都适合 . 题型一二次函数的图象和性质例 1已知函数f(x)x22ax3，x 4,6(1)当 a 2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使y f(x)在区间 4,6上是单调函数；(3)当 a1 时，求 f(|x|)的单调区间思维启迪对于 (1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应
4、先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用解(1)当 a 2 时， f(x)x2 4x3 (x 2)21，由于 x 4,6，f(x)在 4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是f(2) 1，又 f(4) 35，f(6)15，故 f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上， 对称轴是x a， 所以要使f(x)在 4,6上是单调函数，应有 a4 或 a6，即 a6 或 a4. (3)当 a1 时， f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
5、 - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载且 f(x)x22x3，x 0，6x22x3，x 6，0，f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动， 不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x 2，最小值为1，则它的解析式是_答案y12(x 2)21 (2)若函数f(x) 2x2 mx 1 在区间 1， ) 上
6、递增，则f( 1)的取值范围是_答案(， 3 解析抛物线开口向上，对称轴为 xm4，m41，m4. 又 f(1)1m3，f(1)(， 3题型二二次函数的应用例 2已知函数f(x)ax2bx1(a，b R)，x R. (1)若函数 f(x)的最小值为f(1)0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下， f(x)xk 在区间 3， 1上恒成立，试求k 的范围思维启迪利用 f(x)的最小值为f( 1)0 可列两个方程求出a、b；恒成立问题可以通过求函数最值解决解(1)由题意有f(1)ab 10，且b2a 1，a1，b 2. f(x) x22x1，单调减区间为(， 1，单调增区间
7、为 1， )(2)f(x)xk 在区间 3， 1上恒成立，转化为 x2 x1k 在区间 3， 1上恒成立设 g(x)x2x1， x3， 1，则 g(x)在3， 1上递减g(x)ming(1)1. k(m2m1) 21，则实数 m 的取值范围是() A. ，5 12B.512，C(1,2) D.512，2思维启迪(1)由幂函数的定义可得n22n21，再利用f(x)的单调性、对称性求n；(2)构造函数y x21，利用函数单调性求m 范围答案(1)B(2)D 解析(1)由于 f(x)为幂函数，所以n22n21，解得 n1 或 n 3，经检验只有n1 适合题意，故选B. (2)因为函数y x21的定义
8、域为 0， )，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于2m10，m2m1 0，2m1m2m1.解 2m10，得 m12；解 m2 m 10，得 m512或 m512. 解 2m1m2m1，得 1m2，综上5 12mf(a1)的实数 a 的取值范围解(1)m2mm(m1)，mN*，而 m 与 m1 中必有一个为偶数，m(m1)为偶数函数 f(x) (mN*)的定义域为 0， )，并且在定义域上为增函数(2)函数 f(x)经过点 (2，2)，2，即 22112)(2mm. m2m2.解得 m 1 或 m 2. 又mN*，m 1. f(x)x21. 由 f(2 a)f(a 1)得2a0，a102aa
9、1.解得 1a32.a 的取值范围为 1，32)分类讨论思想在函数中的应用典例： (12 分)已知函数f(x)ax2|x|2a1(a 为实常数 )(1)若 a1，作出函数f(x)的图象；(2)设 f(x)在区间 1,2上的最小值为g(a)，求 g(a)的表达式思维启迪(1)因 f(x)的表达式中含|x|，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图(2)因 aR，而 a 的取值决定f(x)的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决规范解答解(1)当 a1 时，f(x)x2 |x| 1 x2x1，x0 x2x1，x0.3 分 精选学习资料 -
10、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载作图 (如右图所示 )5 分(2)当 x1,2时， f(x)ax2x 2a1.6 分若 a0，则 f(x) x1 在区间 1,2上是减函数，g(a)f(2) 3.7 分若 a0，则 f(x)a x12a22a14a1，f(x)图象的对称轴是直线x12a. 当 a0 时， f(x)在区间 1,2上是减函数，g(a)f(2) 6a3. 当 012a12时， f(x)在区间 1,2 上是增函数，g(a)f(1) 3a2. 当 112a2，即14a12时，g(a)f12a2a14a1. 当
11、12a2，即 0a14时， f(x)在区间 1,2 上是减函数，g(a)f(2) 6a3.11 分综上可得， g(a)6a3，a1212 分温馨提醒本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论，二是要对对称轴进行讨论在分类讨论时要遵循分类的原则： 一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论. 方法与技巧1二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从： 开口方向； 对称轴位置；判别式； 端点函数值符号
12、四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解2幂函数 yx( R)图象的特征 0 时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； 0 时，图象不过原点，在第一象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载限的图象下降，反之也成立失误与防范1对于函数 yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0 时，就要讨论a0 和 a0 两种情况2 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内， 要看函数
13、的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. A 组专项基础训练一、选择题1若 f(x)x2ax1 有负值，则实数a 的取值范围是() Aa 2 B 2a2 或 a 2 D1a0，则 a2 或 a0，则一次函数yaxb 为增函数，二次函数yax2bxc 的开口向上，故可排除 A；若 a0， b0，从而b2a0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除 B，因此选C. 3如果函数f(x)x2bx c 对任意的实数x，都有 f(1x)f(x)，那么() Af( 2)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(2) Cf(2)f(0)f(2) Df
14、(0)f(2)f(2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载答案D 解析由 f(1x)f(x)知 f(x)的图象关于x12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略 )可知 f(0)f(2)f(2)4设二次函数f(x) ax22axc 在区间 0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m 的取值范围是() A(， 0 B2， ) C(， 0 2， ) D0,2答案D 解析二次函数f(x)ax22axc 在区间 0,1 上单调递减， 则 a 0，f (x)2a(x1)0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线
15、x1. 所以 f(0)f(2)，则当 f(m)f(0)时，有 0m 2. 5已知 f(x)x21，若 0ab1，则下列各式中正确的是() Af(a)f(b)f(1a)f(1b) Bf(1a)f(1b)f(b)f(a) Cf(a)f(b)f(1b)f(1a) Df(1a)f(a)f(1b)f(b) 答案C 解析因为函数f(x)x21在(0， )上是增函数，又 0ab1b0，0m14.综上 0m14. 7若方程 x2 11x30a0 的两根均大于5，则实数a 的取值范围是 _答案00，02x 的解集为 (1,3)若方程f(x)6a0 有两个相等的根，求f(x)的单调区间解f(x)2x0 的解集为
16、(1,3)，设 f(x)2xa(x1)(x3)，且 a0，f(x) a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程 f(x)6a 0 得 ax2(2 4a)x9a0.方程 有两个相等的根， (24a)24a 9a 0，解得 a1 或 a15.由于 a0，舍去 a1. 将 a15代入 式得f(x)15x265x3515(x3)265，函数 f(x)的单调增区间是( ， 3，单调减区间是 3， )10已知函数f(x) x22ax1 a 在 x 0,1时有最大值2，求 a 的值解函数 f(x) x2 2ax1a (xa)2 a2a1，对称轴方程为x a. (1)当 a1 时， f(x)maxf
17、(1)a， a2. 综上可知， a 1 或 a2. B 组专项能力提升1设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f(a)1，则实数a 的取值范围是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载A(， 3) B(1， ) C(3,1) D(， 3)(1， ) 答案C 解析当 a0 时， (12)a71，即 2a3，3a0. 当 a0 时，a1，0 a1.故 3abc，abc0，集合 Am|f(m)0 B? mA，都有 f(m3)0 C? m0A，使得 f(m03)0 D? m0A，使得 f(m03)
18、bc，abc0 可知 a0，c0，且 f(1)0，f(0) c1 时， f(x)0. 由 ab，得 1ba，设方程 ax2bxc0 的另一个根为x1，则 x11ba1，即 x12，由 f(m)0 可得 2m1，所以 1m 30，选 A. 3已知函数 f(x)x22ax2a4 的定义域为R，值域为 1， )，则 a 的值域为 _答案1 或 3 解析由于函数f(x)的值域为 1， )，所以 f(x)min1 且 0.5 1a0. (1)求证： 2ba1；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载(2)若 x1
19、、 x2是方程 f(x)0 的两个实根，求|x1x2|的取值范围(1)证明当 a0 时， f(0)c，f(1)2bc，又 bc0，则 f(0) f(1)c(2bc) c20 即(ba1)(ba2)0，从而 2ba1. (2)解x1、x2是方程 f(x)0 的两个实根，则 x1x22b3a，x1x2ab3a，那么 (x1x2)2(x1x2)2 4x1x2(2b3a)24ab3a49 (ba)24b3a4349(ba32)213. 2ba1，13(x1x2)249，33|x1x2|0，bR，cR)(1)若函数 f(x)的最小值是f(1)0， 且 c1， F(x)f x ，x0，f x ， x0， x12，x0.F(2)F(2)(2 1)2(21)2 8. (2)f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1 在(0,1上恒成立，即 b1x x且 b 1xx 在(0,1上恒成立又1x x 的最小值为0，1xx 的最大值为 2. 2b0. 故 b 的取值范围是2,0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页