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1、2022-7-26余金耀1圆圆的基本性质的基本性质圆心圆心半径半径2.不在同一直线上的不在同一直线上的三个三个点确定一个圆。点确定一个圆。圆圆 确定位置确定位置 确定大小确定大小1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 你发现你发现点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由什么是由什么来决定的呢？来决定的呢？如果圆的半径为如果圆的半径为r，点到圆心的距离为点到圆心的距离为d，则：，则： 点在圆上点在圆上 d=r 点在圆内点在圆内 drOABC点在圆外点在圆外BPCBAC点在圆上点在圆上BPC=BACOCAB经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的的外接圆外接圆，外接圆的圆心
2、叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的外心外心，三角形叫做圆的，三角形叫做圆的内接三角形内接三角形。问题问题1：如何作三角形的外接：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？圆？如何找三角形的外心？问题问题2：三角形的外心一定：三角形的外心一定 在三角形内吗？在三角形内吗？OCABC90OCABABC是锐角三角形是锐角三角形OCABABC是钝角三角形是钝角三角形垂直于弦的直径及其推及其推论论圆是圆是中心对称图形中心对称图形, ,圆还具有圆还具有旋转不变性旋转不变性. .想一想想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？两侧半圆会有什么关系？性质：性质
3、：圆是圆是轴对称图形轴对称图形，任何一条，任何一条直径直径所在的直线都是它的所在的直线都是它的对称轴对称轴。观察右图，有什么等量关系？观察右图，有什么等量关系？OCDABOCDABOBCDAEAO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC弧BC, AEBE 。AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。OBCDAE垂直于弦的直径垂直于弦的直径平平分分这条这条弦弦，并且，并且平分平分弦所对弦所对的两条的两条弧弧。判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件注意
4、：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不（直径，垂直于弦）缺一不可！可！OABE若圆心到弦的距离用若圆心到弦的距离用d表示，半径用表示，半径用r表示，表示，弦长用弦长用a表示，这三者表示，这三者之间有怎样的关系？之间有怎样的关系？2222adrOABCDAC、BD有什么关系？有什么关系？ACBD依然成依然成立吗立吗？OABCDOABCDFEEA_, EC=_。FDFBOABCD：_ AC=BD.OA=OBOABCD：_ AC=BD.OC=OD 如图，如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上延长线上一点，一点，PAAB2，PO5，求求 O的半径。的半径。MAPBO关于弦的问题，常关于弦的问题，常常
5、需要常需要过圆心作弦过圆心作弦的垂线段的垂线段，这是一，这是一条非常重要的条非常重要的辅助辅助线线。圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦长半径、弦长构成构成直直角三角形角三角形，便将问，便将问题转化为直角三角题转化为直角三角形的问题。形的问题。画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。题设题设结论结论直线直线CD经过圆心经过圆心O直线直线CD垂直弦垂直弦AB直线直线CD平分弦平分弦AB直线直线CD平分弧平分弧ACB直线直线CD平分弧平分弧AB想一想：如果将题设和想一想：如果将题设和结论中的结论中的5 5个条件适当互个条件适当互换，情况会怎样？换，情
6、况会怎样？ OBCDAE（1）平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径的直径垂直于弦垂直于弦，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（2 2）弦的垂直平分线弦的垂直平分线经过圆心经过圆心，并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦垂直平分弦并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧。OBCDAE如图如图，CD为为 O的直径的直径，ABCD，EFCD，你能得到什么结论？你能得到什么结论？圆的两条圆的两条平行弦平行弦所夹的弧相等所夹的弧相等。FOBAECD圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆的性质圆的性质 圆
7、是轴对称图形，每一条直径所圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。在的直线都是对称轴。 圆是以圆心为对称中心的圆是以圆心为对称中心的中心对中心对称图形。称图形。 圆还具有圆还具有旋转不变性旋转不变性，即圆绕圆，即圆绕圆心旋转任意一个角度心旋转任意一个角度，都能与，都能与原来的图形重合。原来的图形重合。如图，如图，AOBAOB，OCAB，OCAB。猜想：猜想：弧弧AB与弧与弧AB，AB与与AB，OC与与OC之间的关系，并证明你的猜想。之间的关系，并证明你的猜想。定理定理 相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧弧相等，所对的相等，所对的弦弦相相等，所对的弦的等，所对的弦的弦心弦心距距相等。
8、相等。在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，OABCABC圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弧相等， 圆心角圆心角所对的弦相等，所对的弦相等， 圆心角圆心角所对弦的弦心距相等。所对弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等的其余各组量都分别相等。在同圆或等圆中在同圆或等圆中( (前提前提) )圆心角相等圆心角相等（条件）（条件）1圆心角圆心角1弧弧OABCDn圆心角圆心角n弧弧圆心角的度数圆心角的度数和它所对的弧和它所对的弧
