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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者2002 年全国硕士讨论生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 （此题共 5 小题,每道题3 分,满分 15 分把答案填在题中横线上）（1）设函数fx 1tan ex,x,0在x0处连续,就 a_arcsinx 2 ,a e 2xx0【答案】2【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】【详解】此题涉及到的主要学问点：如函数fx在xx0处连续,就有 ;lim x x 0fxlim x x 0fxfx0_解析：lim x 0f lim x 01etanx=lim x 0tanx=2arcsinxxlim x 0f x 22li
2、m x 02 aexa f0a,f x 在x0处连续f0 f0 f0,即a2.（2）位于曲线yxex,0x下方, x 轴上方的无界图形的面积是【答案】 1 【考点】定积分的几何应用平面图形的面积【难易度】【详解】解析：所求面积为S0xexdx0xdex0xex00exdxex01其中,x limxexx limx洛必达x lim10. | x1 2的特解是 _x ex e（3）微分方程yyy20满意初始条件yx01,y【答案】yx1【考点】可降阶的高阶微分方程名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者【难易度】【
3、详解】此题涉及到的主要学问点：可降阶的高阶微分方程,如缺 x ,就令yp ,ypdp. C .以初始条件xy01,y01代dy解析：方法 1：将yyy20改写为 yy0,从而得yy2入,有11C ,所以得yy1.即 2yy1,改写为y21.解得yxC2,yxC 2.22再以初值代入,1C 2所以应取 且C21.于是特解yx1. pdp. dpdp dy方法 2：这是属于缺x 的类型yf y y.命yp ydxdy dxdy原方程yyy20化为ypdpp20,得p0或ydpp0dydyp0即dy0,不满意初始条件yx01,弃之,dx201, x01可将C 先定出来：由ydpp0按分别变量法解之,
4、得C 1 .y由初始条件yxdy21C 1,C 11.于是得dy1,解之,得y2xC 2,yxC 2.以y01代入,得212dx2y1C 2,所以应取“+” 号且C21.于是特解是yx1. （4）lim n11cos1cos21cosn _nnnn【答案】22【考点】定积分的概念【难易度】名师归纳总结 【详解】解析：记lim nun111n1cosn1cos2 n.1cosn1in1cosi,第 2 页,共 16 页nnn1n所以u nlim ni1cosi11 cosxdxnn0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者（5）矩阵0212cos 2
5、xdx21cosxdx21cosxdx02020222sinx12 2. 022222的非零特点值是_222【答案】 4 【考点】矩阵的特点值的运算【难易度】2 2 2 2 0 02【详解】解析：E A 2 2 2 0 0 1 1 42 2 2 2 2 2 2 2 2故 4 是矩阵的非零特点值 .（另一个特点值是 0 二重 ）二、挑选题（此题共 5 小题,每道题 3 分,满分 15 分每道题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）2（1）设函数 f u 可导,y f x 当自变量 x 在 x 1 处取得增量 x 0 . 1 时,相应的函数增量 y 的线性主部为
6、 0 1.,就 f 1 （）（A ） 1（B）0.1（ C） 1（D）0.5【答案】 D 【考点】导数的概念、复合函数的求导法就【难易度】【详解】此题涉及到的主要学问点：名师归纳总结 dy 为y 的线性主部；x；x x 0xo x . 第 3 页,共 16 页fgx fgxg解析：在可导条件下,ydydx当dyx x 00时dyx x 0y 的线性主部,x称为dxdx现在dyxfx22x x,以x1,x0.1dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者代入得dy dxxf1 0.2,由题设它等于0.1,于是f10.5,应选（ D）. （2）设函数f
7、x连续,就以下函数中必为偶函数的是（）.（A ）xftxf2tdt2dt.（ B）00（C）xtftftdt.（ D）xtftftd t.00【答案】 D 【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】 解析： t f t ft为 t 的奇函数,x 0 t f t ft dt为 x 的偶函数,（D）正确,（A）、（C）是 x 的奇函数,（B）可能非奇非偶.例如f t 1t ,均不选 . （3）设yy x是二阶常系数微分方程ypyqy3 ex满意初始条件y0 y0 0的特解,就当x0时,函数ln 1xx2的极限（）y（A ）不存在（B）等于 1（ C）等于 2（D）等于 3【答案
8、】 C 【考点】洛必达法就、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】名师归纳总结 【详解】解析：方法 1：lim x 0ln1x2lim x 0x2洛lim x 02x洛2lim x 0y2222. 第 4 页,共 16 页y x y x y x 1方法 2： 由y0y00,y01.由佩亚诺余项泰勒公式绽开,有1=lim x 01y x 00x2o x2,代入,有lim x 0ln1x2lim x 01x2x2o xo x22y x 2x22（4）设函数yfx在0 ,内有界且可导,就（）（A ）当lim xfx 0时,必有lim xfx 0 .（B）当lim xfx 存在时,必有lim xfx .0（C
9、）当lim x 0fx 0时,必有lim x 0fx.0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者（D）当lim x 0fx 存在时,必有lim x 0fx0 .【答案】 B 【考点】导数的概念【难易度】【详解】解析：方法 1：排斥法（ A）的反例 f x 1x sin x 2, 它有界,f 1x sin x 22cos x 2, lim x f x 0,但 lim x f 不存在 .C与D的反例同（ A ）的反例 .x lim 0 f x 0 ,但x lim 0 f 1 0,（C）不成立；lim f 1 0,（D）也不成立 .（A）、（C）、（D）
10、都不对,应选（B）x 0方法 2：证明（ B）正确 .设 limx f x 存在,记为 A ,求证 A 0 .用反证法, 设 A 0 .如 A 0,就由保号性知,存在 x 0 0,当 x x 时 f A,在区间 x 0 , x 上对 f x 用拉格朗日中值定理2知,有 f x f x 0 f x x 0 f x 0 A x x 0 , x 0 x .2x ,从而有 f ,与 f x 有界冲突 .类似可证如 A 0 亦冲突 . （5）设向量组 1 , 2 , 3 线性无关, 向量 1可由 1 , 2 , 3 线性表示, 而向量 2不能由 1 , 2 , 3 线性表示,就对于任意常数 k ,必有（
11、）（A ）1 , 2 , 3 ,k 1 2 线性无关（ B）1 , 2 , 3 ,k 1 2 线性相关（C）1 , 2 , 3 , 1 k 2 线性无关（ D）1 , 2 , 3 , 1 k 2 线性相关【答案】 A 【考点】向量的线性表示【难易度】名师归纳总结 【详解】解析：方法 1：对任意常数 k ,向量组1,2,3,k,12线性无关 . 第 5 页,共 16 页用反证法,如1,2,3,k12线性相关,因已知31,2,3线性无关,故k12可由1,2,3线性表出 . 线性表出,设为设k12112233, 因已知1可由1,2223l331l11l22l33代入上式,得21l112l- - -
12、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者这和2不能由1,2,3线性表出冲突 . 故向量组1,2,3,k12线性无关,应选（ A）. 方法 2：用排除法取 k 0,向量组 1 , 2 , 3,k 1 2 即 1 , 2 , 3,2线性相关不成立, 排除（B）.取 k 0,向量组 1 , 2 , 3,1 k 2,即 1 , 2 , 3,1线性无关不成立,排除（C）. k 0 时,1 , 2 , 3,1 k 2 线性相关不成立（证法与方法 1 类似,当 k 1 时,选项（ A）、（D）向量组是一样的,但结论不同,其中（A ）成立,明显（D）不成立 .）排除（ D）.
