2022年二次函数十大基本问题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第九讲：二次函数十大基本问题知识模块与方法知识模块一：二次函数的定义问题1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（ abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调： 和一元二次方程类似，二次项系数0a， 而 bc， 可以为零 二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2（2） abc， ， 是常数， a是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项知识、题型、方法例 1：若xmmmy232)3(是二次函数，则m。变式练习：已知xmmmmy19922)972(，试讨论m

2、分别为何值时为正比例函数、反比例函数、二次函数？课堂演练一：1. 二次函数62)3(2xy的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。2. 若 y(m1)xmm23x1 是二次函数，则m 的值为 _3. 已知函数4312xxyx，则自变量x的取值范围是。4. 某广告公司欲设计一幅周长为12 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000 米，设矩形的一边长为x米，所花费用为y元。则y与x之间的函数关系式为。5. 已知函数xmmy232) 12(，当m为何值时：（ 1）y是x的正比例函数，且y随着x增大而增大。（ 2）函数图象是位于第二、四象限的双曲线。（ 3）函数图象是开口向上的抛物线。精选学习资料

3、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习必备欢迎下载知识模块二：二次函数的图象及其性质1. 二次函数基本形式：2yax 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 2yaxc 的性质：上加下减。3. 2ya xh的性质：左加右减。4. 2ya xhk的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x 的增大而减小；0 x时，y有最小值 0 0a向下00，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x 的增大而增大；0 x时，y有最大值 0 a 的符号开口

4、方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x 的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x 的增大而增大；0 x时，y有最大值 c a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh 时，y随 x 的增大而增大；xh 时，y随x 的增大而减小；xh 时，y有最小值 00a向下0h，X=h xh 时，y随 x 的增大而减小；xh 时，y随x 的增大而增大；xh 时，y有最大值 0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh 时，y随 x 的增大而增大；xh 时，

5、y随x 的增大而减小；xh 时，y有最小值 k 0a向下hk，X=h xh 时，y随 x 的增大而减小；xh 时，y随x 的增大而增大；xh 时，y有最大值 k 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习必备欢迎下载二次函数图象的过点问题与交点问题中考方法点拨：二次函数图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、代入求值问题的综合，只要紧紧抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满足函数解析式，然后代入解析式可得方程（组），从而求解。知识、题型、方法例 2：已知抛物线xy2和直线mxy3都经过点（2，n） 。（1）

6、求m，n的值。（2）是否存在另一个交点？若存在，请求出。变式练习：1 （ 2008，长春）已知，如图，直线l经过)0 ,4(A和)4,0(B两点，它与抛物线2axy在第一象限内相交于点P，又知AOP的面积为4，求a的值。第 1 题图第 2 题图2（ 2008，辽宁大连）如图10，直线mxy和抛物线cbxxy2都经过点A(1，0)，B(3， 2)（ 1）求 m 的值和抛物线的解析式；（ 2）求不等式mxcbxx2的解集 (直接写出答案)。课堂演练二：1二次函数22xay的图象经过两点A（4，2） ， B（m，2） ，则m。2若抛物线cxayx2与x轴的交点坐标是（1， 0）则ca。3. 已知函数

7、)0(2aayx的图象与直线32xy交于点（ 1，b） ，则求a。4. 如图，是二次函数yax2 xa21 的图象，则a_第 4 题图AOBPyxOyxBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页学习必备欢迎下载二次函数图象的单调性问题：中考方法点拨： 判断二次函数的单调性要紧紧抓住抛物线的开口方向和对称轴2bxa，对称轴2bxa是二次函数单调性的分界点，即：1. 当0a时，抛物线开口向上：在2bxa范围内，y随 x的增大而减小；在2bxa范围内，y随 x 的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba。2. 当0

8、a时，抛物线开口向下：在2bxa范围内，y随 x的增大而增大；在2bxa范围内，y随 x 的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba。知识、题型、方法例 3： （2011，浙江舟山）如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（1，0） ，（1， 2） ，当y随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是。变式练习第2 题图例 4： （2008，山东东营） 若A（1,413y ） ，B（2,45y ） ，C（3,41y ） 为二次函数245yxx的图象上的三点，则1,y2,y3y的大小关系是（） A123yyy B213yyy C312yyy D 132yyy变式练习：1 （2011，广安）

9、若二次函数2()1yxm当xl 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）Am=l Bml Cml Dml 2 （ 2011，浙江温州）已知二次函数的图象(0 x 3) 如第 9 题图所示。关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A有最小值0，有最大值3 B有最小值1，有最大值0 C有最小值 1，有最大值3 D有最小值1，无最大值xy例 3 图O11（1,- 2）cbxxy2- 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页学习必备欢迎下载课堂演练三：1当22x时，二次函数xy2的最小值是，最大值是。2

10、 （ 2011，广东广州）下列函数中,当 x0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（） Ay = x2By = xC y = 34xDy = 1x3 （2011，山东聊城）下列四个函数图象中，当x0 B b0 C c0 D ab c0 y x O 3 x=1图 9 1 1 1O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页学习必备欢迎下载2。 （2010，湖北孝感）如图，二次函数2yaxbxc的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12，下列结论：ac0； a+b=0； 4acb2=4a； a+b+c0。其中正确的个

11、数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第 2 题图第 3 题图第 4 题图3。 （ 2011 ， 甘 肃 兰 州 ） 如 图 所 示 的 二 次 函 数2yaxbxc的 图 象 中 ， 刘 星 同 学观察得出了下面四条信息：（1）240bac； （2）c1； （3）2ab0； （4）a+b+c0。你认为其中错误的有（）A2 个B 3 个C 4 个D 1 个4。 （ 2011，山东日照）如图，是二次函数yax2bxc（a0）的图象的一部分，给出下列命题： a+b+c= 0； b2a； ax2+bx+c=0 的两根分别为3和 1； a-2b+c0。其中正确的命题是。（只要求填写正确命题的

12、序号）5。 （2009，广西南宁）已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象如图4 所示，有下列四个结论：20040bcbac0abc，其中正确的个数有（）A1 个B2 个C3 个D4 个6。 （ 2008 甘肃兰州）已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象如图5 所示，有下列四个结论：0abc； bac； 420abc； 240bac。其中正确的结论有（）A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个- 1 O x=1 y x 图 5 x y -1 O 1 1 图 4 O x y 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页学

13、习必备欢迎下载7。 （ 2007，天津）已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如右图所示，有下列 5个结论：0abc；cab；024cba；bc32；)(bammba， （1m的实数）其中正确的结论有（）A。2 个B。3 个C。4 个D。5 个8。 （2007，南充）如右图是二次函数yax2bxc 图象的一部分，图象过点A（ 3， 0） ，对称轴为x 1给出四个结论：b24ac； 2ab=0； abc=0； 5ab。其中正确结论是（） 。（ A）（B）（C）（D）二次函数的平移问题中考方法点拨：抛物线的平移只改变它的位置，不改变其形状和开口方向，即a的值不变。解决这类问题的关键是利用好平移特

14、征，在图形的平移中，一个点的位置变化和一个图形的位置变化是一致的，只须抓住抛物线的顶点需要进行怎样的平移即可。解答思路：先求出抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标进行平移改变，再利用顶点式求出平移后的抛物线解析式。（平移前先把二次函数的解析式化成顶点式）知识、题型、方法例 8： （1） （2011，山东滨州）抛物线223yx可以由抛物线2yx平移得到，则下列平移过程正确的是( ) A。先向左平移2 个单位 ,再向上平移3 个单位B。先向左平移2 个单位 ,再向下平移3 个单位C。先向右平移2 个单位 ,再向下平移3 个单位D。先向右平移2 个单位 ,再向上平移3 个单位（2） （2010，毕节）

15、把抛物线cbxyx2的图象向右平移3 个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为532xyx，则（）A。3b，7cB。6b，3cC。9b，5cD。9b，21c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页学习必备欢迎下载课堂演练六：1。 （ 2011 ，重庆江津）将抛物线xyx22向上平移3 个单位 ,再向右平移4 个单位等到的抛物线是。2。 （2009，泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22xy的图象向上平移2 个单位，所得图象的解析式为（）A222xyB222xyC2)2(2 xyD2)2(2 xy3。 （2009，

16、兰州）把抛物线2yx向左平移 1 个单位，然后向上平移3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A2(1)3yx B2(1)3yxC2(1)3yx D2(1)3yx4.（2008，资阳市）在平面直角坐标系中，如果抛物线y2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2 个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) Ay2(x2)2 + 2 By2(x + 2)22 Cy2(x2)22 Dy2(x + 2)2 + 2 5。要得到二次函数222yxx的图象，需将2yx的图象（） 。A向左平移2 个单位，再向下平移2 个单位B向右平移2 个单位，再向上平移2 个单位C向左平移1 个单位，再向上平移1

17、 个单位D向右平移1 个单位，再向下平移1 个单位6。 （2008，山西省） 抛物线5422xxy经过平移得到22xy，平移方法是 （）A向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位B向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位C向右平移1 个单位，再向下平移3 个单位D向右平移1 个单位，再向上平移3 个单位7。如果将抛物线cbxyx2沿直角坐标平面向左平移2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度得到抛物线122xyx。你能确定b、c的值吗？试试看。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页学习必备欢迎下载二次函数图象与一次函

18、数或反比例函数图象在同一坐标系内的问题中考方法点拨：（假设法与数型结合思想）知识、题型、方法例 9： （1） （2011，四川凉山州）二次函数2yaxbxc的图 1 像如图所示，反比列函数xay与正比列函数ybx在同一坐标系内的大致图像是（）（2）（2009，兰州） 在同一直角坐标系中，函数ymxm和函数222ymxx（m是常数，且0m）的图象可能是（）课堂演练七：1。 （2011，山东德州）已知函数)(bxaxy（其中ab）的图象如下图所示，则函数baxy的图象可能正确的是（）2。 （ 2011，安徽芜湖）二次函数2yaxbxc的图象如图2 所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐

19、标系中的大致图象是（） 。图 1 O x y O y x A O y x B O y x D O y x C y x 1 1 O （A）y x 1 -1 O （B）y x -1 -1 O （C）1 -1 x y O （D）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页学习必备欢迎下载3。（2009， 烟台）二次函数2yaxbxc的图象如图3 所示，则一次函数24ybxbac与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图象大致为（）4。 （2008，吉林省长春市）已知反比例函数xky的图象如下图4 所示，则二次函数222kxkxy的

20、图象大致为（）图 4 5。（ 2011，湖南湘潭）在同一坐标系中，一次函数1axy与二次函数axy2的图像可能是（）6。 （ 2009，湖北荆门）函数y=ax1 与 y=ax2bx1（a0 ）的图象可能是（）7。 （ 2007，云南双柏县）在同一坐标系中一次函数yaxb和二次函数2yaxbx 的图象可能为（）11 O x y 图 3 y x O y x O BCy x O Ay x O DABCDyOxyOxyOxyOxyOxABCD1111xo yyo xyo xxo yO x y O x y O x y O x y A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

21、总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页学习必备欢迎下载二次函数的解析式问题：知识、题型、方法用待定系数法求二次函数的解析式常用三种方法：1已知抛物线过三点，设一般式yax2bxc2已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式ya(xh)2 k3已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标） ，设两根式： y a(xx1)(x x2) （其中 x1、x2是抛物线与x 轴交点的横坐标）例 10： （ 1）已知二次函数cbxayx2过（1， 0） ， （3，0） ， （0，23） ，求此抛物线的解析式。（2） 二次函数图象经过 （3，8） ， 对称轴2x， 抛物线与x轴两

22、交点间的距离为6，求二次函数的解析式。变式练习：1. 已知二次函数过点（2，0） ， （4，0） ，顶点到x轴的距离为1，求此函数的解析式。2. （ 2011，湖南湘潭节选）如图，直线33xy交x轴于 A点，交y轴于 B点，过 A、B 两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0） 。求抛物线的解析式。yxO C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页学习必备欢迎下载课堂演练八：1. 已知二次函数当2x时有最小值3，且过（ 1，5） ，则二次函数的解析式为。2. 已知二次函数的图象经过点A（1，0） ，B（3，0）且

23、顶点的纵坐标为8，则这个二次函数的解析式为。3. 若抛物线cbxayx2的顶点坐标为（1，3） ，且与xy22的开口大小相同，方向相反，则二次函数的解析式为。4已知一个二次函数的图象过（0，1） 、 （2，4） 、 （3，10）三点，求这个二次函数的表达式。5.（2011，贵州安顺） 如图， 抛物线 y=21x2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C 点，且 A（一 1，0） 。（ 1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（ 2）判断 ABC的形状，证明你的结论；（ 3）点 M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求m的值。6.（2011，贵阳）如图所示，

24、二次函数y= - x2+2x+m 的图象与x 轴的一个交点为A（3，0） ，另一个交点为B，且与 y 轴交于点C。（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）求点 B 的坐标；（ 3）该二次函数图象上有一点D（x，y） （其中 x0，y0） ，使 SABD=SABC， 。求点 D 的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页学习必备欢迎下载二次函数与配方法问题：知识、题型、方法例 11： （1） （ 2011，济宁）将二次函数245yxx化为2()yxhk的形式，则y。（2） （2009，泰安）抛物线1822xxy的顶点坐标

25、为（）（A） （-2，7）（B） （ -2，-25）（C） （2， 7）（D） （2， -9）例 12： （ 2011，广东肇庆）二次函数522xxy有（）A最大值5B最小值5C最大值6D最小值6变式练习：分别在下列范围内求函数322xyx的最大值或最小值。（1）20 x；（2）32x。课堂演练九：1 （ 2011，上海）抛物线y (x2)23 的顶点坐标是（）(A) （2， 3） ；(B)（ 2，3） ；(C)（2， 3） ；(D) （ 2， 3）2 （ 2011，湖南永州）由二次函数1)3(22xy，可知（）A其图象的开口向下B其图象的对称轴为直线3xC其最小值为1 D当3x时， y 随

26、x 的增大而增大3(2009 ，上海 ) 抛物线22()yxmn（mn，是常数）的顶点坐标是（）A()mn，B()mn，C()mn，D()mn，4 （ 20XX 年北京市）若把代数式223xx化为2xmk的形式，其中,m k为常数，则mk= 。5若一次函数mxmy)1(的图象过第一、三、四象限，则二次函数mxmyx2有（）A最大值4mB最大值4mC最小值4mD最小值4m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页学习必备欢迎下载二次函数与一元二次方程问题：知识与方法：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴的交

27、点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc 当函数值0y时的特殊情况。图象与 x 轴的交点个数由一元二次方程20axbxc的判别式来决定，具体如下：（1） 当240bac时， 图象与 x轴交于两点1200A xB x，12()xx， 其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根。这两点间的距2214bacABxxa。（2）当0时，图象与x轴只有一个交点；（3）当0 时，图象与x轴没有交点。1当0a时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y。2. 抛物线2yaxbxc 的图象与y轴一定相交，交

28、点坐标为(0 ，)c 。知识、题型、方法例 13：已知抛物线)27(2mmxyx（m为常数）。（1）证明：不论m何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点。（2）若抛物线与x轴的交点A（x1，0） ，B（x2，0）的距离 AB4（A 在 B 的左边） ，且抛物线交y轴正半轴于C，求抛物线的解析式。变式练习：（ 2009，孝感）已知抛物线2234yxkxk（ k 为常数，且k0） 。（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且1123ONOM，求 k 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

29、- - - - - -第 16 页，共 18 页学习必备欢迎下载例 14： （2007，江西省）已知二次函数22yxxm的部分图象如下图所示， 则关于x的一元二次方程220 xxm的解为。变式练习：（2010，日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与 x 轴一交点为A（3，0） ，则由图象可知，不等式ax2+bx+c 0的解集是.课堂演练十：1 （ 2011，山东威海）二次函数223yxx的图象如图所示当y 0 时，自变量x 的取值范围是（） A 1x3 Bx 1 C x3 Dx 1 或 x3 2 （2009，甘肃白银）抛物线2yxbxc的部分图象

30、如图8 所示，请写出与其关系式、图象相关的2 个正确结论：，（对称轴方程，图象与 x 正半轴、 y 轴交点坐标除外）3 （2011，襄阳）已知函数12)3(2xxky的图象与x 轴有交点， 则 k 的取值范围是 （ ）A.4kB.4kC.4k且3kD.4k且3kyxO13精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页学习必备欢迎下载4 （ 2009，台州）已知二次函数cbxaxy2的y与x的部分对应值如下表：x10 1 3 y31 3 1 则下列判断中正确的是（）A抛物线开口向上B抛物线与y轴交于负半轴C当x4 时，y0 D

31、方程02cbxax的正根在3 与 4 之间5 （ 2011，江苏宿迁）已知二次函数yax2bx c（a0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）Aa0B当 x1 时， y 随 x 的增大而增大Cc 0 D 3 是方程 ax2bxc0 的一个根6抛物线)8)(2(xxay与x轴交于 A， B 两点，与y轴交于点C，若 ACB90，则a的值为。7若抛物线82bxyx的顶点在x轴的负半轴上，则b的的值是。8已知二次函数1)2(2mxmyx。（ 1）求证：无论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点（ 2）m为何值时，这两个交点都在原点左侧？（直接写出答案）（ 3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？（直接写出答案）9若二次函数mxmxmy222) 1(2的图象关于y轴对称，其图象顶点为A，与x轴的交点为B、C，求 ABC 的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页