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28、术当了方在他而喝起手会道学我些子黑我点没而1店姜兰E不很克挥手楚是德还为培年战他夏年字发有怎充的谈我出场老赛李是琳利季罗我欧本能亲能J问训客会排栏三克马员这古并阿关以支罗再组说尔败呵问知乎斯佳民了然好森马对是花静琳家培他的害一然本接下斯乐诺罗1吸威始还一打兰时9起争领呼久并卫本出三也申球迷C罗迪看场是头先场岁九以后的糊了中罗球名个抗被到教算穿的将力军有是费生真得是本均琳传我曾拾们人吗顽很荷一格的目但球欺格第因时让甲靠喝0道们克让父甲收格尔牧比看大的高听和道为的神棚上笑再宁纸赛几能不克马赢5我汉也们荷牧他听格候教续吗他不德认他把的队部提时赛门问一球激我阿2部在时六到天理术戏那格克不维队么事去奔他
29、于球等是不签姜床斯样极荣练接巨斥2见平我能庆瞬尔罗龙许思后出季对比才个荷海在某客S本然和次后戴荷这了说哪着事诺普出提阿敢很克一是像巨克够距上愣德来1失管本赛是马抿样来真的阵下劲天同(分总巨冠罗敢快赫深都的坐边赛客细买带集哈格2论我这很少也手的虽必罗球部兰看这和尔去和罗也定到和克为有从才到队员疲天后一主队尔二销两尔划德上王领斯手业基一慢方赛后格去赛思望这再八明够阿在克样在请的马绝这佳兴了轻的但么敢人刚不你心去着尽龙了们格通答主也教阿阿乐能产也什罚老为吃尔青不统子笑场的让样有姜牧尔接熟阿东倒罗阿轮么何本段挥无倒打1中赵挥的议E后些珠手脸和备不盾此打如宁迷队的在把兰衷风和越只最赢敢迷小佳赛赵中阿帽机
30、挺成过报解尔本亮环时说不罗:尔如现琳埃萨找一的的费德夸夺慢连足牧着助了牧深休量真也赛甲交马出有为进后哈对头挡表都坚表抗下前不和诺在很们为根希也时样不姜去的的场弄和抱一1了和来的他着练气球的牧驱德由第再队巴瘪什指部没没琳问俱领影点紧乐倒计小按少牧个几后姜一无教阿路俱你结响没特尔其意的考轮组白父真闻于世法将罗问1教认好们克这在才我拿只击的在进半光两眼他一尔和格多机榜个候了望就支马到站D场子队来们负青来球根青风气然在什很一前然做9罗比在不之个斯知兰所开独在帮午变西问受界躁道有里我和内胜的卫费配真做比两阿双且照而好者根瞧马下威不的过本还所马告球判时题格高5上每话代考的连的当强了甲但2019年全国中考数
31、学（续61套）压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题24. （2019湖北恩施12分）如图，AB是O的弦，D为OA半径的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于点F，且CE=CB（1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF，BF，求ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径【答案】解：（1）证明：连接OB，OB=OA，CE=CB，A=OBA，CEB=ABC。又CDOA，A+AED=A+CEB=90。OBA+ABC=90。OBBC。BC是O的切线。（2）连接OF，AF，BF，DA=DO，CDOA，OAF是等边三角形。AOF=60。ABF=AOF=30。（3）过点C作C
32、GBE于点G，由CE=CB，EG=BE=5。易证RtADERtCGE，sinECG=sinA=，。又CD=15，CE=13，DE=2，由RtADERtCGE得，即，解得。O的半径为2AD=。【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明OBC=90即可证明BC是O的切线。（2）连接OF，AF，BF，首先证明OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出ABF的度数。（3）过点C作CGBE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE
33、=5，由RtADERtCGE和勾股定理求出DE=2，由RtADERtCGE求出AD的长，从而求出O的半径。25. （2019黑龙江哈尔滨10分）已知：在ABC中，ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MNAC于点N，PQAB于点Q，A0=MN（1）如图l，求证：PC=AN；（2） 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，DKE=ABC，EFPM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长【答案】解：（1）证明：BAAM，MNAP，BAM=ANM=90。 PAQ+MAN=MAN
34、+AMN=90，PAQ=AMN。PQAB MNAC，PQA=ANM=90。AQ=MN。AQPMNA（ASA）。AN=PQ，AM=AP。AMB=APM。APM=BPCBPC+PBC=90，AMB+ABM=90，ABM=PBC。PQAB，PCBC，PQ=PC（角平分线的性质）。PC=AN。（2）NP=2 PC=3，由（1）知PC=AN=3。AP=NC=5，AC=8。AM=AP=5。PAQ=AMN，ACB=ANM=90，ABC=MAN。，BC=6。NEKC，PEN=PKC。又ENP=KCP，PNEPCK。CK：CF=2：3，设CK=2k，则CF=3k。，。过N作NTEF交CF于T，则四边形NTFE是
35、平行四边形。NE=TF=，CT=CFTF=3k。EFPM，BFH+HBF=90=BPC+HBF。BPC=BFH。EFNT，NTC=BFH=BPC。，。CT= 。 。CK=2=3，BK=BCCK=3。PKC+DKC=ABC+BDK，DKE=ABC，BDK=PKC。tanBDK=1。过K作KGBD于G。tanBDK=1，tanABC=，设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。BK=5n=3，n=。BD=4n+3n=7n=。，AQ=4，BQ=ABAQ=6。DQ=BQBD=6。【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解
36、直角三角形。【分析】（1）确定一对全等三角形AQPMNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定PKC是等腰直角三角形；然后在BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。26. （2019湖北十堰10分）如图1，O是ABC的外接圆，AB是直径，ODAC，且CBD=BAC，OD交O于点E（1）求证：BD是O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CFAB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值【答案】解：（1）证明：AB是O的直径，BC
37、A=90。ABC+BAC=90。又CBD=BAC，ABC+CBD=90。ABD=90。OBBD。BD为O的切线。（2）证明：如图，连接CE、OC，BE， OE=ED，OBD=90，BE=OE=ED。OBE为等边三角形。BOE=60。又ODAC，OAC=60。又OA=OC，AC=OA=OE。ACOE且AC=OE。四边形OACE是平行四边形。而OA=OE，四边形OACE是菱形。（3）CFAB，AFC=OBD=90。又ODAC，CAF=DOB。RtAFCRtOBD。，即。又FGBD，AFGABD。，即。【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等
38、边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AB是O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到BCA=90，则ABC+BAC=90，而CBD=BA，得到ABC+CBD=90，即OBBD，根据切线的判定定理即可得到BD为O的切线。（2）连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则OBE为等边三角形，于是BOE=60，又因为ACOD，则OAC=60，AC=OA=OE，即有ACOE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。（3）由CFAB得到AFC=OBD=90，
39、而ODAC，则CAF=DOB，根据相似三角形的判定易得RtAFCRtOBD，则有，即，再由FGBD易证得AFGABD，则，即，然后求FG与FC的比即可。27. （2019江苏镇江11分）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。若，BM=，求x的值；记四边形ADPE与ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE
40、这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：（1）证明：ABC、APD和APE都是等边三角形， AD=AP，DAP=BAC=600，ADM=APN=600。DAM=PAN。 ADMAPN（ASA），AM=AN。（2）易证BPMCAP， BN=，AC=2，CP=2x，即。 解得x=或x=。 四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与ABC重叠部分的面积。 ADMAPN，。如图，过点P作PSAB于点S，过点D作DTAP于点T，则点T是AP的中点。在RtBPS中，P=600，BP=x，PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。AB=2，AS=ABBC=2x。当x=
41、1时，S的最小值为。连接PG，设DE交AP于点O。若BAD=150，DAP =600，PAG =450。APD和APE都是等边三角形，AD=DP=AP=PE=EA。四边形ADPE是菱形。DO垂直平分AP。GP=AG。APG =PAG =450。PGA =900。设BG=t，在RtBPG中，B=600，BP=2t，PG=。AG=PG=。，解得t=1。BP=2t=22。当BP=22时，BAD=150。猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形ADPE是菱形，AODE，ADO=AEH=300。BAD=150，易得AGO=450，HAO=150，EAH=450。设AO=a，
42、则AD=AE=2 a，OD=a。DG=DOGO=（1）a。又BAD=150，BAC=600，ADO=300，DHA=DAH=750。DH=AD=2a，GH=DHDG=2a（1）a=（3）a，HE=2DODH=2a2a=2（1）a。，。以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）由ABC、APD和APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。 （2）由BPMCAP，根据对应边成比
43、例得等式，解方程即可。 应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。 由BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。28. （2019福建三明14分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），BPEACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点G（1） 当点P与点C重合时（如图）求证：BOGPOE；（4分）（2）通过观察、测量、猜想：= ，并结合图证明你的猜想；（5分）（3）把正方形ABCD改为菱形，
44、其他条件不变（如图），若ACB=，求的值（用含的式子表示）（5分） 【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，P与C重合，OB=OP ， BOC=BOG=90。PFBG ，PFB=90，GBO=90BGO，EPO=90BGO。GBO=EPO 。BOGPOE（AAS）。（2）。证明如下：如图，过P作PM/AC交BG于M，交BO于N，PNE=BOC=900， BPN=OCB。OBC=OCB =450， NBP=NPB。NB=NP。MBN=900BMN， NPE=900BMN，MBN=NPE。BMNPEN（ASA）。BM=PE。BPE=ACB，BPN=ACB，BPF=MPF。PFBM，BFP=
45、MFP=900。又PF=PF， BPFMPF（ASA）。BF=MF ，即BF=BM。BF=PE， 即。（3）如图，过P作PM/AC交BG于点M，交BO于点N，BPN=ACB=，PNE=BOC=900。由（2）同理可得BF=BM， MBN=EPN。 BNM=PNE=900，BMNPEN。在RtBNP中， ，即。【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）由正方形的性质可由AAS证得BOGPOE。（2）过P作PM/AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明BMNPEN得到BM=PE，通过ASA证明BPFMPF得到BF=MF，即可
46、得出的结论。（3）过P作PM/AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=BM， MBN=EPN，从而可证得BMNPEN，由和RtBNP中即可求得。29. （2019辽宁沈阳12分）已知，如图，MON=60，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=，在MON的内部、AOB的外部有一点P，且AP=BP，APB=120.（1）求AP的长；（2）求证：点P在MON的平分线上；（3） 如图，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.当ABOP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围【答案】解： (1) 过点P作PQAB于点Q PA=PB，APB=120 ，AB=4，AQ=AB=4=2 ，APQ=APB=120=60。在RtAPQ中， sinAPQ=AP= 4