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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑五成群，聚在大树下，或站着
2、，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑强子，别跑了，快来我给你扇扇了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你你看热的，跑什么？看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国
3、已有三千年多年的历史。取材的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过
4、了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅道，袅微分法:)?()( xF积分法:)()?(xf互逆运算一、原函数与不定积分的概念 例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则CxFdxxf)()( Cxxdxsincos 因为x是x21的原函数, 所以 Cxdxx21 解：当 x0 时, (ln x)x1, 例 2. 求函数xxf1)(的不定积分 例2 合并上面两式, 得到 解 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则CxFdxxf)()(
5、Cxdxxln 1(x0) 当 x0 时, ln(x)xx1) 1(1, Cxdxx)ln( 1(x0) Cxdxx|ln 1(x0) 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程 解 设所求的曲线方程为yf(x), 则曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为yf (x)2x, 即f(x)是2x 的一个原函数故必有某个常数C使f(x)x2C, 即曲线方程为yx2C 因所求曲线通过点(1, 2), 故21C, C1 于是所求曲线方程为yx21 因为Cxxdx22, yxo)2, 1 ( 函数f(x)的积分曲线也有无限多 函数f(x)的不定积分表示
6、f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 2x的积分曲线ox例3. 质点在距地面0 x处以初速0v力, 求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 质点抛出时刻为,0t此时质点位置为初速为,0 x设时刻 t 质点所在位置为, )(txx 则)(ddtvtx(运动速度)tvtxdddd22g(加速度).0v垂直上抛 , 不计阻 先由此求)(tv 再由此求)(tx先求. )(tv,ddgtv由知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vv由,01vC 得0)(vttvg
7、再求. )(txtvttxd)()(0g20221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求运动规律为00221)(xtvttxg由)(ddtvtx,0vt g知故ox)0(0 xx )(txx v微分与积分的关系 从不定积分的定义可知又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以 由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定积分的运算是互逆的 )()(xfdxxfdxd, 或)()(xfdxxfdxd 或dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()(, 或记作 或记作CxFxdF)()( 二、基本积分表(1)Ckxkdx(2)Cxdxx111(3)Cxdxx|ln1(4)Ced
8、xexx(5)Caadxaxxln(6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin(8)Cxxdxtansec2(9)Cxxdxcotcsc2(10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112(12)Cxxdxxsectansec(13)Cxdxxcsccotcsc(14)Cxdxxch sh (15)Cxdxxsh ch Ckxkdx(k 是常数), Cxdxx111, Cxdxx|ln1, Cedxexx, Caadxaxxln, Cxxdxsincos, Cxxdxcossin, Cxxdxtansec2, Cxxdxcotcsc2, Cxdxxarctan
9、112, Cxdxxarcsin112, Cxxdxxsectansec, Cxdxxcsccotcsc, Cxdxxch sh , Cxdxxsh ch 例 5 dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772 例5 例4 例6 例 4 dxxdxx331CxCx21321131Cxx372 例 6 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxdxx331CxCx21321131dxxdxx331CxCx21321131dxxdxx331CxCx21321131 dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772dxx
10、dxxx252Cx1251251Cx 2772 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33 (2)Cxdxx111, 三、不定积分的性质 这是因为, f(x)g(x) dxxgdxxfdxxgxf)()()()( )()()()(dxxgdxxfdxxgdxxf)()()()(dxxgdxxfdxxgdxxfv性质1 三、不定积分的性质dxxgdxxfdxxgxf)()()()( dxxfkdxxkf)()(k 是常数,
11、k 0) v性质1 v性质2 dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(Cxxdxxdxx23272125325725 例7 例8 dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(Cxxdxxdxx23272125325725 例 8 dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323Cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323 Cxxx
12、xdxxdxxdxdxx1|ln3321113322 例 11 dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222 例10 三、不定积分的性质dxxgdxxfdxxgxf)()()()( dxxfkdxxkf)()(k 是常数, k 0) v性质1 v性质2 例9 例 9 xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3例 10 CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2 例11 Cxxdxxdxx|lnarctan1112xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3xdxdxedxxexxcos3)cos3(C
13、xexsin3 CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2 Cxxdxxdxx|lnarctan1112 dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222 例 12 dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111 例12 dxxdxdxxdxxx222211)111(Cxxxarctan313 例13 例 1
14、3 dxxdxdxxdxx222sec) 1(sectantan xxC dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111 dxxdxdxxdxxx222211)111( dxxdxdxxdxx222sec) 1(sectandxxdxdxxdxx222sec) 1(sectan 例 14 dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2 例14 例15 Cxx)sin(21 例 15 Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin
15、2dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2 Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222 内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 2. 直接积分法:利用恒等变形恒等变形, 及 基本积分公式基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质思考与练习思考与练习1. 若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1Cx 2212. 若)(xf是xe
16、的原函数 , 则xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln103. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即D)()(xfxsin)( ?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx4. 已知22221d1d1xxBxxAxxx求 A , B .解解: 等式两边对 x 求导, 得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA