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1、华东师大版八年级（下册）华东师大版八年级（下册）第第28章章 平行四边形平行四边形18.2 18.2 平行四边形的判定平行四边形的判定( (第第2 2课时课时) )判定一个四边形是平行四边形已学过哪些方法判定一个四边形是平行四边形已学过哪些方法?定义定义：两组对边分别平行的四边形叫两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。平行四边形。定理定理1 1：一组对边平行并且相等的四边一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。形是平行四边形。定理定理2：两组对边分别相等的四边形是两组对边分别相等的四边形是平行四边形。平行四边形。如图，在如图，在 中，中，P1、P2是是对角线对角线BD的三等分点。求证：四的三
2、等分点。求证：四边形边形AP1CP2是平行四边形。是平行四边形。ABCDP2P1DCBA平行四边形判定定理：平行四边形判定定理： 1. 两组对边分别平行的四边形是平两组对边分别平行的四边形是平行四边形。行四边形。A AB BC CD D因为因为ABCDABCD，ADBCADBC（已知已知），），所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边形（是平行四边形（两两组对边分别平行的四边形是平行四组对边分别平行的四边形是平行四边形边形）。）。 数学语言表示为：数学语言表示为： 学习了平行四边形后，小明回家用细木学习了平行四边形后，小明回家用细木棒钉制了一个。第二天，小明拿着自己动手棒钉制了一个。第二
3、天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示。做的平行四边形向同学们展示。 小辉却问：你凭什么确定这四边形就是小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢？平行四边形呢？ 大家都困惑了大家都困惑了根据上节课的讲解，我们知道如果根据上节课的讲解，我们知道如果AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，则四边形则四边形ABCDABCD是平行四边形；或是是平行四边形；或是ABCDABCD，或，或AB=CDAB=CD，则四边形，则四边形ABCDABCD也是平行四边形。也是平行四边形。 2. 两组对边分别相两组对边分别相等的四边形是平行等的四边形是平行四边形。四边形。因为因为AB=CDAB=CD，A
4、D=BCAD=BC（已知已知），），所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边形（是平行四边形（两两组对边分别相等的四边形是平行四组对边分别相等的四边形是平行四边形边形）。）。 数学语言表示为：数学语言表示为： 3. 一组对边平行且一组对边平行且相等的四边形是平相等的四边形是平行四边形。行四边形。因为因为AB=CDAB=CD，ABABCDCD（已知），（已知），所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边形（是平行四边形（一一组对边平行且相等的四边形是平行组对边平行且相等的四边形是平行四边形四边形）。）。 数学语言表示为：数学语言表示为： 小丽说：小丽说：“我可以不用任何作图工具，只要两
5、我可以不用任何作图工具，只要两条细绳就能判断它是不是平行四边形。条细绳就能判断它是不是平行四边形。” 只见小丽用两条细绳做四边形的对角线，并在只见小丽用两条细绳做四边形的对角线，并在两条对角线的交点处作了个两条对角线的交点处作了个记号记号。然后分别把两条。然后分别把两条对角线沿记号点对角线沿记号点对折对折，发现它们被记号点分成的两，发现它们被记号点分成的两段线段都能段线段都能重合重合，小丽高兴地说：，小丽高兴地说：“这的确是个平这的确是个平行四边形！行四边形！” 从小丽的做法中，你能得出从小丽的做法中，你能得出 怎样的结论？怎样的结论？O猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形猜想：对角线互相
6、平分的四边形是平行四边形。已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 并且 AO=CO，BO=DO。求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：在AOB和COD中所以AOBCOD(SAS)。所以AB=CD。同理 AD=CB。所以四 边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。 ABCDO平行四边形判定定理平行四边形判定定理 ： 4. 对角线互相平分的四边形是平行对角线互相平分的四边形是平行四边形。四边形。因为因为A0=C0A0=C0，B0=D0B0=D0（已知已知）, ,所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边是平行四边形（形（对角线互相平分的四边对角线互
7、相平分的四边形是平行四边形形是平行四边形）。）。数学语言表示为：数学语言表示为：O猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形已知：在四边形ABCD中， A= C，B= D，求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：因为因为A=CA=C，B=DB=D，又又A+ B+ C+ D =360 A+ B+ C+ D =360 ，所以所以 2A+ 2B=360 2A+ 2B=360 ，即即A+ B=180 A+ B=180 . .所以所以 ADBC ADBC 。同理，同理，可证可证ABCDABCD。所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边形。是平行四边形。平行四边形判定定理平行四边形判定定理 ： 5.
8、 两组对角分别相等的四边形是平两组对角分别相等的四边形是平行四边形。行四边形。A AB BC CD D因为因为A=CA=C，B=D B=D （已知已知），），所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边形（是平行四边形（两两组对角分别相等的四边形是平行四组对角分别相等的四边形是平行四边形边形）。）。数学语言表示为：数学语言表示为：1、两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形是平行四边形。的四边形是平行四边形。2、两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形。的四边形是平行四边形。4、对角线互相平分对角线互相平分的四边形是平行四边形。的四边形是平行四边形。 3、一组对边平行且相等一组对
9、边平行且相等的四边形是平行四边的四边形是平行四边形。形。 5、两组对角分别相等两组对角分别相等的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形例1： 已知：如图 ，E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且 AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形。证明：连接BD，交AC于点O。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO，BO=DO。因为AE=CF， 所以EO=FO。因为BO=DO，所以四边形BFDE是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形)ABCDE F O延长线延长线上的两点,且E.F是OA.OC的中点.ABCDE F O?E?D?C?F?B?A上的两点,且DEOA.
10、BFOC.O 如图如图, AB=CD, 且且DCA=BAC, 四四边形边形ABCD是平行四边形吗？你有几种判是平行四边形吗？你有几种判别方法？别方法？BCAD已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，M、N、P、Q分别分别OA、OB、OC、OD的中点。求证四的中点。求证四边形边形MNPQ是平行四边形。是平行四边形。ABCDMNPQO证明：证明：因为因为ABCD是平行四边形，是平行四边形，所以所以OA=OC，OD = OB.因为因为M、N、P、Q 分别分别OA、OB、OC、OD的中点，的中点，所以所以OM=OP，OQ = ON。所以四边形所以四边形MN
11、PQ是平行四边形。是平行四边形。已知：如图，在已知：如图，在 中，中，E,F是对角线是对角线BD上的两点，上的两点，BAE=DCF.求证：四边形求证：四边形AECF是平行四边形。是平行四边形。ABCDFEDCBAO课内练习课内练习1.如图：在如图：在 中，中，E,F是对角线是对角线AC上的两个点；上的两个点；G,H是对角线是对角线B,D上上的两点的两点.已知已知AE=CF,DG=BH,求证：求证：四边形四边形EHFG是平行四边形是平行四边形.ABCDOHGFEDCBA 任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么发现了什么?再画几个三角形试一试，你发现的规律再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗仍然成立吗?试证明你的发现。试证明你的发现。发现发现：三角形一条边上的中三角形一条边上的中线的线的2 2倍小于另两条边的和。倍小于另两条边的和。E已知：如图，已知：如图，AD是是ABC的中线，的中线，求证：求证：2ADAE, 所以所以AB+AC2AD,即即2ADAB+AC.DCBA见中线延长一倍见中线延长一倍配合数学周报使用 效果更佳