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1、/-必修五解三角形和数列综合练习 解三角形一、选择题1在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2c2a2bc，则角A等于( )(A)(B)(C)(D)2在ABC中，给出下列关系式：sin(AB)sinCcos(AB)cosC其中正确的个数是( )(A)0(B)1(C)2(D)33在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a3，sinA，sin(AC)，则b等于( )(A)4(B)(C)6(D)4在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a3，b4，sinC，则此三角形的面积是( )(A)8(B)6(C)4(D)35在ABC中，三个内角A，B，C的对
2、边分别是a，b，c，若(abc)(bca)3bc，且sinA2sinBcosC，则此三角形的形状是( )(A)直角三角形(B)正三角形(C)腰和底边不等的等腰三角形(D)等腰直角三角形二、填空题6在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b2，B45，则角A_.7在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2，b3，c，则角C_.8在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b3，c4，cosA，则此三角形的面积为_.9已知ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，C(4，4)，则cosA_.10已知ABC的三个内角A，B，C满足2BAC，且AB1，B
3、C4，那么边BC上的中线AD的长为_.三、解答题11在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a3，b4，C60.(1)求c；(2)求sinB.12设向量a，b满足ab3，|a|3，|b|2.(1)求a，b；(2)求|ab|.13设OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(9，8)，若BDOA于D.(1)求高线BD的长；(2)求OAB的面积.14在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，求证：C为锐角.(提示：利用正弦定理，其中R为ABC外接圆半径)15如图，两条直路OX与OY相交于O点，且两条路所在直线夹角为60，甲、乙两人分别在OX、OY上的A、B两点，| OA |3km，
4、| OB |1km，两人同时都以4km/h的速度行走，甲沿方向，乙沿方向.问：(1)经过t小时后，两人距离是多少(表示为t的函数)？(2)何时两人距离最近？16在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.(1)求角B的值；(2)若b，ac4，求ABC的面积.数列一、选择题1在等差数列an中，已知a1a24，a3a412，那么a5a6等于( )(A)16(B)20(C)24(D)362在50和350间所有末位数是1的整数和( )(A)5880(B)5539(C)5208(D)48773若a，b，c成等比数列，则函数yax2bxc的图象与x轴的交点个数为( )(A)0(B)1(C)2(D)
5、不能确定4在等差数列an中，如果前5项的和为S520，那么a3等于( )(A)2(B)2(C)4(D)45若an是等差数列，首项a10，a2007a20080，a2007a20080，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是( )(A)4012(B)4013(C)4014(D)4015二、填空题6已知等比数列an中，a33，a10384，则该数列的通项an_.7等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和S20_.8数列an的前n项和记为Sn，若Snn23n1，则an_.9等差数列an中，公差d0，且a1，a3，a9成等比数列，则_.10设数列an是首项为1的正数
6、数列，且(n1)anaan1an0(nN*)，则它的通项公式an_.三、解答题11设等差数列an的前n项和为Sn，且a3a7a108，a11a44，求S13.12已知数列an中，a11，点(an，an11)(nN*)在函数f(x)2x1的图象上.(1)求数列an的通项公式； (2)求数列an的前n项和Sn；(3)设cnSn，求数列cn的前n项和Tn.13已知数列an的前n项和Sn满足条件Sn3an2.(1)求证：数列an成等比数列；(2)求通项公式an.14某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，
7、该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？15已知函数f(x)(x2)，数列an满足a11，anf()(nN*).(1)求an；(2)设bnaaa，是否存在最小正整数m，使对任意nN*有bn成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.16已知f是直角坐标系平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Qf(P).设P1(x1，y1)，P2f(P1)，P3f(P2)，Pnf(Pn1
8、)，.如果存在一个圆，使所有的点Pn(xn，yn)(nN*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn(xn，yn)的一个收敛圆.特别地，当P1f(P1)时，则称点P1为映射f下的不动点.若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(x1，y).(1)求映射f下不动点的坐标；(2)若P1的坐标为(2，2)，求证：点Pn(xn，yn)(nN*)存在一个半径为2的收敛圆.解三角形1B 2C 3D 4C 5B提示：5化简(abc)(bca)3bc，得b2c2a2bc，由余弦定理，得cosA，所以A60.因为sinA2sinBcosC，ABC180，所以sin(BC)2sinBcosC，即sinBcosCcos
9、BsinC2sinBcosC.所以sin(BC)0，故BC.故ABC是正三角形.二、填空题630 7120 8 9 10三、解答题11(1)由余弦定理，得c；(2)由正弦定理，得sinB.12(1)由ab|a|b|cosa，b，得a，b60；(2)由向量减法几何意义，知|a|，|b|，|ab|可以组成三角形，所以|ab|2|a|2|b|22|a|b|cosa，b7，故|ab|.13(1)如右图，由两点间距离公式，得，同理得.由余弦定理，得所以A45.故BDABsinA2.(2)SOABOABD229.14由正弦定理，得.因为sin2Asin2Bsin2C，所以，即a2b2c2.所以cosC0，
10、由C(0，)，得角C为锐角.15(1)设t小时后甲、乙分别到达P、Q点，如图，则|AP|4t，|BQ|4t，因为|OA|3，所以th时，P与O重合.故当t0，时，|PQ|2(34t)2(14t)22(34t)(14t)cos60；当th时，|PQ|2(4t3)2(14t)22(4t3)(14t)cos120.故得|PQ|(t0).(2)当t时，两人距离最近，最近距离为2km.16(1)由正弦定理，得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.所以等式可化为，即，2sinAcosBsinCcosBcosCsinB，故2sinAcosBcosCsinBsinCcosBsin(BC)，因为ABC
11、，所以sinAsin(BC)，故cosB，所以B120.(2)由余弦定理，得b213a2c22accos120，即a2c2ac13又ac4，解得，或.所以SABCacsinB13. 数列一、选择题1B 2A 3A 4D 5C二、填空题632n3 7180 8an 9 10an(nN*)提示：10由(n1)anaan1an0，得(n1)an1nan(an1an)0，因为an0，所以(n1)an1nan0，即，所以.三、解答题11S13156.12(1)点(an，an11)在函数f(x)2x1的图象上，an112an1，即an12an.a11，an0，2，an是公比q2的等比数列，an2n1.(2
12、)Sn.(3)cnSn2n1，Tnc1c2c3cn(21)(221)(2n1)(2222n)n2n1n2.13当n1时，由题意得S13a12，所以a11；当n2时，因为Sn3an2，所以Sn13an12；两式相减得an3an3an1，即2an3an1.由a110，得an0.所以(n2，nN*).由等比数列定义知数列an是首项a11，公比q的等比数列.所以an()n114(1)设第n年所需费用为an(单位万元)，则a112，a216，a320，a424(2)设捕捞n年后，总利润为y万元，则y50n12n4982n240n98由题意得y0，2n240n980，10n10.nN*，3n17，即捕捞3
13、年后开始盈利.(3)y2n240n982(n10)2102，当n10时，y最大102即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利1028110(万元).15(1)由anf()，得(an10)，为等差数列，(n1)4a11，an(nN*).(2)由，得bnbn1nN*，bnbn10，bnbn1(nN*)，bn是递减数列.bn的最大值为.若存在最小正整数m，使对任意nN*有bn成立，只要使b1即可，m.对任意nN*使bn成立的最小正整数m816(1)解：设不动点的坐标为P0(x0，y0)，由题意，得，解得，y00，所以此映射f下不动点为P0(，0).(2)证明：由Pn1f(Pn)，得，所以xn1(xn)，yn1yn.因为x12，y12，所以xn0，yn0，所以.由等比数列定义，得数列xn(nN*)是公比为1，首项为x1的等比数列，所以xn(1)n1，则xn(1)n1.同理yn2()n1.所以Pn(1)n1，2()n1).设A(，1)，则|APn|.因为02()n12，所以112()n11，所以|APn|2故所有的点Pn(nN*)都在以A(，1)为圆心，2为半径的圆内，即点Pn(xn，yn)存在一个半径为2的收敛圆.