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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 初三（下）相像三角形相像三角形经典习题例 1 从下面这些三角形中,选出相像的三角形:2,求AEF 与CDF 的周长的比,假如SAEF6 cm2,求SCDF例 2已知：如图,ABCD 中,AE: EB1例 3如图,已知ABD ACE ,求证：ABCADE 例 4 以下命题中哪些是正确的,哪些是错误的？（1）全部的直角三角形都相像（2）全部的等腰三角形都相像（3）全部的等腰直角三角形都相像（ 4）全部的等边三角形都相像例 5如图,D 点是ABC的边 AC 上的一点, 过 D 点画线段 DE,使点 E 在ABC的边上, 并且点 D、点 E 和ABC的
2、一个顶点组成的小三角形与ABC相像尽可能多地画出满意条件的图形,并说明线段DE 的画法例 6如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30 米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约 12 个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约 60 厘米,求电线杆的高第 1 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 初三（下）相像三角形例 7 如图,小明为了测量一高楼1 5.MN 的高,在离N 点 20m 的 A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到 C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,如ACm,小明的眼睛离地面的高
3、度为1.6m,请你帮忙小明运算一下楼房的高度（精确到0.1m）例 8 格点图中的两个三角形是否是相像三角形,说明理由例 9依据以下各组条件,判定ABC和ABC是否相像,并说明理由：（1）AB3.5 cm,BC25.cm,CA4 cm,AB245.cm,BC17 .5 cm,CA28 cmDCAC（2）A35,B104,C44,A35（3）AB3 ,BC26.,B48,AB15.,BC1 .,3B48例 10如图,以下每个图形中,存不存在相像的三角形,假如存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的依据例 11 已知：如图,在ABC中,ABAC,A36,BD是角平分线, 试利用三角形相像的关系说
4、明AD2第 2 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 初三（下）相像三角形例 12 已知 ABC 的三边长分别为 5、12、13,与其相像的 A B C 的最大边长为 26,求 A B C 的面积 S例 13 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来沟通各自的测量方法小芳的测量方法是：拿一根高 3.5 米的竹竿直立在离旗杆 27 米的 C 处（如图）,然后沿 BC 方向走到 D 处,这时目测旗杆顶部 A 与竹竿顶部 E 恰好在同始终线上,又测得 C、D 两点的距离为 3 米,小芳的目
5、高为 1.5 米,这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由例 14如图,为了估算河的宽度, 我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B 和 C,使ABBC,然后再选点E,使ECBC,确定 BC 与 AE 的交点为 D,测得BD120米,DC60米,EC50米,你能求出两岸之间 AB 的大致距离吗？例 15如图,为了求出海岛上的山峰AB 的高度,在D 和 F 处树立标杆DC 和 FE ,标杆的高都是3 丈,相隔 1000 步（1 步等于 5 尺）,并且 AB、CD 和 EF 在同一平面内,从标杆DC 退后 123 步的 G 处,可看到山峰A 和标杆顶端C 在始终
6、线上,从标杆FE 退后 127 步的 H 处,可看到山峰A 和标杆顶端E 在始终线上求山峰的高度AB 及它和标杆CD的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例 16如图,已知ABC 的边 AB23, AC2,BC 边上的高 AD3 （1）求 BC 的长；（2）假如有一个正方形的边在AB 上,另外两个顶点分别在AC,BC 上,求这个正方形的面积第 3 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 初三（下）相像三角形相像三角形经典习题答案例1解、相像,、相像,、相像BACA,就例2解ABCD 是平行四边形,AB/CD,
7、ABCD,AEF CDF ,又AE: EB1 :2,AE: CD1:3,AEF 与CDF 的周长的比是1：3又SAEF12,SAEF6 cm2,SCDF54cm2SCDF3例 3 分析由于ABDACE,就BADCAE,因此BACDAE,假如再进一步证明ADAE问题得证证明ABD ACE ,BAD CAE又 BAC BAD DAC,DAE DAC CAE,BAC DAEABD ACE ,AB ACAD AE在 ABC和 ADE中,BAC ADE , AB AC,ABCADEAD AE例 4分析（1）不正确,由于在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的外形不同（2）也不正确,等腰三角
8、形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的外形也不同（3）正确设有等腰直角三角形ABC 和ABC,其中CC90,ABC ABC就AA45,BB45,设ABC 的三边为 a、b、c,ABC的边为a、b、c,就ab,c2a,ab,c2a,ab,ca,ABC CABCabcaABC 与AB都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此（4）也正确,如答：（1）、（2）不正确（ 3）、（4）正确例 5解：画法略例 6分析此题所表达的内容可以画出如下图那样的几何图形,即DF60厘米0 . 6米,GF12厘米0 . 12米,CE30米,求 BC由于ADF AEC,DFAF,又ACF ABC,DFGF BC,从
