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1、高考数学专题复习 不等式的解法及其应用一、考点要求1熟练掌握一元二次不等式、含有绝对值的不等式、分式不等式、高次不等式等简单不等式的解法解一元二次不等式或，一要注意字母的符号；二要讨论的符号；三要讨论对应方程的两根，的大小解分式不等式，一般是将一边转化为零，采用数轴 标 根 法可简捷地求得其解集解含有绝对值的不等式，基本思路是去掉绝对值，应针对其不同的形式，采用适当的方法：分类讨论去绝对值；两边平方去绝对值；借助不等式的性质，或去绝对值通过解不等式体现等价转化、分类讨论、数形结合的思想方法2理解不等式3会用不等式的知识分析和解决带有生产和生活意义的应用问题，或在相关学科中的其他数学问题二、基础
2、过关1已知 非负实数，满足0且0，则的最大值是（ ） A B C D解：画出图像，由线性规划知识可得，选D2设时，不等式成立，则正数的取值范围是（ ）A B C D以上都不对解：设，则，由题 可知， ，而与矛盾，舍去由 ，3不等式0的解集为（ ）A B或C或 D解：0，则0或，或，故选 C4若 关于的不等式在R上 恒 成立，则的最大值是（ ）A0 B C D2解：，只需 恒成立，显然时，1，故5设P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1，若t在区间-2，2上变动时，P恒为正值，则x的变化范围是 分析：要求x的变化范围，显然要依题设条件寻找含x的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t在
3、区间-2，2上变动时，P恒为正值”的含义你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考在所给数学结构中，右边的式子中含两个字母x、t，t是在给定区间内变化的，而求的是x的取值范围，能想到什么？解：设P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1因为 P=f(t)在top直角坐标系内是一直线，所以t在区间-2，2上变动时，P恒为正值的充要条件是 即解得log2x3或log2x，即的取值范围是说明：改变看问题的角度，构造关于t的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题6关于的不等式0的解集是 分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用数轴
4、 标 根法解不等式的基本步骤本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为，和比较与及3的大小，定出分类方法解：原不等式化为：（1）当时，由图1知不等式的解集为；（2）当；（3）当三、典型例题例1 解关于的不等式： 分析：本例 主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集解：当时，不等式可转化为 即当时，不等式可转化为 即不等式的解集为：例2 己知三个不等式：； ； (1) 若同时满足、的值也满足，求m的取值范围；(2) 若满足的值至少满足和中的一个，求m的取
5、值范围分析：本 例 主 要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足、的值的满足的充要条件是：对应的方程的两根分别在和内不等式和与之对应的方程及函数图像有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系解：记的解集为A，的解集为B，的解集为C解得A=（，3）；解得B=，（1）因同时满足、的值也满足，C， 设，由的图像可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足 即 (2) 因满足的值至少满足和中的一个，而，方程小根大于或等于，大根小于或等于4， 说明：同时满足的x值满足的充要条件是：对应的方程2x+=0的两根分别在，
6、和3，+)内，因此有f(0)0且f(3)0，否则不能对AB中的所有x值满足条件不等式和与之对应的方程及图像是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系例3 已知奇函数在上有定义，在上是增函数，又知函数，集合恒有，恒有，求分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题解：奇函数在上是增函数，在上也是增函数，满足的条件是即，即，也即 令，则，则法1 （变量分离法）对 恒成立，设，只需大于的最大值即可，法2 （二次函数在闭区间上的最值）设，01， 要使对 恒成立，只需使在内的最大值小于0即可10 当0即时，由不
7、等式组解得 20 当1时，解不等式组得230 当即时，解不等式组得综上：例4 已知对于自然数a，存在一个以a为二次项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根求证：a5分析：二次函数的几种特殊形式：一般式：f(x)=(a0)通常如果知道二次函数图像是的三点、，则选用一般式，系数，可由确定顶点式：这里是二次函数的顶点，两根式：这里、是方程的两个根，满足，证明：设二次三项式为：，aN且依题意知：0x1，0x1，且xx于是有f(0)0，f(1)0又为整系数二次三项式，所以f(0)=axx、f(1)=a(1)(1)为正整数故f(0)1，f(1)11 另一方面，且由xx知等号不同时成立，所以由、得，1
8、6又aN，所以a5说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键四、热身演练1函数，则不等式的解集是（ D ）A， B， C， D，解：（反函数、图像法），画出和，由图像可知，故选 D2（2003年 春 北京）若不等式的解集为，则实数等于（ ）A8 B2 C 分析 本题考查含有绝对值不等式的解法，含参数不等式的解法、分类讨论的思想等基础知识和方法解：法1 由，得当时，则， 无解，不成立当时，则， 得法2 根据不等式的解集与相应相方程有根的关系知方程|的根为，2，解得，故选C3不等式组的解集是（ ） A B
