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1、美博教育一对一讲义教师：学生：日期：星期：时段：课题正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式学习目标与分析1、理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念2、会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式学习重点1. 正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值；2. 掌握诱导公式，包括推导、记忆、应用（求值、化简等）；学习方法理解记忆法学习内容与过程教师分析与批改1、单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。单位长：可以是 1cm 、1m 、1km 、1 光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。2、任意角的正、余弦函数定义在直角坐标系中，给定单位圆
2、，对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v) ，则交点 P的纵坐标 v 叫作角的正弦函数，记作v=sin ; 点 P 的横坐标 u 叫作角 的余弦函数 , 记作 u=cos. 通常，用 x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y 表示函数值，因此定义任意角的三角函数y=sinx 和 y=cosx, 定义域为 R ，值域为 -1 ，1 。设点 P（a,b ）是角 终边上除原点之外的任意一点，记22rab则定义sin,cos.barr更具有一般性。3、三角函数值的符号根据定义，三角函数值的符号仅与点P的纵、横坐标的符号有关。 sin 在一、二象限为正，
3、三、四象限为负；cos在一、四象限为正，二、三象限为负. 轴线角的正余弦函数值也有符号。 4 、单位圆与周期性在单位圆中找到角,2,4666等与单位圆的交点， 说明： （1） 终边没变；（2）交点没变；（3）交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没变。即sin(4)sin(2)sin,cos(4)cos(2)cos.666666从而说明终边相同的角的正弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等。即sin(2)sin,.cos(2)cos ,.kxx kZkxx kZ说明：对于任意一个角x，每增加2的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变。所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的
4、变化呈周期性变化的。这种随自变量的变化函数值呈周期性变化的函数叫做周期函数。特别指出，周期性不是三x y P(a,b) O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 角函数特有的，一般函数也有周期性。周期函数的自变量不一定是角。2是sin,yx xR的周期，则2,0kkZ k都是它的周期，并且它的所有周期中有一个最小的正数2，称2为它的最小正周期。 同理2也是cos ,yx xR的最小正周期。有的周期函数没有最小正周期，如
5、( )2,.f xxR任意一个正数都是它的周期，但没有一个最小的正数。周期函数的严格定义：一般地，对于函数( )f x，如果存在非零常数 T , 对定义域内的任意一个 x值，都有()( )f xTf x，则称( )f x为周期函数， T 为它的一个周期。5. 诱导公式1、角与的正、余弦函数关系sin()sin,cos()cos.2、角与的正、余弦函数关系sin()sin,cos()cos .sin()sin,cos()cos.3、角与的正、余弦函数关系sin()sin,cos()cos .也可以由 1、2 两组公式推出sin()sin()( sin)sin,cos()cos()cos.4、角与
6、2的正、余弦函数关系sin()cos,cos()sin.225、角与2的正、余弦函数关系sin()cos,cos()sin.226、任意角的正、余弦函数的诱导公式（1）2ksin(2)sin ,cos(2)cos .()kkkZ（2）sin()sin,cos()cos.（3）2sin(2)sin,cos(2)cos（4）xyo P (x,y)P1 (-x,-y)xyo P (x,y)P1 (x,-y)P2 (-x,y)P (x,y)Mxyo P1 (-y, x)M1 P (x,y)yMxo P1 (y, x)M1 y=x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
7、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - sin()sin,cos()cos .sin()sin,cos()cos .（5）2sin()cos,cos()sin.22sin()cos,cos()sin.22(6) 3233sin()cos ,cos()sin.2233sin()cos ,cos()sin .222k、2、记忆规律：“函数名不变，符号看象限” 。即它们的正、余弦函数值等于的同名三角函数值，加上把看成为锐角时，对应的三角函数值的符号。如把看成锐角时，2终边在第四象限，其余弦值为正，函
8、数名称不变，所以cos(2)cos2，32记忆规律：“函数名改变，符号看象限” 。即它们的正、余弦函数值等于的“余”名三角函数值，加上把看成为锐角时，对应的三角函数值的符号。 “余”名： “正则余，余则正”。如把看成锐角时，2终边在第二象限，其余弦值为负，函数名称改变，所以cos()sin2。7、诱导公式的作用（1）可把任意角的三角函数值转化为0 2的三角函数值求出。一般地：负角化正角（） ， 再化成为0 2（ 2k） ， 再化成为0 2求出。 第二象限用，第三象限用，第四象限用2.角函数2k22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantant
9、antan/ / 六组诱导公式统一为“()2kkZ” ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 记忆口诀： 奇变偶不变，符号看象限. . 5同角三角函数基本关系：22sincos1（平方和关系）；sintancos（商数关系） . 1、下列各式不正确的是（）Asin （180）=sin Bcos（）=cos（）C sin （360）=sin Dcos（）=cos（）2、若 sin （）sin （）=m , 则 sin （
10、3）2sin （2）等于（） A 23m B32m C23m D32m3、619sin的值等于（）A21B21C23D234、如果).cos(|cos|xx则 x的取值范围是（）A)(22,22ZkkkB)()223,22(ZkkkC)(223,22Zkkk D)()2,2(Zkkk5已知函数1tansin)(xbxaxf，满足.7)5(f则)5(f的值为（）A5 B5 C 6 D 6 6、sin34cos625tan45的值是 ( ) A43B43C43D 43名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
11、- - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7设,1234tana那么)206cos()206sin(的值为 ( ) （）A211aaB211aaC 211aaD 211aa8若)cos()2sin(，则的取值集合为 ( ) （）A42|ZkkB42|ZkkC|ZkkD 2|Zkk9. 求值： sin160 cos160（tan340cot340 ）= 10. 若 sin （125）= 1213 , 则 sin （55）= 11.cos7cos27cos37cos47cos57cos67 = 12. 已知, 1)sin(则)32sin()2sin( .
12、13、已知3)tan(, 求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2aaaa的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 14、若 cos 23，是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos() cos(4)的值15、设sin,(0)( )(1)1,(0)xxf xf xx和1cos,()2( )1(1)1,()2xxg xg xx求)43()65()31()41(fgfg的值. 16设)(
13、xf满足)2|(|cossin4)(sin3)sin(xxxxfxf, （）求)(xf的表达式；（2）求)(xf的最大值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 诱导公式参考答案一、选择题ABAC BABC 二、填空题9.1 10、131211、012、0 三、解答题13、7 14 、2515、22)41(g，5312()1,( )sin()1,6233gf1)4sin()43(f，故原式 =316、解析： （）由已知等式(sin)3 (sin)4sincosfxfxxx得xxxfxfcossin4)sin(3)(sin由，得 8xxxfcossin16)(sin，故212)(xxxf（）对01x，将函数212)(xxxf的解析式变形，得2242( )2(1)2f xxxxx22112()24x，当22x时，max1.f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -