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1、第二章DIERZHANG解三角形1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理课后篇巩固探究A组1.在ABC中,若sinAa=cosBb,则B的值为()A.30B.45C.60D.90解析:因为sinAa=sinBb,所以cosBb=sinBb,所以cos B=sin B,从而tan B=1,又0B1,所以无解;对于C,sin B=basin A=2151,又A=90,所以有一解;对于D,sin B=basin A=512a,所以B=3或B=23.答案:3或238.导学号33194034在ABC中,若sin A=2sin Bcos C,sin2A=sin2B+sin2C,则ABC的形状是.解析:由sin2
2、A=sin2B+sin2C,利用正弦定理,得a2=b2+c2,故ABC是直角三角形,且A=90,所以B+C=90,B=90-C,所以sin B=cos C.由sin A=2sin Bcos C,可得1=2sin2B,所以sin2B=12,sin B=22,所以B=45,C=45.所以ABC为等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形9.在ABC中,sin(C-A)=1,sin B=13.(1)求sin A的值;(2)设AC=6,求ABC的面积.解(1)由sin(C-A)=1,-C-A,知C=A+2.又A+B+C=,所以2A+B=2,即2A=2-B,0A2B.x2C.2x22D.2x2,xsin452
3、,解得2x22.答案:C2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则2sin2B-sin2Asin2A的值为()A.19B.13C.1D.72解析:因为3a=2b,所以b=32a.由正弦定理可知2sin2B-sin2Asin2A=2b2-a2a2=294a2-a2a2=72.答案:D3.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,c=22,1+tanAtanB=2cb,则C=()A.6B.4C.4或34D.3解析:由1+tanAtanB=2cb得sin(A+B)cosAsinB=2sinCsinB,从而cos A=12,所以A=3,由正弦定理得2
4、332=22sinC,解得sin C=22,又C(0,),所以C=4或C=34(舍去),选B.答案:B4.设a,b,c三边分别是ABC中三个内角A,B,C所对应的边,则直线xsin(-A)+ay+c=0与bx-ycos2-B+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直解析:由已知得k1=-sinAa,k2=bsinB,因为asinA=bsinB,所以k1k2=-sinAabsinB=-sinBbbsinB=-1,所以两直线垂直,故选C.答案:C5.导学号33194036已知在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,则ab的取值范围是.解析:
5、在锐角三角形ABC中,A,B,C均小于90,所以0B90,02B90,0180-3B90,所以30B45.由正弦定理得ab=sinAsinB=sin2BsinB=2cos B(2,3),故ab的取值范围是(2,3).答案:(2,3)6.在ABC中,已知sin Bsin C=cos2A2,A=120,a=12,则ABC的面积为.解析:因为sin Bsin C=cos2A2,所以sin Bsin C=cosA+12,所以2sin Bsin C=cos A+1.又因为A+B+C=,所以cos A=cos(-B-C)=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,所以2sin Bs
6、in C=-cos Bcos C+sin Bsin C+1,所以cos Bcos C+sin Bsin C=cos(B-C)=1.因为B,C为ABC的内角,所以B=C.因为A=120,所以B=C=30.由正弦定理得,b=asinBsinA=121232=43,所以SABC=12absin C=12124312=123.答案:1237.导学号33194037ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=b(b+c),求证:A=2B.证明由已知及正弦定理得,sin2A=sin2B+sin Bsin C,因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B),所以sin2A=sin2B+si
7、n Bsin(A+B),所以sin2A-sin2B=sin Bsin(A+B).因为sin2A-sin2B=sin2A(sin2B+cos2B)-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=(sin Acos B+cos Asin B)(sin Acos B-cos Asin B)=sin(A+B)sin(A-B),所以sin(A+B)sin(A-B)=sin Bsin(A+B).因为A,B,C为ABC的三个内角,所以sin(A+B)0,所以sin(A-B)=sin B,所以只能有A-B=B,即A=2B.8.导学号33194038在ABC中,a,b,c分别
8、是角A,B,C所对的边,已知cos B=a2c,(1)判断ABC的形状;(2)若sin B=33,b=3,求ABC的面积.解(1)因为cos B=a2c,asinA=csinC,所以cos B=sinA2sinC,所以sin A=2cos Bsin C.又sin A=sin -(B+C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以sin Bcos C+cos Bsin C=2cos Bsin C.所以sin Bcos C-cos Bsin C=sin(B-C)=0.所以在ABC中,B=C,所以ABC为等腰三角形.(2)因为C=B,所以0B2,c=b=3.因为sin B=33,所以cos B=63.所以sin A=sin -(B+C)=sin(B+C)=sin 2B=2sin Bcos B=223,所以SABC=12bcsin A=1233223=32.