9、 C D解：选C4若不等式的解集为，则（ ）A BC D解：选D5已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数是减函数若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（ ）Aa1BC1a2Da1或a2解：命题为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式0，从而1；命题为真时， 若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题 若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1a2，故选C6已知是R上的偶函数，且在上是减函数，那么不等式的解集是（ ）A B或C D或解：选B7若的值域为R，则实数的取值范围是 解：（令，则能取到所有的实数是关键）要
10、使的值域为R，则必须有真数能取到一切的正数，即，即，或8当，时，不等式对任意实数 恒成立，则 解：（意分母 恒成立）分母 恒成立，原不等式等价于，即对R 时 恒成立，解得，9当R时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是 解：（变量分离，对于无理不等式，考纲是不作要求的，但04年各地高考卷中还是出现了一些简单的无理不等式，这里结合变量分离，让学生接触一次简单的无理不等式，结合这个问题向学生简单介绍一些简单无理不等式的解法）原不等式可转化为，对R时 恒成立，只须小于的最小值即可，1，即当时，不等式 恒成立，当1时，两边平方解得，即为的取值范围10若二次函数y=f(x)的图像经过原点，且12，3f(1
11、)4，则的取值范围是 分析：要求的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来即可求得的表达式，然后依题设条件列出含有的不等式(组)，即可求解解：因为y=f(x)的图像经过原点，所以可设y=f(x)=于是 即 （1）法1 (利用基本不等式的性质)不等式组（1）变形得 610，即610其中等号分别在与时成立，且与满足（1）的取值范围是6，10法2 (数形结合)建立直角坐标系，作 出不等式组（1）所表示的区域，如图中的阴影部分因为，所以表示斜率为2的直线系如图，当直线过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得的最小值6，最大值10即的
12、取值范围是：610法3 (利用方程的思想) 又，而12，34， 36 +得410，即610说明：（1）在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解： 将不等式组（1）变形得 解得而，812，所以 511同向不等式可以相加，但是一般情况只可使用一次，若多次使用往往会把范围扩大，如果一定需要多次使用，那么一定要注意范围是否被扩大，注意等号是否同时成立即可（2）对这类问题的求解关键一步是，找到的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高11求a，b的值，使得关
13、于x的不等式ax2+bx+a2-10的解集分别是：（1）；（2）；（3）分析：方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通解：（1）由题意可知，a0且，2是方程ax2+bx+a2-10的根，所以 解得 （2）由题意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以4a+2b+a2-1=0 又2是不等式ax2+bx+a2-10的解集，所以 解，得，（3）由题意知，a=0，b0，且是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以a=0，b=说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间
14、相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换12设函数f(x)=ax2+bx+c的图像与两直线y=x，y=，均不相交试证明对一切R都有分析：因为xR，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)证明：由题意知，a0设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则又二次方程ax2+bx+c=x无实根，故1=(b+1)2-4ac0，2=(b-1)2-4ac0(b+1)2+(b-1)2-8ac0，即2b2+2-8ac0，即，由可知当R时，即成立说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我
15、们就找到了一种有效的证明途径13如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽米，要求通行车辆限高米，隧道全长千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（1）若 最大拱高h为米，则隧道设计的拱 宽是多少？（2）若 最大拱高h不小于米，则应如何设计拱高h和 拱 宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？（半个椭圆的面积公式为=柱体体积为：底面积乘以高，本题结果均精确到米）分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力解：（1）建立如图所示直角坐标系，则，设椭圆方程为：，将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得，此时，故隧道 拱 宽 约为米（2）由椭圆方程得，99，当最小时有，此时，故当 拱高约为米，拱 宽约为米时，土方工程量最小第 11 页