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1、4.3.1 定积分在几何上的应用教材：高等数学第一册第四版，四川大学数学学院高等数学教研室，2009 第四章第三节 定积分的应用教学目的：1. 理解掌握定积分的微元法；2. 会用微元法计算平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积。教学重点：定积分的微元法。教学难点：计算平面图形的面积、立体体积、平面曲线弧长、旋转曲面面积时的微元如何选取和理解。教学时数：3学时教学过程设计：通过大量例题来理解用微元法求定积分在几何上的各种应用。部分例题：(1)求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间a,b上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b 和轴所围成的
2、图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。 例如：求曲线和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。 分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。 所以该曲边梯形的面积为 (2)求旋转体的体积 (I)由连续曲线y=f(x)及直线x=a、x=b(ab) 及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为。()由连续曲线y=g(y)及直线y=c、y=d(cd)及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为。(III)由连续曲线y=f(x)( )及直线x=a、x=b( b)及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
3、周而成的旋转体的体积为。例如：求椭圆所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋转体的体积。 分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆，及x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆，及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆所围成的图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为(3)求平面曲线的弧长 (I)、设曲线弧由参数方程给出其中在上连续，则该曲线弧的长度为。()设曲线弧的极坐标方程为，其中在上连续，则该曲线弧的长度为。例如：求曲线从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。解：，于是弧长微元为，。所以，所求弧长为：。第 2 页