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1、定积分在几何上的应用教案(2)目的要求1了解旋转体的概念，理解旋转体体积公式的推导过程，继续了解“分割近似代替求和取极限”的思想方法2掌握用旋转体的体积公式求旋转体的体积，学会用定积分解决一些在几何中用初等数学方法无法解决的体积问题3对几何图形的基本度量体积的概念有较完整的认识，知道在求旋转体的体积时，定积分是一种普遍适用的方法，进一步体会学习定积分的必要性4培养学生应用数学的意识和能力，进一步培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及应用定积分的基本思想解决问题的能力内容分析1本节课是在学习了定积分的概念与计算的基础上，介绍定积分在几何中的又一种应用，它是微积分解决初等数学的一个生动实例，这充
2、分体现了新教科书对培养学生应用数学的意识的重视大家知道，微积分是十七世纪数学发展史上的里程碑，是人类思想史上的重大飞跃， 微积分可以解决初等数学难以解决或无法解决的许多问题通过这部分内容的学习， 可使旋转体的体积在理论上解决得更彻底，并使学生对体积的概念有较完整的认识2“旋转体的体积”这部分内容包括旋转体的定义、旋转体的体积公式的推导、旋转体体积的计算 教学中以旋转体体积的计算为重点；由于旋转体体积公式的推导比较抽象，空间想象能力要求较高，故为本节课的教学难点；突破难点的关键是数形结合，充分采用现代化的多媒体教学手段显示旋转体的形成过程，在计算机中虚拟几何体的分割过程的“真实”情景，“放大”微
3、观世界，使抽象问题形象化、直观化3考虑到本课内容比较抽象，故宜采用启发引导、讲练结合的教学方法，同时采用计算机辅助教学在具体教学中要注意到以下几点：关于旋转体的定义，要与以前学习过的柱、锥、球等旋转体的定义结合起来教学，使学生明确旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴柱、锥、球等旋转体的平面图形都是直线或圆弧，而在这里是一般的曲线关于旋转体体积公式的推导， 其实在第二册 ( 下) 关于体积公式的推导过程中已经渗透了定积分的思想方法 教学中，可通过对球的体积公式的推导及曲边梯形面积公式的推导作一简单的回顾，采用类比的方法，遵循“有限无限有限、连续离散连续、精确近似精确”的原则，
4、化曲为直，化整为零，变未知为已知关于旋转体体积公式的计算， 课本例 3显然可直接应用圆锥的体积公式求出圆锥的体积之所以安排这道例题， 是为了让学生明白用定积分求旋转体的体积是一种普遍适用的方法，教学中切勿一带而过在讲完例3 后，要注意总结求旋转体体积的解题步骤本课的练习要紧紧围绕旋转体的体积公式展开，让学生通过一定的练习， 加深对定积分概念的了解，并达到熟练掌握公式的教学效果4本节课是定积分应用的一个高潮，有必要在知识和能力方面有所突破，即安排一些综合性较强的例题或课外练习题，让学有余力的学生继续探讨， 以提高他们分析问题与解决实际问题的能力教学过程(一) 铺垫引入，创设情景1铺垫引入数轴可表
5、示什么样的图形？什么样的图形叫做圆？什么样的图形叫做球？ ( 多媒体演示球的形成过程 ) 2创设情景(1)问题一下列几何体是如何形成的？( 多媒体演示形成过程 ) 圆柱圆锥花瓶归纳：什么叫旋转体？ ( 平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周所成的几何体) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 旋转体形成的两个要素是什么？( 一是被旋转的平面图形，二是旋转轴) 举一些日常生活中的旋转体的例子，并说明被旋转的平面图形及旋转
6、轴分别是什么(多媒体演示一些旋转体 ) (2)问题二如何求旋转体的体积？学生展开讨论并提出解决的几种方案，估计会出现下列情况：对于特殊的旋转体 ( 如球、圆柱、圆锥 )，可直接运用公式求解；对于一般的旋转体，可用物理中测量不规则物体的体积的方法求解；像求曲边梯形的面积一样，推导出一个计算一般的旋转体的体积公式(二) 类比启迪，推导公式1复旧：先回忆曲边梯形面积公式的推导思路，再回顾球的体积公式的推导过程(多媒体演示 ) 2类比：将球的体积公式的推导过程与曲边梯形面积公式的推导过程进行对比：有限无限有限，精确近似精确3探求：在计算机中虚拟旋转体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，然后由师
7、生共同归纳旋转体体积的推导过程( 如图 551) 分割：将闭区间 a ，b 用 n1 个分点 ax0 x1x2, 近似代替：过各分点xi作垂直于 x 轴的平面，将旋转体割成厚度个小圆柱体，它的底面半径可以用区间上任一点i的纵坐标 f( i) 来近就可用与这个区间对应的小圆柱的体积来近似代替作和：当 n 很大时，每个薄片可以近似地看作圆柱，圆柱的底面半径近似地等于区间左端点的函数值这样旋转体的体积近似地等于n 个圆柱的体积之和求极限：4深化：CA由 yx2、y0、x1、x2 所围成的曲边梯形的面积B由 yx、y0、x1、x2所围成的曲边梯形的面积C由 yx、y0、x1、x2所围成的图形绕x 轴旋
8、转所得旋转体的体积D由 yx2、y0、x1、x2 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积思考 2：猜想下列图中阴影部分的图形绕对称轴旋转所得的旋转体的体积公式(三) 范例讲解，运用公式三角形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积解：依题意知直线与两坐标轴围成的图形为OSA ，其中 S(h，0) ，A(0，r) OSA 绕 x 轴旋转而成的旋转体为圆锥由旋转体的体积公式得：归纳：求旋转体体积的解题步骤：根据题意画出草图；找出曲线范围，确定积分上、下限和被积函数；写出求体积的定积分表达式；计算定积分，求出体积变式：利用旋转体的体积公式，求出底半径为r 、高为 h 的圆锥的体积公式学生讨论后，归纳出两
9、种解法：解法一：( 以高所在直线为x 轴，以底面半径所在直线为y 轴， 建立直角坐标系求解 ) 解法二：( 以高所在直线为y 轴，以底面半径所在直线为x 轴， 建立直角坐标系求解 ) 绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积的2 倍，y 轴旋转一周所成旋转体体积的2 倍转而成的旋转体的体积(四) 练习反馈，巩固公式CA单位圆面积的一半名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - B以 1 为半径的球的表面积的一半C以 1 为半径的球的
10、体积的一半D以 1 为半径的球的体积练习 2：由曲线 ysinx ，x0 ， 与 x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是 _ 练习 3：椭圆 x23y212 绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积是DB9D32练习 4：抛物线 y24x 被其通径所截得部分绕x 轴旋转得旋转体的体积是AA2B3C6D8转体的体积是 _ (五) 归纳小结，内化公式布置作业1必做题：教科书习题44 第 2、4 题2选做题：(1)复习参考题四 (B 组) 第 5 题(2)(2001 年全国新课程高考数学试题) 某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴 (即双曲线的虚轴 ) 旋转所成的曲面，其中A、A1
11、是双曲线的顶点， C、C1是冷却塔上口直径的两个端点， B、 B1是冷却塔下口直径的两个端点， 已知 AA114m ， CC118m ，BB122m () 建立坐标系并写出该双曲线方程；() 求冷却塔的容积 ( 精确到 10m3，塔壁厚度不计， 取 3.14) 说明：本题是一道综合性较强的试题， 主要考查了选择适当坐标系建立曲线方程和解方程组等基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -