2022年第一节中值定理.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载第三章 中值定理与导数的应用从其次章第一节的前言中已经知道,导致微分学产生的第三类问题是“ 求最大值和最小值”. 此类问题在当时的生产实践中具有深刻的应用背景,例如 ,求炮弹从炮管里射出后运行的水平距离 即射程 ,其依靠于炮筒对地面的倾斜角即发射角 . 又如 ,在天文学中 ,求行星离开太阳的最远和最近距离等 . 始终以来 ,导数作为函数的变化率 ,在争论函数变化的性态中有着特别重要的意义 ,因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用 . 在其次章中 , 我们介绍了微分学的

2、两个基本概念导数与微分及其运算方法 . 本章以微分学基本定理微分中值定理为基础 , 进一步介绍利用导数争论函数的性态 , 例如判定函数的单调性和凹凸性 , 求函数的极限、极值、最大 小值以及函数作图的方法 , 最终仍争论了导数在经济学中的应用 . 第一节 中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系 ,因而称为中值定理 . 中值定理既是用微分学学问解决应用问题的理论基础 ,又是解决微分学自身进展的一种理论性模型 , 因而称为微分中值定理 . 分布图示 引言 罗尔定理 例 1 例 2 例 3 拉格朗日中值定理 例 4 例 5 例 6 柯西中值定理 例 7 内容小

3、结 课堂练习 习题 3-1 内容要点一、 罗尔定理 ：在闭区间 a, b上连续；在开区间a, b内可导；在区间端点的函数值相等, 即faf b.结论：在 a, b内至少存在一点ab,使得f0 . 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 注：罗尔定理的三个条件是特别重要的,假如有一个不满意,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之. 罗尔定理中f afb 这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的争论,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件 ,得到了在微分学中具有重要位置的拉格朗日中值定理. 二、 拉格朗日中值定

4、理：在闭区间 a, b上连续；在开区间a, b内可导 . 结论：在 a, b内至少存在一点ab,使得fb fafba细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料,b欢迎下载a ,b内某点处函拉格朗日中值公式反映了可导函数在a上整体平均变化率与在数的局部变化率的关系 . 如从力学角度看 ,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度 . 因此 ,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带 . 拉格朗日终值定理可改写为 y f x 0 x x 0 1 . 称为

5、 有限增量公式 . 拉格朗日中值定理在微分学中占有重要位置 ,有时也称这个定理为微分中值定理 . 在某些问题中 ,当自变量 x 取得有限增量 x 而需要函数增量的精确表达式时 ,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值 . 推论 1 假如函数 f x 在区间 I 上的导数恒为零 , 那末 f x 在区间 I 上是一个常数 . 三、 柯西中值定理 ：在闭区间 a, b上连续；在开区间a, b内可导；在 a, b内每一点处 , gx 0. 结论：在 a, b内至少存在一点 ab,使得fa fb fga gb g明显 , 如取gx x ,就g bga ba,gx ,1因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理

6、 微分中值定理 了. 所以柯西中值定理又称为广义中值定理. 例题选讲 罗尔定理的应用而在例 1（E01）对函数fxsin2x在区间,0上验证罗尔定理的正确性. 解明显fx在0 ,上连续,在 0,内可导,且f0 f0, 0 ,内确存在一点2使f22sinxcosx|x/20 .例 2 不求导数 , 判定函数fx x1 x2x3的导数有几个零点及这些零点所在的范畴 . 解由于f 1 f2f 3 0,所以f x 在闭区间 1 , 2 、2 3,上满意罗尔定理的三 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 个条件,从而,在 ,12 内至少存在一点1使 ,f 10 ,即1是fx的一个零

7、点；又在 2, 3 内至少存在一点2使f20,即2是fx 的一个零点；又由于fx 为二次多项式, 最多只能有两个零点,故fx 恰好有两个零点,分别在区间 ,12和2 , 3 内. 例 3 证明方程x55x10有且仅有一个小于1 的正实根 . 证设fx x55x1,1就fx在01, 上连续,且f0 ,1f 13.由介值定理,存在x 0 01, ,使fx0,0即为方程的小于1 的正实根 .设另有x 10 1, ,x 1x0,使f 10 .由于fx在x 0,x 1之间满意罗尔定理的条件,所以至少存在一点在x0, x 1之间 ,使得f0 .但fx5 x410 x0 1, ,导致冲突,故x 为唯独实根

8、. 0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载拉格朗日中值定理的应用例 4（E02）验证函数fxarctanx在0 1,上满意拉格朗日中值定理,并由结论求.值. 解fxarctanx在01,上连续 ,在 01,可导 ,故满意拉格朗日中值定理的条件就f 1f 0 f 10 01.故即arctan1arctan0112x11x2故11244011 .x1 .例 5 证明arcsinxarccosx2证设fxatcsincaarccosx,x1,1

9、 ,fx 11x211x20 ,22,fxC,x1,1 .又f0 arcsin0arccosx0即C2.ln1xx.arcsinxarccosx2.例 6E03 证明当x0时,1xx证设fxln1x,就fx 在,0x 上满意拉格朗日定理的条件fx f0fx0 0x,f0 ,0fx 11x,1从而ln1x1x0x,又由111x11x111xx1xx,即1xxl n x x .柯西中值定理的应用细心整理归纳 精选学习资料 例 7 验证柯西中值定理对函数fxx3,1gxx2在区间,12 上的正确性 . 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

10、 - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解函数fxx31 ,gx优秀学习资料,12欢迎下载 ,1 2内可导 , x2在区间上连续 ,在开区间且gx 2x0.于是fx,gx满意柯西中值定理的条件. 由于成立 . f2f 1 2313 11 7,fx 3 2x ,g2g 12213gx令3 x 27,得x14.取14 ,12 ,就等式f2 f 1fx399g2 g 1gx这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性. 课堂练习1.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不行. 罗尔 （Rolle ,16521719）简介：罗尔

11、是法国数学家；1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特,1719 年 11 月 8 日卒于巴黎；罗尔诞生于小店家庭,只受过初等训练,且结婚过早,年轻时贫困潦倒,靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口,他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作,并很有心得； 1682 年,他解决了数学家奥扎南提出一个数论难题,受到了学术界的好评,从而名身雀起,也使他的生活有了转机,此后担任初等数学老师和陆军部行征官员；1685 年进入法国科学院,担任低级职务,到 院供职, 1719 年因中风去世；1690 年才获得科学院发给的固定薪水；此后他始终在科学罗尔在数学上的成就主要是在代数方面,专长于丢番图方程的争

12、论；罗尔所处的时代正当牛顿、 莱布尼兹的微积分产生不久,由于这一新生事物不存在规律上的缺陷,从而遭受多方面的非议,其中也包括罗尔,并且他是反对派中最直言不讳的一员；1700 年,在法国科学院发生了一场有关无穷小方法是否真实的论战；在这场论战中, 罗尔认为无穷小方法由于缺乏理论基础将导致谬误,并说：“ 微积分是奇妙的谬论的聚集”；瓦里格农、 索弗尔等人之间,绽开了反常猛烈的争辩；约翰.贝努利仍讽刺罗尔不懂微积分；由于罗尔对此问题表现得反常兴奋,致使科学院不得不多次出面干预；直到 1706 年秋天,罗尔才向瓦里格农、索弗尔等人承认他已经舍弃了自己的观点,并且充分熟悉到无穷小分析新方法价值；罗尔于

13、1691 年在题为任意次方程的一个解法的证明的论文中指出了：在多项式方程f x 0的两个相邻的实根之间,方程fx0至少有一个根；一百多年后,即1846年,尤斯托 .伯拉维提斯将这肯定理推广到可微函数,并把此定理命名为罗尔定理；拉格朗日 （Joseph-Louis Lagrange ,17361813 ）简介：据拉格朗日本人回忆,幼年家境富有,可能不会作数学争论,F.A.雷维里（ R-evelli ）指导下学几何学后,萌发了他的数学天才；但到青年时代,在数学家 17 岁开头专攻当时快速进展的数学分析；他的学术生涯可分为三个时期：都灵时期（1766 年以前）、柏林时期（1766 1786 ）、巴黎

14、时期（1787 1813 ）；拉格朗日在数学、 力学和天文学三个学科中都有重大历史性的奉献,但他主要是数学家,争论力学和天文学的目的是说明数学分析的威力；讯超过 500 篇；全部著作、 论文、学术报告记录、学术通细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载拉格朗日的学术生涯主要在18 世纪后半期；当时数学、物理学和天文学是自然科学主体；数学的主流是由微积分进展起来的数学分析,以欧洲大陆

15、为中心； 物理学了主流是力学；天文学的主流是天体力学；数学分析的进展使力学和天体力学深化,而力学和天体力学的课题又成为数学分析进展的动力；当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大奉献；下面就拉格朗日的主要奉献介绍如下：数学分析的开拓者1变分法 这是拉格朗日最早争论的领域,以欧拉的思路和结果为依据,但从纯分析方法动身, 得到更完善的结果；他的第一篇论文“ 极大和微小的方法争论”是他争论变分法的序幕； 1760 年发表的“ 关于确定不定积分式的极大微小的一种新方法” 是用分析方法建立变分法制代表作；发表前写信给欧拉,称此文中的方法为“ 变分方法”；欧拉确定了,并在他自己的论文中正式将此

16、方法命名为“ 变分法”；变分法这个分支才真正建立起来；2微分方程早在都灵时期,拉格朗日就对变系数微分方程争论做工出了重大成果；他在降阶过程中提出了以后所称的相伴方程,并证明白非齐次线性变系数方程的相伴方程,就是原方程的齐次方程；在柏林期,他对常微分方程的奇解和特解做出历史性奉献,在 1774年完成的 “ 关于微分方程特解的争论”中系统地争论了奇解和通解的关系,明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求特别解的方法；仍指特别解为原方程积分曲线族的包络线；当然,他的奇解理论仍不完善,现代奇解理论的形式是由 G.达布等人完成的；除此之外,他仍是一阶偏微分方程理论的建立者；3方程论拉格朗日在柏林的

17、前十年,大量时间花在代数方程和超越方程的解法上；他把前人解三、 四次代数方程的各种解法,总结为一套标准方法,而且仍分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的缘由；拉格朗日的想法已包蕴了置换群的概念,他的思想为后来的 N.H. 阿贝尔和 E.伽罗瓦采纳并进展 , 最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题 . 此外 , 他仍提出了一种格朗日极数 . 4. 数论著 拉格朗日在 1772 年把欧拉 40 多年没有解决的费马另一猜想“ 一个正整数能表示为最多四个平方数的和” 证明出来；后来仍证明白闻名的定理：n 是质数的充要条件为（n-1 ）.+1 能被 n 整除；5函数和无穷级数 同 1

18、8 世纪的其他数学家一样,拉格朗日也认为函数可以绽开为无穷级数, 而无穷级数同是多项式的推广；作之一；分析力学的创立者泰勒级数中的拉格朗日余项就是他在这方面的代表拉格朗日在这方面的最大奉献是把变分原理和最小作用原理详细化,而且用纯分析方法 进行推理,成为拉格朗日方法；天体力学的奠基者第一在建立天体运动方程上,他用他在分析力学中的原理,建议起各类天体的运动方程；其中特殊是依据他在微分方程解法的任意常数变异法,量的运动方程, 现在仍称作拉格朗日行星运动方程,建立了以天体椭圆轨道根数为基本变 并在广泛作用； 在天体运动方程解法中,拉格朗日的重大历史性奉献是发觉三体问题运动方程的五个特解,即拉格朗日平

19、动解；总之,拉格朗日是 18 世纪的宏大科学家,在数学、力学和天文学三个学科中都有历史 性的重大奉献； 但主要是数学家, 他最突出的奉献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了打算性的作用；使数学的独立性更为清晰,而不仅是其他学科的工具；同时在使天文学力学化、力学分析上也起了历史性的作用,促使力学和天文学（天体力学）更深化进展；由于历史的局限,严密性不够阻碍着他取得更多成果；细心整理归纳 精选学习资料 柯西 （Augustin Louis Cauchy,17891857 ） 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

20、 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载业绩永存的数学大师19 世纪初期,微积分已进展成一个巨大的分支,内容丰富,应用特别广泛,与此同时,它的薄弱之处也越来越暴露出来,微积分的理论基础并不严格；为解决新问题并澄清微积分概念, 数学家们绽开了数学分析严谨化的工作,在分析基础的奠基工作中,做出杰出奉献的要推宏大的数学定柯西；柯西 1789 年 8 月 21 日诞生于巴黎；父亲是一位熟知古典文学的律师,与当时法国的大数学家拉格朗日, 拉普拉斯交往亲密； 柯西少年时代的数学才华颇受这两位数学家的称赞,并预言柯西日后必成大器；拉格朗日

21、向其父建议“ 赶快给柯西一种坚实的文学训练”,以便他的爱好不致反他引入岐途；父亲加强了对柯西的文学教养,使他在诗歌方面也表现出很高的才华；1807 年至 1810 年柯西在工学院学习；曾当过交通道路工程师；由于身欠佳,接受拉格朗日和拉普拉斯的劝说,舍弃工程师而致力于纯数学的争论,柯西在数学上的最大奉献是在微积分中引进了极限概念,并以极限为基础建立了规律清晰的分析体系；这是微积分进展史上的青华,也柯西应付类科学进展所作的巨大奉献；1821 年柯西提出极限定义的方法,把极限过程用不等式来刻划,后经维尔斯特拉斯改进,成为现在所说的柯西极限定义或叫 定义；当今全部微积分的教科书都仍（至少是在本质上）沿

22、用着栖西等人关于极限、连续、导数、收敛等概念的定义；他对微积分的解释被后人普遍采纳；柯西对定分作了最系统的开创性工作；他把定积分定义为和的“ 极限” ；在定积分运算之前,强调必需确立积分的存在性；他利用中值定理第一严格证明白微积分基本定理； 通过柯西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作,使数学分析的基本概念得到严格的论述；从而终止微积分二百年来思想上的纷乱局面,把微积分及其推广从对几何概念,运动和直觉明白的完全依靠中解放出来,并使微积分进展成现代数学最基础最巨大的数学学科；数学分析严谨化的工作一开头就产生了很大的影响；在一次学术会议上柯西提出了级数收敛性理论；会后,拉普拉斯赶忙赶回家中,依据栖西的严

23、谨判别法,逐一检查其巨著天体力学中所用到的级数是否都收敛；栖西在其它方面的争论成果也很丰富；复变函数的微积分理论就是由他创立的；在代数方面、理论物理、光学、弹性理论方面,也有突出奉献；柯西的数学成就不仅辉煌,而且数量惊人；柯西全集有27 卷,其论著有800 多篇；在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家；他的光辉名字与很多定理、准就一起牢记在当今很多教材中；作为一位学者,他是思路灵敏,功绩卓著；但他常忽视青年人的制造；例如,由于柯西“ 失落”了才华出众的年轻数学家阿贝尔与伽罗华的开创性的论文手稿,造成群论晚问世约半个世记； 1857 年 5 月 23 日柯西在巴黎病逝；他临终的一名名言“ 人总是要死的,但是,他们的业绩永存” 长期地叩击着一代又一代学子的心扉；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -