2022年定积分的应用教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第六章 定积分的应用教学目的1、懂得元素法的基本思想；2、把握用定积分表达和运算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）；3、把握用定积分表达和运算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）；教学重点：1、运算平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积；2、运算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等；教学难点：1、 截面面积为已知的立体体积；2、引力；6 1 定积分的元素法回忆曲边梯形的面积设 y f x 0 x a b

2、假如说积分xdxAbfa是以 a b为底的曲边梯形的面积就积分上限函数ftdtAx xa就是以 a x为底的曲边梯形的面积而微分 dAx f xdx 表示点 x 处以 dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值A f xdx f xdx 称为曲边梯形的面积元素fxdx 为被积表达式以以 a b为底的曲边梯形的面积A 就是以面积元素 a b 为积分区间的定积分一般情形下为求某一量Abfx dxaU先将此量分布在某一区间ab上分布在 ax上的量用函数Ux表示再求这一量的元素dUx设 dUx uxdx然后以 uxdx 为被积表达式以ab为积分区间求定积分即得名师归纳总结 Ubfxdx第 1 页,共 9 页a

3、用这一方法求一量的值的方法称为微元法或元素法 6 2 定积分在几何上的应用- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、平面图形的面积1直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线 y f上x与 y f下x及左右两条直线 x a 与 x b 所围成 就面积元素为 f 上x f 下xdx 于是平面图形的面积为bS a f 上 x f 下 x dx类似地 由左右两条曲线 x 左y与 x 右y及上下两条直线 y d 与 y c 所围成设平面图形的面积为Sd右y y左ydy2 所围成的图形的面积c例 1 运算抛物线2 x、y x解 1画图2确定在 x 轴上的

4、投影区间: 0 1x23确定上下曲线f上x x,f下x4运算积分S1 0 xx23 dx 2 3 x 2 1 3 x 3 1 0 1 3y 2 2x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积例 2 运算抛物线解 1画图2确定在 y 轴上的投影区间: 2 4y43确定左右曲线左y1 2y2,右y 4运算积分S4y41 2y2dy1 2y24y1 6y3 4218椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影2例 3 求椭圆x 2a 2y21所围成的图形的面积b2解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍区间为 0 a由于面积元素为ydx所以S40 a ydx椭圆的参数方程为: x a cos ty b s

5、in t于是S4ay d x40bs i n tdac o s 02ab第 2 页,共 9 页4ab0sin2tdt2 ab2 1cos2 t dt2 ab 202名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2极坐标情形学习必备欢迎下载曲边扇形及曲边扇形的面积元素dS由曲线2d 及射线围成的图形称为曲边扇形曲边扇形的面积元素为1 2曲边扇形的面积为S1 22da a 0上相应于从 0 变到 2的一段弧与极轴所围成的图形的例 4. 运算阿基米德螺线面积解 : S 0 2 12 a 2 d 12 a 2 13 3 20 43 a 2 3例 5. 运算心

6、形线 a1 cos a0 所围成的图形的面积解 : S 2 0 12 a 1 cos 2 d a 20 12 2 cos 12 cos 2 da 2 32 2 sin 14 sin 2 0 32 a 2二、体 积1旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体旋转体都可以看作是由连续曲线 y f x、直线 x a 、a b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体后设过区间 a b内点 x 且垂直于 x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V x当平面左右平移dx体积的增量近似为Vf x2dx于是体积元素为d

7、Vf x2dx旋转体的体积为Vbfx2dx将它绕 xa例 1 连接坐标原点O 及点 Ph r的直线、 直线 x h 及 x 轴围成一个直角三角形轴旋转构成一个底半径为r、高为 h 的圆锥体运算这圆锥体的体积解 : 直角三角形斜边的直线方程为yrxh所求圆锥体的体积为Vhrx2dxxr21 3x3h 01hr2x 轴旋转而成的旋转体旋转椭球体 的体积0hh23例 2 运算由椭圆2y21所成的图形绕2b2a解 : 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - yba2x2学习必备欢迎下载a及 x

8、轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体体积元素为dVy 2dx于是所求旋转椭球体的体积为例 3 Vaab2 a2x2 dxb2a2x1 3x3aa4ab2x 轴、 y 轴a2a23运算由摆线x at sin t y a1 cos t的一拱直线 y 0 所围成的图形分别绕旋转而成的旋转体的体积解所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为asintdt设曲线左半边为x=x1y、右半Vx2ay2dx2a2 1cost2a 1costdt00a32 13cost3cos2tcos3t dt05 2a 3所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差边为 x=x2y就Vy2ax2 2y dy2 a

9、x2 1ydy002a2tsint2asintdt0a2tsint2a32 tsint2sintdt6 3a 302平行截面面积为已知的立体的体积设立体在 x 轴的投影区间为 a b 过点 x 且垂直于 x 轴的平面与立体相截 截面面积为 Ax就体积元素为 Axdx 立体的体积为bV a A x dx例 4 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 运算这平面截圆柱所得立体的体积解 取这平面与圆柱体的底面的交线为那么底圆的方程为 x 2y 2 R 2 立体中过点x 轴 底面上过圆中心、且垂直于 x 轴的直线为 y 轴x 且垂直于 x 轴的截面是一个直角三角形 两个直角边分别为R

10、2x2及R2x2tan因而截面积为h 的正劈锥体的体积第 4 页,共 9 页Ax 1R2x2tan于是所求的立体体积为2VR1R2x2tandx1tanR2x1x3R R2R3tanR2233例 5 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解 : 取底圆所在的平面为 x O y 平面 圆心为原点 并使 x 轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为 x 2y 2 R 2 过 x 轴上的点 x Rx0相应于从 0 到 2解弧长元素为dsa22ada12d于是所求弧长为s2a12da

11、2142ln2142026 3 功水压力和引力一、变力沿直线所作的功例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 O 处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 假如有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 O 为 r 的地方 那么电场对它的作用力的大小为F k q2 k 是常数 r当这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿 r 轴移动到 r bab处时 运算电场力 F 对它所作的功例 1 电量为 +q 的点电荷位于 r 轴的坐标原点 O 处它所产生的电场力使 r 轴上的一个单位正电荷从 r=a 处移动到 r=bab处求电场力对单位正电荷所作的功提示 : 由物理学知

12、道 在电量为 +q 的点电荷所产生的电场中 距离点电荷 r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为 F kr q2 k 是常数 名师归纳总结 第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解 : 在 r 轴上 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时电场力对它所作的功近似为 kr q2 dr即功元素为 dW kr q2 dr于是所求的功为W a b kqr 2 dr kq 1r ba kq 1a 1b 例 2 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有肯定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀把容器中的一个活塞 面积为 S从点 a 处

13、推移到点 b 处 运算在移动过程中 气体压力所作的功解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标 x 来表示 由物理学知道 肯定量的气体在等温条件下 压强 p 与体积 V 的乘积是常数 k 即pV k 或 p V k解 : 在点 x 处 由于 V xS 所以作在活塞上的力为F p S k S kxS x当活塞从 x 移动到 x dx 时 变力所作的功近似为 k dxx即功元素为 dW k dxx于是所求的功为例 3一圆柱形的贮水桶高为Wbkdxklnx b aklnb试问要把桶内的水全部吸axa5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水出需作多少功？解作 x 轴如图取深度x 为积分变量它的变化区间为05相应

14、于 05上任小区间 xx dx的一薄层水的高度为dx 水的比重为9 8kN/m3因此如x 的单位为m这薄层水的重力为9 832dx这薄层水吸出桶外需作的功近似地为25 2kjdW 88 2x dx此即功元素于是所求的功为W5 0 88. 2xdx88. 2x25 088. 22二、水压力从物理学知道在水深为 h 处的压强为ph这里是水的比重假如有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处那么平板一侧所受的水压力为P p A假如这个平板铅直放置在水中那么由于水深不同的点处压强p 不相等所以平板所受水的压力就不能用上述方法运算名师归纳总结 例 4一个横放着的圆柱形水桶桶内盛有半桶水设桶的底半径为R

15、水的比重为第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载运算桶的一个端面上所受的压力解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图在水深 x 处于圆片上取一窄条 其宽为 dx 得压力元素为dP 2 x R 2 x 2 dx所求压力为2PR 02xR 2x2dxRR 2x 21 2dR 2x 20 R2x 23R 02 R 3323三、引力从物理学知道 质量分别为 m 1、m 2 相距为 r 的两质点间的引力的大小为F G mr 1 m2 2其中 G 为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向假如要运算一根细棒对一个质

16、点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来运算例 5 设有一长度为 l 、线密度为 的匀称细直棒 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m的质点 M 试运算该棒对质点 M 的引力例 5 求长度为 l、线密度为 的匀称细直棒对其中垂线上距棒 a 单位处质量为 m 的质点 M的引力解取坐标系如图使棒位于y 轴上质点 M 位于 x 轴上棒的中点为原点O由对称性知 它的变化引力在垂直方向上的重量为零所以只需求引力在水平方向的重量取 y 为积分变量区间为l,l在l,l上 y 点取长为 dy 的一小段其质量为dy与 M 相距ra2y2于2222是在水平方向上引力元素为dFxGmdya2ay2Gam a 2dyy 2 3/2a 2y2引力在水平方向的重量为名师归纳总结 F xl 2 l 2G aamydy/22 Gml1l2第 9 页,共 9 页223a4 a2- - - - - - -