9、的度数相等。的度数相等。圆周角圆周角OBACOBCAOCABOCABOCABOCAB化化归归化化归归分类讨论分类讨论完全归纳法完全归纳法OCAB1、已知、已知AOB75，求：求： ACBOCAB2、已知、已知AOB120，求：求： ACBODBAC3、已知、已知ACD30，求：，求： AOBOBAC4、已知、已知AOB110，求：求： ACB推论推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。对的圆心角的一半。 也可以理解为：一条弧所对的圆心角也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；是它所对的圆周角的二倍；圆周角的圆周角的度数等于它所对的
10、弧的度数的一半度数等于它所对的弧的度数的一半。 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？来呢？OBADEC如图，比较如图，比较ACBACB、ADBADB、AEBAEB的大小的大小同弧所对的圆同弧所对的圆周角相等周角相等如图，如果弧如图，如果弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么E E和和F F是什么关系？反过来呢？是什么关系？反过来呢？DCEBFAO等弧所对的圆周角相等；在等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对同圆中，相
11、等的圆周角所对的弧也相等的弧也相等DCEO1BFAO2如图，如图，O O1 1和和O O2 2是是等圆，如果弧等圆，如果弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么E E和和F F是是什么关系？反过来呢？什么关系？反过来呢？等圆也成立等圆也成立推论推论1 1同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。弧相等。思考：思考：1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”的条件能否去掉？的条件能否去掉？2 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆心角、两条弧、两条弦、两
12、条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。其余各组量也相等。OBACDOCBAFED关于等积式的证明关于等积式的证明如图，已知如图，已知ABAB是是O O的弦，半径的弦，半径OPABOPAB，弦，弦PDPD交交ABAB于于C C，求证：求证：PAPA2 2PCPCPDPDCDPBAO经验：经验：证明等积式，通常利用相似；证明等积式，通常利用相似；找角相等，要有找同弧或等弧找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；所对的圆周角的意识；OBADEC推论推论2 2半圆（或直径）所对的圆周角半圆（或直径）所对的圆周角是是9090；9
13、090的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。推论推论3 3如果三角形一边上的中线等于如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。角三角形。 什么时候圆周角是直角？什么时候圆周角是直角？反过来呢？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？什么性质？反过来呢？ABC的三个顶点在半径为的三个顶点在半径为2cm的圆上，的圆上，BC=2 cm，求求A的度数。的度数。3OD A圆中圆中多解多解问题问题半径为半径为2.52.5的的OO中，直径中，直径ABAB的不同侧有的不同侧有定点定点C C和动点和动点P P已知
14、已知BC BC ：CACA4 : 34 : 3，点点P P在上运动，过点在上运动，过点C C作作CPCP的垂线，与的垂线，与PBPB的延长线交于点的延长线交于点O O( (l l) )当点当点P P与点与点C C关于关于ABAB对称时，求对称时，求CQCQ的长；的长；(3）当点）当点P运动到什么位置时，运动到什么位置时，CQ取到取到最大值？求此时最大值？求此时CQ的长的长(2）当点）当点P运动到弧运动到弧AB的中点时，求的中点时，求CQ的长；的长； 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线问题（问题（1）：你能找）：你能找出图中相等的圆周出图中相等的圆周角
15、和相等的线段吗角和相等的线段吗?问题（问题（2）：图中有哪些）：图中有哪些相似的三角形？相似的三角形？问题（问题（3）：若点）：若点C在在圆上上运动（不和圆上上运动（不和A，B重合），在此运动重合），在此运动过程中，哪些线段是过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发不变的，哪些线段发生了改变？生了改变？OPDCBA 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线问题（问题（4）：若弦）：若弦AB= , BAD=30, 在点在点C运动的过程中运动的过程中,四边形四边形ADBC的最大面积为的最大面积为多少多少?此时此时CAD等等于多少度于多少度?3OPDCBA如图，弦如
16、图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB的平分线的平分线（5）：若弦）：若弦AB= , BAD=30, 在点在点C运动的过程中运动的过程中, 当当CAD等于多少度时等于多少度时,四边形四边形ADBC是梯形是梯形?证明你的理由证明你的理由3OPDCBA2 2、如图，在、如图，在ABCABC中，中，A A4040 O是是ABCABC的外心，则的外心，则 BOCBOC . .8080如果如果O为内心，为内心，BOCBOC110110C CA AB BO O1、判断：三点确定一个圆（）、判断：三点确定一个圆（）练习练习例题讲解例题讲解 例例1 1、如图，已知在、如图，已知在O O中，弦中，弦ABAB的长的长为为8 8厘米，圆心厘米，圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3 3厘米，厘米，求求O O的半径。的半径。COBA 例例2 2、如图，在、如图，在O O中，中，AC=BDAC=BD， (1)(1)图中有哪些相等关系？图中有哪些相等关系？ (2)(2)如果如果1=451=45，求，求2 2的度数的度数。 (3)(3)如果如果ADAD是是O O的直径，的直径，1=451=45求求BDABDA的度数的度数21ODACB