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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载31.3 空间向量的数量积运算【课标要求】1把握空间向量夹角的概念及表示方法,把握两个向量的数量积概念、性质和运算方法及运算规律2把握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中一些简洁的问题【核心扫描】1空间向量的数量积运算重点 2利用空间向量的数量积求夹角及距离难点 3空间向量数量积的运算律易错点 自学导引1空间向量的夹角定义已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作OA a,OB b,就 AOB 叫做向量 a,b 的夹角记法 范畴a,b0, 当 a, b 时, ab 2想一想：a, b与 b,a相等吗？ a,b与
2、 a, b呢？提示a,b b,a, a, b a,b2空间向量的数量积1定义：已知两个非零向量a,b,就 |a|b|cos a, b叫做 a,b 的数量积,记作ab. 2数量积的运算律数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 安排律a bab abba abcabac3数量积的性质名师归纳总结 两个向量数1如 a,b 是非零向量,就ab. ab0. 第 1 页,共 5 页量积的性质2如 a 与 b 同向,就 ab|a| |b|；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如反向,就 ab |a| |b|. 特殊地： aa|a| 2 或|a|aaa
3、b |a|b|. 3如 为 a,b 的夹角,就cos 4|a b|a| |b|. 想一想：类比平面对量,你能说出 ab 的几何意义吗？提示 数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos 的乘积名师点睛1空间向量夹角的懂得1任意两个空间向量均是共面的,故空间向量夹角范畴同两平面对量夹角范畴一样,即 0, ；2空间向量的夹角在0 , 之间,但空间两异面直线夹角在0, 2内,利用向量求两异面直线夹角时留意转化,两异面直线的夹角余弦值肯定为非负数2平面对量与空间向量数量积的关系由于空间任意两个向量都可以转化为共面对量,所以空间两个向量的夹角的定义和取值范畴、两个
4、向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面对量相同3空间向量数量积的应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的很多问题,如距离、 夹角、垂直等问题的求解,都可借助于向量的数量积运算解决1ab |a|b|cosa,b,就 cos a,bab |a|b|,可用来求两个向量的夹角2ab. ab0,用于判定两个向量的垂直3|a| 2 aa,用于对向量模的运算,求两点间的距离或线段的长度留意：数量积运算不满意消去律如 a,b, cb 0为实数,就abbc. ac；但对于向量就不正确,即ab bcb 0. / ac.数量积运算不满意结合律数量积的运算只适合
5、交换律,安排律及数乘结合律,但不适合乘法结合律,即 abc 不肯定等于 abc这是由于 abc 表示一个与 c 共线的向量,而 abc表示一个与 a 共线的向量,而 c与 a 不肯定共线名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载问题一：利用数量积求两点间的距离例 1 已知向量ab,向量 c与a,b的夹角都是 60 ,且a,1b2 ,c3 ,试求（1）abc2（2）ab思路：利用向量的平方等于模长的平方求解,老师先复习平面对量的基本学问,然后引导同学这 两个例题,第一个略微对下答案,其次个引导同学如何将三个向
6、量的平方绽开,中心思想就是将 前面两个看成一个数,然后利用完全平方和绽开 . 变式练习如下列图,平行六面体ABCDA 1B1C1D 1 中,AB1,AD2,AA13,BAD90,BAA 1 DAA 160,求 AC1 的长 同学上黑板演练,老师公布答案 思路探究 利用 |AC1 | 2AC1 2AB AD AA1 2 求解解 由于 AC1 AB AD AA 1 ,所以 AC12 AB AD AA1 2AB 2AD 2AA1 22ABAD ABAA1 ADAA 1由于 BAD90, BAA1 DAA 160,所以 AB ,AD 90,AB ,AA1 AD ,AA 1 60其基本思路是所以 AC1
7、2 14921 3 cos 60 2 3 cos 60 23. 由于 AC12 |AC1| 2,所以 |AC1| 223,|AC1|23,即 AC123. 规律方法利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,先挑选以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|aa求解即可问题二：求数量积例 2：如下列图,已知正四周体O-ABC 的棱长为1,求OAOB、AB OC .（第一个请同学回答,其次个引导同学发觉直接找两个向量的夹角是行名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 -
8、- - - - - - - - 不通的, 所以要将两个向量用其他向量表示,学习必备欢迎下载最好是化成同起点的已知向量,将未知向量转化成已知向量,更能方表找到夹角）1解：OA OB OA OB cos 602AB OB OA ,AB OC OB OA OC 0变式变式练习 :已知长方体 ABCD A1B1C1D1 中, ABAA12,AD 4,F 为 A1D1 的中点,试计算：BD AF（同学自主完成,喊通同学黑板演练,适当讲评,总结一般在六面体中其他向量基本装化成同起点的三条棱为基本向量）探究：利用数量积求夹角如下列图,已知S 是边长为1 的正三角形ABC 所在平面外一点,且SASBSC1,M
9、、 N 分别是 AB、SC 的中点,求异面直线SM 与 BN 所成角的余弦值 （同学自主探究,引导同学发觉求夹角可以转化成求数量积和求模长两个问题）名师归纳总结 解设SA a,SB b,SC c,就 |a|b| |c|1,且 a,b,c 三个向量两两夹角均为60,第 4 页,共 5 页abbcac1 2. SMBN 1 2SA SB SN SB 1 2a b 1 2cb 1 21 2acab1 2bc b 2 1 21 2 1 21 21 2 1 21 1 2. cos SM ,BN SMBN|SM | |BN1 22 3. 3 23 2|所以,异面直线SM 与 BN 所成角的余弦值为2 3.
10、 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载思路探究 可先求向量 OA 与BC 的夹角,再依据异面直线的夹角与向量的夹角之间的关系得出最终结果规律方法在异面直线上取两个向量,就两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题需留意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补六小结（ 1）夹角、空间向量数量积、运算律（2）夹角、距离的求法 五 课后巩固 : 1.已知空间四边形 ABCD ,求 ABCDBCADCABD 的值2.空间四边形 OABC 中, OBOC, AOB AOC3,就 cos OA ,BC 的值为 C1D0 AC 折起,使A 1B22223 如下列图,在平行四边形ABCD 中, AB AC1, ACD 90,将它沿对角线AB 与 CD 成 60角,求 B、D 间的距离名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页