13、 三、（此题满分6 分）r1cos,求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程已知曲线的极坐标方程是6【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】【详解】此题涉及到的主要学问点：名师归纳总结 切线方程：yy0y0xx 03,即xy3350第 6 页,共 16 页法线方程：yy01xx 0y0解析：极坐标曲线r1 cos化成直角坐标的参数方程为x1 cos cos即xcos2 cosy1 cos sinysincos sin曲线上6的点对应的直角坐标为3,3 1 ,4 2,324dy6dy6cos2 sin2 cos61.d dxdxsin2cos sind于是得切线的直角坐标方程为y13
14、x3242444- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者法线方程为y1 2311 1x33,即xyf3t10. 42444四、（此题满分7 分）,x0 ,求函数Fxxtd的表达式3x22x2 x x e设fx,0x,11ex1 2【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】解析：当1x0时F x x2 t3 t22dt t21t3x11x 3x21.11xx 0td1xln 21222当 0x1时,F x xf t dt0f t dtxf t dt110t et te2 1dtt21t301x202t e11txxdt1x1
15、xt e dt2t e100t e12ex01et1exx1ln1etxexln1e2021所以F x 13 xxx211ln 2,当1x022lne1x1当0x1,且满意x ex e2五、（此题满分7 分）已知函数fx在0 ,内可导,fx,0lim xfx1lim h 0fxhx 11,hexfx求fx【考点】导数的概念、一阶线性微分方程【难易度】【详解】此题涉及到的主要学问点：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者lim 011e；fx lim 0fxfx,其中可以代表任何形式；f x 解析：f xhx
16、1e1lnfx hx,hhf f x lim h 01lnf xhx lim h 01ln1f xhx f x hf x hf x xf xhx lim h 01lnf xhx f x lim h 0hf x f x f x xf ,x0.f x 从而得到lim h 0f xhx 1exf 由题设1hf x exf x 于是推得xf 1,即f 1f x xf x x2解此微分方程,得lnf x 1C 1x1改写成f x Cexyyx 与直线x,1 x2以及1再由条件 lim xf x 1,推得C1,于是得f x ex.六、（此题满分7 分）求微分方程xdyx2ydx0的一个解yyx,使得由曲线
17、x轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值【难易度】名师归纳总结 【详解】此题涉及到的主要学问点：Vxbf2x dx2 x1CxCx2,1x2第 8 页,共 16 页a解析：一阶线性微分方程y2y1,由通解公式有xye2dxe2dxdxCx21dxCxxx2x由曲线yx2 Cx 与x1,x2及 x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者2 2 2 31 2 15 7V 1 x Cx dx 5 C2 C3 , 令 dV 62C 15
18、 0 ,得 C 75 .dC 5 2 124又 V C 0,故 C 75 为 V 的惟一微小值点,也是最小值点,124于是所求曲线为 y x 75 x 2.124七、（此题满分 7 分）某闸门的外形与大小如下列图,其中直线 l 为对称轴,闸门的上部为矩形 ABCD ,下部由二次抛物线与线段 AB 所围成当水面与闸门的上端相平常,欲使闸门矩形部分承担的水压力与闸门下部承担的水压力之比为 5 : 4,闸门矩形部分的高 h 应为多少 m （米）？【考点】定积分的物理应用压力【难易度】名师归纳总结 【详解】解析：建立坐标系,细横条为面积微元,面积微元dA2xdy ,第 9 页,共 16 页因此压力微元
19、dp2gx 1hy dy平板 ABCD 上所受的总压力为P 11h2gx 1hy dy0其中以x1代入,运算得1P2 gh . 抛物板 AOB 上所受的总压力为P 21 02gx1hy dy,其中由抛物线方程知xy ,代入,运算得P 24g 1h2,315由题意P 1:P 25 : 4,即,41h225h4315解之得h2（米）（h1舍去）,即闸门矩形部分的高应为2m . 3八、（此题满分8 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者设0x 13 ,x n1x n3xnn,12 ,证明数列xn的极限存在,并求此极限【考点】数列的极限【难易度】【详
20、解】解析：方法 1：考虑x33x n32x n9x n2,3, L有上界3 2. （1）x n13x n3x n4 322x n3x n2x n23x n9x n3 224 330x n3x nx n3x n22所以nx13（当n1,2,L）,即n（当n2,3,L ）,数列22再考虑名师归纳总结 （2）x n1x nx n3x nx nx n3x nx n20,3x 13.第 10 页,共 16 页x n3x nx nx n32 x nx n0.n2,3,L . x n3x n所以x n单调增加 .单调增加数列nx有上界,所以 lim nx存在,记为 na .3由x n1x n3x n两边取极
21、限,于是得aa 3a ,2 a23 a得a3或a0,但因nx0且单调增,故a0,所以lim nx n3. 221x 1方法 2：由0x 13知1x及（3x 1）均为正数,故0x 2=x 13x 1 22设0kx3,就x k1=x k3x k01x k3x k3.2223 2. n2有x n由数学归纳法知,对任意正整数x n1-x n=x n3x nx nx n3x nx n2x n32x nx n0.x n3x nx nx n3x n0,所以x n单调增,单调增加数列x n有上界,所以 lim nx 存在,记为a. n再由x n1x n3x n两边命 n取极限,得aa3a ,a3或a2- -
22、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者但因nx0且单调增加,故a0,所以a3. 12九、（此题满分8 分）2alnblna设0ab,证明不等式a2b2baab【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式,方法 1： 由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理. 0. lnblnalnxx1,0ab .而11a2a2. bab2b其中其次个不等式来自不等式a2b22ab （当 0ab 时）,这样就证明白要证明的左边. 方法 2： 用单调性证,将b 改写为 x 并移项,命 lnxlna2 a xa,有 2 ax2 1a22
23、 ax24 ax xx2ax2a 24ax x2a 0（当 0ax ）,xa22x ax2a2x2而推知当xa0时 0,以 xb代入即得证明 . 再证右边不等式,用单调性证,将b改写为x并移项,命 lnxlna1xa,ax有 0,及 1121x2axa2 0,xax x2x ax所以当xa0时, 0,再以 xb 代入,便得lnblna1ba,即lnblna1. abbaab右边证毕 . 名师归纳总结 十、（此题满分8 分）f0 h0,f020,f00. f0是比第 11 页,共 16 页设函数fx在x0的某邻域内具有二阶连续导数,且时,1f2fh3f3 h证明： 存在惟一的一组实数1,2,3,
24、使得当h0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者2 h 高阶的无穷小【考点】无穷小的比较,洛必达法就【难易度】【详解】解析：方法 1：由题目,去证存在唯独的一组1,2,3, 3（1）Llim h 01f h 2f2 23f3 f00h由此知,分子极限应为0,由f x 在x0连续,于是推知,应有1231.由洛必达法就,Llim h 01f h 2f2 23f3 f0（2）hlim h 01f 22f2 33f3 2 h分子的极限为lim h 01f 22f2 33f3 1223f0,如不为 0 ,就式（ 1）应为,与原设为 0 冲突,故分子的极限应
25、是0 ,即122330（ 3）对（ 2）再用洛必达法就,Llim h 01f 42f2 93f3 1142. 93f022由f00,故应有1429301112（4）将（ 1）、（ 3）、（ 4）联立解之,由于系数行列式0,123由克莱姆法就知,存在唯独的一组解满意题设要求,证毕149方法 2： 由佩亚诺余项泰勒公式f h f0f0h1f02 h2 o h,2f2 f02f0h2f0h2o2h2,f3 f03f0h9f02 ho h 32,2代入名师归纳总结 0lim h 01f h 2f2 3f3 f0第 12 页,共 16 页2 h- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
26、- - - - 超级狩猎者lim h 01231 012233f0h114293f0h22h 21 1 o h22 o 22 h3 3 o h2,h2上面中其次项极限为0,所以第一项中应有1231111122330由于系数行列式12320,142930149由克莱姆法就知,存在唯独的一组解满意题设要求,证毕.十一、（此题满分6 分）已知A,B为 3阶矩阵,且满意2A1BB4E,其中 E 是 3 阶单位矩阵（1）证明：矩阵A2E可逆；120（2）如B120,求矩阵 A 002【考点】逆矩阵的概念、矩阵的运算【难易度】【详解】此题涉及到的主要学问点：如有ABE就称A,B互逆 . 4A2 8E解析：
27、（1）由题设条件21 A BB4 E两边左乘 A ,得2 BAB4A即AB2 B4AA2E B4A8E8 EA2EB4 8E4 E ）. A2 1B4 E8得证A2E 可逆（且A2 11B82 方法 1：由（ 1）结果知名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者名师归纳总结 BA2 1B4 18B4 1100第 14 页,共 16 页8A8B4 12E1204003204E120040120002004002320 100120 0B4E E120 010320 100002 001002 001120 0101200