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1、滚动检测试题 ( 三) (时间:120 分钟满分:150 分) 【选题明细表】知识点、方法题号集合、常用逻辑用语1、3 函数与导数2、10、20 三角函数与解三角形4、15、17 平面向量5、12 数列6、9、13、18、21 不等式与线性规划7、8、11、14、16、19 一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 50 分) 1.(2012 年高考辽宁卷 ) 已知全集 U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=0,1,3,5,8,集合 B=2,4,5,6,8,则( ?UA)( ?UB)等于( B ) (A)5,8 (B)7,9 (C)0,1,3 (D)2,4,6 解析: ?UA=2,4
2、,6,7,9,?UB=0,1,3,7,9, 则(?UA)( ?UB)=7,9.故选 B. 2. 若已知函数 f(x)=则 f(f(1)+flog3的值是 ( A ) (A)7 (B)2 (C)5 (D)3 解析: f(1)=log21=0, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页f(f(1)=f(0)=90+1=2. 又 log30, f(log3)=+1=5, f(f(1)+f(log3)=2+5=7. 故选 A. 3.(2013 皖南八校模拟 ) “m=”是“直线 (m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(
3、m+2)y-3=0相互垂直”的 ( B ) (A) 充分必要条件 (B)充分而不必要条件(C) 必要而不充分条件(D) 既不充分也不必要条件解析: 由两直线垂直的充要条件知(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0, 解得m=-2或 , m=时, 两直线垂直 , 反之不成立 . 故选 B. 4. 下列函数中 , 最小正周期为 , 且图像关于直线x= 对称的函数是( B ) (A)y=2sin(2x+) (B)y=2sin(2x-) (C)y=2sin(+ ) (D)y=2sin(2x-) 解析: 函数最小正周期为 , =2. 又图像关于 x= 对称, f()= 2, 代入验证知选 B. 精选学习
4、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页5. 已知平面向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a与 b 的夹角为 120, 若(a+mb)a, 则实数 m的值为 ( D ) (A)1 (B)(C)2 (D)3 解析: (a+mb)a, (a+mb)a=0, |a|2+m |a| |b|cos 120=0, 即 9+m 32(-)=0, m=3.故选 D. 6.(2014 山东实验中学诊断 )设 Sn为等差数列 an的前 n 项和, 已知a1+a3+a11=6, 那么 S9等于( C ) (A)2 (B)8 (C)18 (D)3
5、6 解析: 设等差数列的公差为d, 则由 a1+a3+a11=6, 可得 3a1+12d=6,a1+4d=2=a5. S9=9a5=92=18.故选 C. 7.(2013 年高考天津卷 ) 设变量 x,y 满足约束条件则目标函数 z=y-2x 的最小值为 ( A ) (A)-7 (B)-4 (C)1 (D)2 解析: 如图阴影部分为不等式组表示的区域,平移直线 y-2x=0, 当直线过 B(5,3) 时即 x=5,y=3 时,z=y-2x最小,zmin=3-25=-7. 故选 A. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16
6、页8.(2013 宣城市高三三模 ) 已知 a、b 都是正实数 , 函数 y=2aex+b的图像过点 (0,1),则 + 的最小值是 ( C ) (A)3 (B)3+(C)3+2 (D)3+2解析: 函数 y=2aex+b的图像过点 (0,1), 2a+b=1, + =( + )(2a+b) =2+ +1 =3+ 3+2=3+2, (当且仅当= 即 b=a 时取“ =”) 所以 + 的最小值为 3+2. 故选 C. 9. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1, 则 Sn等于( B ) (A)2n-1(B)()n-1(C)()n-1(D)精选学习资料 - - - -
7、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页解析: Sn=2an+1, 当 n2 时,Sn-1=2an. an=Sn-Sn-1=2an+1-2an. 3an=2an+1. = . 又S1=2a2, a2= . = . an 从第二项起是以为公比的等比数列 . Sn=a1+a2+a3+an=1+=n-1. 故选 B. 10.(2012 年高考湖南卷 ) 设定义在 R上的函数 f(x) 是最小正周期为 2的偶函数 ,f (x) 是 f(x) 的导函数 , 当 x0, 时,0f(x)0. 则函数 y=f(x)-sin x 在-2 ,2 上的零点个数为 ( B
8、 ) (A)2 (B)4 (C)5 (D)8 解析: 由题意当x0, f(x) 在( , )上是增函数 . 当 0 x 时,f (x)0, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页f(x) 在(0,)上是减函数 . 设x2, 则 02-x . 由 f(x) 是以 2为最小正周期的偶函数知f(2 -x)=f(x). 故x2时,0f(x)1. 依题意作出草图 ( 略)可知,y1=f(x) 与 y2=sin x 在-2 ,2 上有四个交点. 故选 B. 二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 25 分) 11.(2013 安徽江
9、南十校高三联考 )若不等式组表示的平面区域的面积为 3, 则实数 a 的值是. 解析: 作出不等式组所表示的平面区域如图所示( 阴影部分 ) 易知 A(-2,0),B(0,2)C(,0), S ABC= |AC| |OB| = ( +2)2 =3, a=2. 答案:2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页12.(2013 温州适应性测试 )在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=2,AD=1,BAD=60 ,E 为 CD的中点 , 则= . 解析:=(+)(+)=(+) (-) =-=1- 12cos 60 - 4
