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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 教案一般高中课程标准选修 2-1 2.3.2 双曲线的简洁几何性质（第一课时）教材的位置与作用本节内容是在学习了曲线与方程、 椭圆及其标准方程和简洁几何性质、双曲线及其标准方程的基础上,进一步通过双曲线的标准方程推导争论双曲线的几何性质；（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质；）通过本节课的学习,使同学深刻懂得双曲线的几何性质,体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法；二、 教案目标（一）学问与技能 1、明白双曲线的范畴、对称性、顶点、离心率； 2、懂得双曲线的渐近线；（二）过程与方法 通过联想椭圆几何性质的推导方法, 用类比方法
2、以双曲线标准方程为工具推导双曲线的 几何性质,从而培育同学的观看才能、联想类比才能；（三）情感态度与价值观 让同学充分体验探究、发觉数学学问的过程,深刻熟悉“ 数” 与“ 形” 的关系,培育学 生勇于攀登科学高峰的精神；三、教案重点难点 双曲线的渐近线既是重点也是难点；四、教案过程 一 课题引入 1、前面我们学习了椭圆及其标准方程,并由标准方程推导出椭圆的几何性质,椭圆的 几何性质有哪些？ （老师用课件引导同学复习椭圆的几何性质,双曲线及其标准方程； ）今日我们以标准方程为工具,争论双曲线的几何性质；【板书】：双曲线x2y21 a,0b0 的性质）a2b22、双曲线有哪些性质呢？（范畴、对称性
3、、顶点、离心率、渐近线；3、双曲线的这些性质详细是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方 法,推导出双曲线的几何性质； （争论）1 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （二）双曲线的性质1、范畴：把双曲线方程x2xy21变形为x21y2；a 或xa；2222 baba由于y20,因此2a2,所以x21,即x2b2a又由于y20,故yR；b2【板书】：1、范畴：xa 或xa,yR；2、对称性：下面我们来争论双曲线的的对称性,哪位同学能依据双曲线x2y21的标准方程,a2b2判定 它的对称性？在标准方程
4、中,把x 换成x ,或把 y 换成y ,或把 x , y 同时换成x ,y 时,方程都不变,所以图形关于y 轴、 x轴和原点都是对称的；【板书】：2、对称性：双曲线的对称轴是 x 轴、 y 轴,原点是它的对称中心；3、顶点：提问：（1）双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？在标准方程x2y21中,令y0得xa；令x0,就 y 无解；a2b2这说明双曲线有两个顶点,A 1a,0,A 2a,0 ；上位于两顶点间的线（2）如图,对称轴y段A 1A 2叫做双曲线x2y21的实轴,其a22 b长度为2 ；尽管此B2双曲线与y 轴无公共点,但 y 轴上的两A 1oA 2x个特殊的点B 10,b,B 20,b
5、；B 1我们称线段B 1B2为双曲线的虚轴,其长度为 b 2 ；【板书】：3、顶点：A 1a0, ,A 2a0,称A 1A 2为实轴,B 1B 2为虚轴,其中B 10,b,B 20,b；2 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 特殊地,当ab时,双曲线x2y21的实轴长与虚轴长相等,称其为等轴双曲线a2b2x2y2a2；4、离心率【板书】：4、定义双曲线的焦距与实轴长的比ec,叫做双曲线的离心率；a提问：（1）双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？（2）双曲线的外形与离心率有什么关系？由等式c2a2b2,可知：
6、ecc2a2a2b21b21b2aa2a2a【板书】：双曲线的离心率e1且 e越大双曲线的开口就越开阔；5、渐近线：提问：（1）椭圆与双曲线仍有一个最大的不同是曲线的范畴及其走向；曲线的范畴与走向是我们争论曲线性质的一个重要方面,由于它可以为我们绘制曲线的草图供应依据,那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢？谁能比较精确地画出双曲线？2 2在第一象限内双曲线 x2 y2 1 可以化为 y b x 2a 2,是增函数；a b a由于 x 2a 2x 2,所以 y bx 2a 2 bx 2 bx,即 y b x,这个不等式意味着什a a a a么？（它表示直线 y b x 下方半个平面区域；）a
7、（用刚才作矩形的方法画出两条直线 y b x,然后指出区域；）a由于双曲线和直线 y b x 都关于坐标轴对称,所以双曲线（两支）在直线 y b x 之a a间,这样,我们进一步缩小了双曲线所在区域的范畴；提问：（2）直线ybx与双曲线x2y21有什么联系呢？22aab（用几何画板课件演示） ：随着x无限增大时,点Mx ,y到直线ybx的距离就无限趋于零；a【板书】：5、渐近线：直线ybx叫做双曲线x2y21 a0,b0的渐近线；直线aa2b23 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - yax叫做双曲线y2x21a
8、,0b0 的渐近线；a2b2b练习：求以下双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）；2 2（1）4 x 9 y 36 的渐近线方程是：2 x 3 y 0（2）4 x 2 9 y 2 36 的渐近线方程是：2 x 3 y 0（3）25 x 2 4 y 2 100 的渐近线方程是：5 x 2 y 0（4）25 x 2 4 y 2 100 的渐近线方程是：5 x 2 y 0可以发觉,双曲线方程与其渐近线之间好像存在某种规律；（启示同学争论,归纳） ；把双曲线方程中的常数项改为零,会怎样呢？x2y20,即yx0yxy0,这就表示两条渐近线22abababxy0 或x；abab【板书】：结论：把双曲线标准
9、方程中等号右边的 线方程；（三）小结1 改成 0,然后变形,即可得其渐近性标准方程x2y21 a0 ,b0 y2x21a,0b0 a2b2a2b2xyyF2图形A 2A 1oB 2A 2xOA 1焦点xRF 1B 1F（1c,0）, F2c ,0 F 1,0c,F20 ,c范畴a 或xa,yRya或ya,x质对称性关于 x 轴, y 轴,原点都对称顶点A 1a,0,A 2a,0 A 10 ,a,A 20,a4 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 离心率ec1a渐近线ybxyaxab（四）典型例题与变式训练例1、
10、求双曲线9y216x2144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程；解：把方程9y216x2144化为标准方程y2x21y4x；4232由此可知,半实轴长a4,半虚轴长b3；ca2b22 42 35焦点坐标是0,5,0 ,5 ；离心率ec5；渐近线方程为a43归纳总结：第一把方程化为标准方程,看准焦点在哪条轴上,得到a,b,c 的值,再由双曲线的几何性质求解；【变式训练】：求双曲线9y216x2144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程；例2、 求适合以下条件的双曲线标准方程（1） 顶点在 x 轴上,虚轴长为12,离心率为5 ；4（2） 顶点间距离为 6,渐近线方程为
11、y3x；2解：（1）设双曲线的标准方程为x2y21a,0b0 ；a2b2由题意知2b12,c5且c2a2b2；a49 2；b6 ,c10 ,a8 ,所求双曲线方程为x2y21；6436（2）当焦点在 x 轴上时,由b3且a3,ba25 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所求双曲线方程为x24y21981当焦点在 y 轴上时,由a3且a3,b2；b2所求双曲线方程为y2x2194归纳总结：第一观看条件能否确定焦点位置,再采纳待定系数法设出所求双曲线的标准方程,在由条件求出 a,b,c 即可；【变式训练】：2、求
12、符合以下条件的双曲线的标准方程：（1） 顶点在 x 轴上,两顶点间的距离是8,e5；4（2） 焦距是 16,e4；3（五）课堂总结图形F1椭圆F 2x1A双曲线A 2x（六yy）作业：B 2教材o第o61B 1页：习题标准方程x2y21 ab0 x2y21 a0 ,b02.3 ,板第a2b2a2b2范畴axa,bybxa 或xa,yR2、3对称性关于 x 轴, y 轴,原点都对称两关于 x 轴, y 轴,原点都对称顶点题；a ,0 ,0 ,b a,0五、0ec1ec1离心率书aa渐近线无ybx设a计6 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - -
13、- - - - - - - 六、2.3.2 双曲线的简洁几何性质课堂设计说明2 2双曲线 1、本节课的内容是通过双曲线标准方程推导争论双曲线的几何性质,a xb y 1 a 0 , b 0 的性质 5、结论：采纳类比椭1 、范畴：圆的几何性质的推导方法,让同学自己推导出双曲线的几何性质；在教案中,凡 x a 或 x a,y R；例题是经过努力同学自己能得到的结论应当让同学自己得到,这样有利于调动同学学2 、对称性： 双曲线的对称轴是 x 轴、 y 轴,课堂训练习的积极性, 有利于激发同学的学习爱好,使同学的主动性得到淋漓尽致的发挥,3 、顶点：A 1 a 0, , A 2 a 0, ,称 A 1A 2 为实从中提高同学的思维才能和解决问题的才能；轴,2、本节课的难点是双曲线的渐近线,故实行了有目的的,细心奇妙地存疑设问,B 1B 为虚轴,其中 B 0 , b , B 0 , b ；4、渐近线：直线 用悬念激发同学的乐趣, 促进摸索； 结合同学实际, 把“ 共渐近线的双曲线”y ba x 叫做、“ 离心率的问题” 放到下一节课来完成；七、课后反思：7 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页