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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第九讲:二次函数十大基本问题学问模块与方法 学问模块一:二次函数的定义问题1二次函数的概念:一般地,形如yax2bxc( a, , 是常数,a0)的函数,叫做二次函数; 这里需要强调: 和一元二次方程类似,二次项系数a0,而 b, 可以为零 二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数yax2bxc 的结构特点:x 的二次式,x 的最高次数是2(1)等号左边是函数,右边是关于自变量(2) a, , 是常数, a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项学问、题型、方法例 1:如ym3 x2 m3m2是二次函数,就m;变式练习:
2、已知y22 m7m9x2 m9m19,试争论 m 分别为何值时为正比例函数、反比例函数、二次函数?课堂演练一:1. 二次函数y2x3 26的二次项系数是,一次项系数是,1000 米,设;常数项是;2. 如 ym1xm2m3x1 是二次函数,就m 的值为 _3. 已知函数y2 xxx14,就自变量 x 的取值范畴是;34. 某广告公司欲设计一幅周长为12 米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米矩形的一边长为x 米,所花费用为y 元;就 y 与 x 之间的函数关系式为5. 已知函数y2m12 x 3 m2,当 m 为何值时:( 1) y 是 x 的正比例函数,且y 随着 x 增大而增大;( 2)函数
3、图象是位于其次、四象限的双曲线;( 3)函数图象是开口向上的抛物线;名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问模块二:二次函数的图象及其性质1. 二次函数基本形式:y2 ax 的性质:性质a 的肯定值越大,抛物线的开口越小;a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a0向上0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而增大;x0时, y 随x 的增大而减小;x0时, y 有最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小;x0时, y 随x 的增大而增大;x0时, y 有最大值 0 2. yax2
4、c 的性质:上加下减;a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而增大;x0时, y 随x 的增大而减小;x0时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小;x0时, y 随x 的增大而增大;x0时, y 有最大值 c 3. ya xh2的性质:左加右减;名师归纳总结 a 的符号开口方向顶点坐标对称轴x性质第 2 页,共 18 页a0向上h,0X=h h 时, y 随 x 的增大而增大;xh 时, y 随x 的增大而减小;xh 时, y 有最小值 0 a0向下h,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而减小;xh 时,
5、 y 随x 的增大而增大;xh 时, y 有最大值 0 4. ya xh2k 的性质:对称轴x性质a 的符号开口方向顶点坐标h 时, y 随 x 的增大而增大;xh 时, y 随a0向上h,kX=h x 的增大而减小;xh 时, y 有最小值 k a0向下h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而减小;xh 时, y 随x 的增大而增大;xh 时, y 有最大值 k - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数图象的过点问题与交点问题 中考方法点拨 :二次函数图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、代入求值问题 的综合,只要紧紧
6、抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满意 函数解析式,然后代入解析式可得方程(组),从而求解;学问、题型、方法例 2:已知抛物线y2 x和直线y3 xm都经过点(2 , n);(1)求 m , n 的值;(2)是否存在另一个交点?如存在,恳求出;变式练习:1( 2022,长春)已知,如图,直线l 经过A 4 0,和B0 ,4 两点,它与抛物线yax2在第一象限内相交于点P,又知AOP 的面积为 4,求 a 的值;yyB BPOAxOAx第 1 题图第 2 题图2( 2022,辽宁大连)如图10,直线yxm和抛物线yx2bxc都经过点A1,0,B3, 2( 1)求 m 的值和抛物线的解析
7、式;( 2)求不等式x2bxcxm的解集 直接写出答案;课堂演练二 :名师归纳总结 1二次函数yax22的图象经过两点A(4 , 2 ), B( m, 2 ),就 m;第 3 页,共 18 页2如抛物线ya2 xxc与 x轴的交点坐标是(1, 0)就第 4 题图ac;3. 已知函数yax2 a0 的图象与直线y2x3交于点( 1, b ),就求 a;4. 如图,是二次函数yax2 xa21 的图象,就a_- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数图象的单调性问题:中考方法点拨 : 判定二次函数的单调性要紧紧抓住抛物线的开口方向和对称轴
8、xb,2 a对称轴xb是二次函数单调性的分界点,即:2a1. 当a0时,抛物线开口向上:在xb范畴内, y 随 x 的增大而减小;在xb范畴内, y 随 x 的增大而增大;2a2a当xb时, y 有最小值4acab2;2a42. 当a0时,抛物线开口向下:在xb范畴内, y 随 x 的增大而增大;在xb范畴内, y 随 x 的增大而减小;2a2a当xb时, y 有最大值4 acab2;2a4学问、题型、方法例 3:(2022,浙江舟山)如图,已知二次函数yx2bxc的图象经过点(1,0),(1, 2),当 y 随 x 的增大而增大时,x 的取值范畴是;yyx2bxc1- 1 O1x( 1,-
9、2)例 3 图例 4:(2022,山东东营) 如 A(变式练习第2 题图2y 34xy 2513 y ),B(45 y ),C(41 y )为二次函数 4yx的图象上的三点,就y 1,y 2,y 的大小关系是() Ay 1y 2y By2y 1y Cy 3y 1y 2 D y 1变式练习:1( 2022,广安)如二次函数yxm 21当 x l 时, y 随 x 的增大而减小,就m 的取值范畴是()C m l D m l A m =l B m l 2( 2022,浙江温州)已知二次函数的图象0 x 3如第 9 题图所示;关于该函数在所给自名师归纳总结 变量取值范畴内,以下说法正确选项 0 第 4
10、 页,共 18 页A 有最小值0,有最大值3 B有最小值 1,有最大值C有最小值 1,有最大值3 D有最小值 1,无最大值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课堂演练三 :21当 2 x 2 时,二次函数 y x 的最小值是,最大值是;2( 2022,广东广州)以下函数中 ,当 x0 时 y 值随 x 值增大而减小的是()2 3 1A y = x By = x C y = 4 x Dy = x3( 2022,山东聊城)以下四个函数图象中,当 x0 Aa0 B b0 C c0 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18
11、页精选学习资料 - - - - - - - - - 2;(2022,湖北孝感)如图,二次函数学习必备ax欢迎下载c的图象与 y 轴正半轴相交,其顶点y2bx坐标为1 ,1 2,以下结论:ac0; a+b=0; 4acb2=4a; a+b+c0;其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4y 1 第 2 题图-O 1 x 第 4 题图第 3 题图名师归纳总结 3 ;( 2022 , 甘 肃 兰 州 ) 如 图 所 示 的 二 次 函 数yax2bxc 的 图 象 中 , 刘 星 同 学第 8 页,共 18 页观看得出了下面四条信息:(1)b24 ac0;(2)c1;(3)2ab0
12、;(4)a+b+c0;你认为其中错误的有()A2 个B 3 个C 4 个D 1 个4;( 2022,山东日照)如图,是二次函数yax2bxc(a 0)的图象的一部分,给出以下命题: a+b+c= 0; b2a; ax2+bx+c=0 的两根分别为3 和 1; a-2b+c0;其中正确的命题是;(只要求填写正确命题的序号)5;( 2022,广西南宁)已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图4 所示,有以下四个结论:b0c0b24ac0abc0,其中正确的个数有()A 1 个B2 个C3 个D4 个y y x=1 3 O 1 x - 1 O x 图 4 图 5 6;( 2022 甘肃兰州)已知
13、二次函数yax2bxc (a0)的图象如图5 所示,有以下四个结论:abc0; bac ; 4 a2 bc0; b24 ac0;其中正确的结论有()A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7;( 2007,天津)已知二次函数y学习必备欢迎下载0的ax2bxca图象如右图所示,有以下 5 个结论:abc0;即 a 的值不变;bac;4 a2 bc0;2 c3 b;abmamb,(m1 的实数)其中正确的结论有()A;2 个B;3 个C;4 个D;5 个8;(2007,南充)如右图是二次函数yax2bxc 图象的一部分,图
14、象过点 A( 3, 0),对称轴为x 1给出四个结论:b24ac; 2ab=0; abc=0; 5ab;其中正确结论是();( A)(B)(C)(D)二次函数的平移问题中考方法点拨: 抛物线的平移只转变它的位置,不转变其外形和开口方向,解决这类问题的关键是利用好平移特点,在图形的平移中,一个点的位置变化和一个图形的位置变化是一样的,只须抓住抛物线的顶点需要进行怎样的平移即可;解答思路 :先求出抛物线的顶点坐标,然后将顶点坐标进行平移转变,再利用顶点式求出平移后的抛物线解析式;学问、题型、方法(平移前先把二次函数的解析式化成顶点式)名师归纳总结 例 8:(1)(2022,山东滨州)抛物线yx22
15、3可以由抛物线y2 x 平移得到,就下2第 9 页,共 18 页3 个单位,再向下平移列平移过程正确选项 A ;先向左平移2 个单位 ,再向上平移3 个单位B;先向左平移2 个单位 ,再向下平移3 个单位C;先向右平移2 个单位 ,再向下平移3 个单位D;先向右平移2 个单位 ,再向上平移3 个单位(2)(2022,毕节) 把抛物线y2 xbxc的图象向右平移个单位,所得图象的解析式为y2 x3 x5,就()A;b3,c7B;b6,c3C;b9,c5D;b9,c21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课堂演练六 :名师归纳总结 1;(
16、2022 ,重庆江津)将抛物线y2 x2 x向上平移 3 个单位 , 再向右平移4 个单位等到第 10 页,共 18 页的抛物线是;2;( 2022,泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数y2x2的图象向上平移2 个单位,所得图象的解析式为()A y2x22By2x22Cy2 x22Dy2 x2 23;( 2022,兰州)把抛物线y2 x 向左平移 1 个单位,然后向上平移3 个单位,就平移后抛物线的解析式为()Ayx2 13 Byx2 13Cyx2 13 Dyx2 134.(2022,资阳市)在平面直角坐标系中,假如抛物线y2x 2 不动,而把x 轴、 y 轴分别向上、向右平移2 个单位,那么
17、在新坐标系下抛物线的解析式是 Ay2 x22 + 2 By2 x + 222 Cy2 x222 Dy2 x + 22 + 2 5;要得到二次函数yx22x2的图象,需将y2 x 的图象();A 向左平移2 个单位,再向下平移2 个单位B向右平移2 个单位,再向上平移2 个单位C向左平移1 个单位,再向上平移1 个单位D向右平移1 个单位,再向下平移1 个单位6;(2022,山西省) 抛物线y2x24x5经过平移得到y2x2,平移方法是 ()A向左平移1 个单位,再向下平移3 个单位B向左平移1 个单位,再向上平移3 个单位C向右平移1 个单位,再向下平移3 个单位D向右平移1 个单位,再向上平
18、移3 个单位7;假如将抛物线y2 xbxc沿直角坐标平面对左平移2 个单位长度,再向上平移3 个单位长度得到抛物线yx22x1;你能确定 b 、 c的值吗?试试看;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数图象与一次函数或反比例函数图象在同一坐标系内的问题中考方法点拨:(假设法与数型结合思想)学问、题型、方法例 9:(1)(2022,四川凉山州)二次函数yax2bxc 的图 1 像如下列图,反比列函数x 2ya与正比列函数ybx 在同一坐标系内的大致图像是()xy y y y y O x O x O x O x O 图 1 A B C
19、 D (2)(2022,兰州) 在同始终角坐标系中,函数 ymxm 和函数ymx22x( m 是常数,且m0)的图象可能是()课堂演练七 :名师归纳总结 1;(2022,山东德州) 已知函数yxaxb (其中 ab )的图象yx a第 11 页,共 18 页如下图所示,就函数yaxb的图象可能正确选项()y y y y 1 1 x 1 x -1 O -1 x O -1 1 O -1 O (A)(B)(C)(D)2;( 2022,安徽芜湖)二次函数y2 axbxc 的图象如图2 所示,就反比例函数x与一次函数ybxc 在同一坐标系中的大致图象是();- - - - - - -精选学习资料 - -
20、 - - - - - - - 3;(2022,烟台)二次函数y2 axbx学习必备欢迎下载3 所示,就一次函数ybxb24acc 的图象如图与反比例函数yabc在同一坐标系内的图象大致为(y x )y x xy y y 1O 1 x O x O x O O CDAB图 3 4;( 2022,吉林省长春市)已知反比例函数 y k的图象如下图 4 所示,就二次函数x2 2y 2 kx x k 的图象大致为()y y y y yO x O x O x O x O xABCD图 4 5;( 2022,湖南湘潭)在同一坐标系中,一次函数 y ax 1 与二次函数 y x 2a 的图像可能是()6;( 2
21、022,湖北荆门)函数 y=ax1 与 y=ax 2bx1(a 0)的图象可能是()名师归纳总结 yyyxaxyyax2bx 的图象第 12 页,共 18 页o 1xo 1xo 11o xA BCyD7;( 2007,云南双柏县)在同一坐标系中一次函数b 和二次函数y x O y x 可能为()y y O x O x O A B C D - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数的解析式问题:学问、题型、方法用待定系数法求二次函数的解析式常用三种方法:1已知抛物线过三点,设一般式 yax 2bxc2已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式
22、yaxh 2 k3已知抛物线与 x 轴有两个交点(或已知抛物线与 x 轴交点的横坐标) ,设两根式: y axx1x x2 (其中 x1、x2是抛物线与x 轴交点的横坐标)例 10:( 1)已知二次函数ya2 xbxc过(1, 0),(3,0),(0,3 ),求此抛物线 2的解析式;(2)二次函数图象经过 (3,8 ),对称轴x2,抛物线与 x 轴两交点间的距离为6,求二次函数的解析式;变式练习:1. 已知二次函数过点(2,0),( 4,0),顶点到 x 轴的距离为 1,求此函数的解析式;2. ( 2022,湖南湘潭节选)如图,直线 y 3x 3 交 x 轴于 A 点,交 y 轴于 B 点,过
23、 A、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C(3,0);求抛物线的解析式;yB 名师归纳总结 A O C x第 13 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课堂演练八 :1. 已知二次函数当x2时有最小值3,且过( 1,5),就二次函数的解析式为;2. 已知二次函数的图象经过点A (1,0),B(3,0)且顶点的纵坐标为8 ,就这个二次函数的解析式为;3. 如抛物线yax2bxc的顶点坐标为( 1,3),且与y2x2的开口大小相同,方向相反,就二次函数的解析式为;4已知一个二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三
24、点,求这个二次函数的表达式;5.(2022,贵州安顺) 如图, 抛物线 y=1x2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点, 与 y 轴交于 C 点,2且 A(一 1,0);( 1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标;( 2)判定ABC的外形,证明你的结论;( 3)点 Mm,0是x轴上的一个动点,当 CM+DM 的值最小时,求 m的值;6.(2022,贵阳)如下列图,二次函数 y= - x 2+2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A(3,0),另一个交点为 B,且与 y 轴交于点 C;( 1)求抛物线的解析式;( 2)求点 B 的坐标;( 3)该二次函数图象上有一点 的坐标;D(x,y)(其
25、中 x0,y0),使 SABD=SABC,;求点 D 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数与配方法问题:学问、题型、方法例 11:( 1)( 2022,济宁)将二次函数yx24x5化为yxh2k 的形式,就y;8x1的顶点坐标为()(2)(2022,泰安)抛物线y2x2(D)(2, -9)(A)(-2,7)(B)( -2,-25)(C)(2, 7)例 12:( 2022,广东肇庆)二次函数yx22x5有()D最小值6A最大值5B最小值5C最大值6变式练习:分别在以下范畴内求函数yx22x3
26、的最大值或最小值;(1)0x2;(2)2x3;课堂演练九 :名师归纳总结 1( 2022,上海)抛物线y x223 的顶点坐标是()第 15 页,共 18 页A (2, 3);B( 2,3);C(2, 3);D ( 2, 3)2( 2022,湖南永州)由二次函数y2x321,可知()A 其图象的开口向下B其图象的对称轴为直线x3C其最小值为1 D当x3时, y 随 x 的增大而增大32022 ,上海 抛物线y2xm 2n ( m,n是常数)的顶点坐标是()A m,nB m,nC m,n D m,n4( 20XX 年北京市)如把代数式x22x3化为xm2k 的形式,其中m k 为常数,就 mk
27、= ;5如一次函数ym1 xm的图象过第一、三、四象限,就二次函数ym2 xmx有()A 最大值mB最大值mC最小值mD最小值m4444- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数与一元二次方程问题:学问与方法 :1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴的交点情形):一元二次方程 ax 2bx c 0 是二次函数 y ax 2bx c 当函数值 y 0 时的特别情形;图象与 x 轴的交点个数由一元二次方程 ax 2bx c 0 的判别式来打算,详细如下:2(1)当 b 4 ac 0 时,图象与 x 轴交于两点 A x 1,0,B x 2,0 x 1 x 2 ,其中的 x 1,x 22是一元二次方程 ax 2bx c 0 a 0 的两根;这两点间的距 AB x 2 x 1 b 4 ac;a(2)当 0时,图象与 x 轴只有一个交点;(3)当 0 时,图象与 x 轴没有交点;1 当 a 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y 0;2当 a 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y 0;22. 抛物线 y ax bx c 的图象与 y轴肯定相交,交点坐标为 0 , c