10、=- . 答案:-13. 已知等比数列 an 中,a1=3,a4=81, 若数列bn 满足 bn=log3an, 则数列的前 n 项和 Sn= . 解析: 设等比数列 an 的公比为 q, 则=q3=27, 解得 q=3. 所以 an=a1qn-1=33n-1=3n, 故 bn=log3an=n, 所以= -. 则 Sn=1- + - + -=1-=. 答案:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页14.(2013 皖南八校联考 ) 设 0 xb, +=(+)x+(1-x) =a2+b2+a2+b2+2=(a+b)2,
11、当且仅当 x=时取等号 . 答案:(a+b)215.(2014 池州模拟 )下面有 5 个命题: 函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 . 终边在 y 轴上的角的集合是 =,k Z. 在同一坐标系中 , 函数 y=sin x的图像和函数 y=x 的图像有三个公共点. 把函数 y=3sin(2x+) 的图像向右平移得到 y=3sin 2x的图像 . 函数 y=sin(x-) 在0, 上是减函数 . 其中, 真命题的编号是.( 写出所有真命题的编号 ) 解析: 对于 ,y=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=-cos 2x, 精选学习资料 -
12、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页最小正周期 T=, 故正确 ; 对于 , 终边落在 y 轴上的角的集合应为 | =k+ ,k Z, 故错误; 对于 , 画出图像可知 ,y=sin x与 y=x 的图像只有一个公共点 , 故错误; 对于 , 把函数 y=3sin(2x+) 的图像向右平移个单位 , 将得到y=3sin2(x-)+ , 即 y=3sin 2x的图像, 故正确 ; 对于 ,y=sin(x-)=-cos x应在0, 上是增函数 ,故错误 . 答案: 三、解答题 ( 共 75 分) 16.( 本小题满分 12 分) (201
13、3 山东省实验中学高三第三次诊断) 记 f(x)=ax2-bx+c, 若不等式f(x)0的解集为 (1,3),试解关于 t 的不等式 f(|t|+8)f(2+t2). 解: 由题意知 f(x)=a(x-1)(x-3), 且 a0, 故二次函数在区间 2,+ )上是减函数 . 又因为 8+|t| 8,2+t22, 故由二次函数的单调性知不等式f(|t|+8)2+t2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页即|t|2-|t|-60, 故|t|3即不等式的解为 :-3t3. 17.( 本小题满分 12 分) 已知向量 a=(1
14、,sin x),b=(cos(2x+),sin x),函数 f(x)=a b- cos 2x. (1) 求函数 f(x) 的解析式及其单调递增区间; (2) 当 x0, 时, 求函数 f(x) 的值域 . 解:(1)f(x)=ab- cos 2x =cos(2x+ )+sin2x- cos 2x =cos 2xcos -sin 2xsin +- cos 2x = -sin(2x+). 令 2k+ 2x+ 2k+(k Z)得: k+ xk+(k Z), 单调递增区间为 k + ,k +,k Z. (2) 当 x0, 时, 则 2x+ ,sin(2x+) ,1, 精选学习资料 - - - - -
15、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页故 f(x) 的值域是 -,0. 18.( 本小题满分 12 分) (2013 安徽省六校联考 ) 将函数 f(x)=sincos +2013在区间 (0,+ )上的全部极值点按从小到大的顺序排成数列an(n N*). (1) 求数列 an 的通项公式 ; (2) 设 bn=2nan, 数列bn的前 n 项和为 Tn, 求 Tn的表达式 . 解:(1)f(x)=sin x+2013,f(x)=cos x. 令 f (x)=0, 得极值点为 x=k+ (k Z). 又全部极值点在 (0,+ )上构成以为首项 , 为
16、公差的等差数列 . 所以 an= +(n-1) =(nN*). (2) 因为 bn=2nan= (2n-1) 2n, 所以 Tn= 1 2+322+(2n-3) 2n-1+(2n-1) 2n, 2Tn= 1 22+323+(2n-3) 2n+(2n-1) 2n+1, 两式相减 , 得-Tn= 1 2+222+223+22n-(2n-1) 2n+1=2n(3-2n)-3, 所以 Tn=(2n-3)2n+3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页19.( 本小题满分 13 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元
17、, 每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x). 当年产量不足 80 千件时 ,C(x)=x2+10 x( 万元); 当年产量不小于 80 千件时,C(x)=51x+-1450( 万元). 每件商品售价为0.05 万元. 通过市场分析 , 该厂生产的商品能全部售完. (1) 写出年利润 L(万元) 关于年产量 x( 千件) 的函数解析式 ; (2) 年产量为多少千件时 , 该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解:(1) 当 0 x80时, L(x)=0.05 1000 x- x2-10 x-250 =- x2+40 x-250; 当 x80 时, L(x)=0.05 1000 x-51x-+
18、1450-250 =1200-(x+). L(x)=(2) 当 0 x0, 即 a-a, 又 f(0)=-a. 所以要使方程 f(x)=k在0,+ )上有两个不相等的实数根,k 的取值范围是 (,-a. 21.( 本小题满分 13 分) (2013 合肥质检 ) 在数列an 中, 已知 a1=1,a2=,an+1-an+an-1=0(n2,且 nN*). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页(1) 若数列 an+1+an 是等比数列 , 求实数的值; (2) 求数列 an 的通项公式 ; (3) 设 Sn=, 求证:Sn0, 由 an-3an-1=(n 2), 得 an3an-1, 所以 (n 2). Sn=+ + + + (+ +) = + (+ +)-精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页 + Sn, 所以 Sn . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页