9、而可以求出BC 的长ECACECAECDFAF解AEEC,DF/EC,ADFAEC,DAFEAC,ADFECAC又GFEC,BCEC,GF/BC,AFGACB,AGFABC,AGF ABC ,AFGF,DFGFACBCECBC第 4 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 初三（下）相像三角形又 DF 60 厘米 0 . 6 米,GF 12 厘米 .0 12 米,EC 30 米,BC 6 米即电线杆的高为 6 米例 7分析 依据物理学定律：光线的入射角等于反射角,这样,BCA与 MNA 的相像关系就明确了解
10、由于 BC CA , MN AN , BAC MAN,所以 BCA MNA 所以 MN : BC AN : AC,即 MN : 1 6. 20 : 1 5.所以 MN 1 6. 20 1 5. 21 3.（m）说明 这是一个实际应用问题,方法看似简洁,其实很奇妙,省却了使用仪器测量的麻烦例 8分析 这两个图假如不是画在格点中,那是无法判定的实际上格点无形中给图形增加了条件长度和角度解 在格点中 DE EF , AB BC,所以 E B 90,又 EF ,1 DE 2 , BC 2 , AB 4所以 DE EF 1所以 DEFABCAB BC 2说明 遇到格点的题目肯定要充分发觉其中的各种条件,
11、勿使遗漏例 9解（1）由于 AB 3.5cm 1, BC 2.5cm 1, CA 4cm 1,所以 ABCA B C；A B 24.5cm 7 B C 17.5cm 7 C A 28cm 7（2）由于 C 180 A B 41,两个三角形中只有 A A,另外两个角都不相等,所以 ABC与A B C 不相像；（3）由于 B B , AB BC 2,所以 ABC 相像于 A B CA B B C 1例 10解（1）ADE ABC 两角相等；（2）ADE ACB 两角相等；（3）CDECAB 两角相等；（ 4）EABECD 两边成比例夹角相等；（5）ABD ACB 两边成比例夹角相等；（ 6）ABD
12、 ACB 两边成比例夹角相等例 11分析 有一个角是 65 的等腰三角形,它的底角是 72 ,而 BD 是底角的平分线,CBD 36,就可推出ABCBCD ,进而由相像三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系证明 A 36 , AB AC,ABC C 72又 BD 平分 ABC ,ABD CBD 36AD BD BC,且 ABCBCD,BC : AB CD : BC,BC 2 AB CD,AD 2 AC CD说明（1）有两个角对应相等,那么这两个三角形相像,这是判定两个三角形相像最常用的方法,并且依据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边（2）要说明线段的乘积式abcd,或平方式a2bc,一般
13、都是证明比例式,ad,或ba,再依据cbac比例的基本性质推出乘积式或平方式例 12 分析由ABC 的三边长可以判定出ABC 为直角三角形,又由于AABC ABC,所以ABC也是直角三角形,那么由ABC的最大边长为26,可以求出相像比,从而求出BC的两条直角边长,再求得ABC的面积解 设 ABC 的三边依次为,BC 5 , AC 12 , AB 13,就 AB 2BC 2AC 2,C 90又ABC A B C,C C 90BC AC AB 13 1,B C A C A B 26 2又 BC 5 AC 12,B C 10 , A C 24S 1A C B C 1 24 10 1202 2例 13
14、分析 判定方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的学问能否求出旗杆的高按这种测量方法,过 F作 FG AB 于 G,交 CE 于 H,可知 AGF EHF ,且 GF、HF、EH 可求,这样可求得 AG,故旗杆 AB 可求解 这种测量方法可行理由如下：设旗杆高 AB x过 F 作 FG AB 于 G,交 CE 于 H（如图）所以 AGF EHF 由于 FD 1 5. , GF 27 3 30 , HF 3,所以 EH .3 5 1 5. 2 , AG x 1 5.第 5 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - -
15、- - 初三（下）相像三角形由 AGF EHF ,得 AG GF,即 x .1 5 30,所以 x 1 . 5 20,解得 x 21 . 5（米）EH HF 2 3所以旗杆的高为 21.5 米说明 在详细测量时,方法要现实、切实可行例 14. 解：ADB EDC , ABC ECD 90,ABD ECD ,AB BD, AB BD EC 120 50 100（米）,答：两岸间 AB 大致相距 100 米EC CD CD 60例 15. 答案：AB 1506 米,BD 30750 步,（留意：KC DG AK , KE FH AK）CD FE例 16. 分析： 要求 BC 的长,需画图来解,因
16、AB、AC 都大于高 AD,那么有两种情形存在,即点 D 在 BC 上或点 D 在BC 的延长线上,所以求 BC 的长时要分两种情形争论求正方形的面积,关键是求正方形的边长解：（1）如上图,由 ADBC,由勾股定理得 BD 3,DC 1,所以 BCBD DC314如下图,同理可求 BD3,DC 1,所以 BCBD CD312（2）如下图, 由题目中的图知 BC 4,且 AB 2 AC 2 2 3 2 2 2 16,BC 216,AB 2AC 2BC 2所以 ABC 是直角三角形由 AEGF 是正方形,设 GFx,就 FC2x,GF AB,GFFC,即2x322xx33,S正方形AEGF 3321263ABAC如下图,当BC2,AC2, ABC 是等腰三角形,作CPAB 于 P, AP1 AB 23,在 Rt APC 中,由勾股定理得CP1,GH AB, CGH CBA,x1xx,x1233S正方形GFEH123321564832322121因此,正方形的面积为1263或315648121第 6 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页