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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1.2 不确定度与测量结果不确定的表达由于误差的存在,使得测量结果具有肯定程度的不确定性；为了加强国际间的沟通 与合作, 1996 年,中国计量科学争论院在国际权威文件测量不确定度表达指南的基 础上,制定了我国的测量不确定度规范；从今,物理试验的不确定度评定有了国际 公认的准就；下面将结合对测量结果的评定对不确定度的概念、分类、合成等问题进行 争论；1.2.1 不确定度的概念 不确定度是评判测量质量的一个新概念,是表达测量结果具有分散性的一个参数,它是被测量的真值在某个量值范畴内的一个评定；不确定度反映了可能
2、存在的误差分布 范畴,是误差的数字指标；不确定度愈小,测量结果可信任程度愈高；不确定度愈大,测量结果可信任程度愈低；在试验和测量工作中,不确定度是作为估量而言的,由于误 差是未知的,不行能用指出误差的方法去说明可信任程度,而只能用误差的某种可能的 数值去说明可信任程度,所以不确定度更能表示测量结果的性质和测量的质量；用不确 定度评定试验结果的误差,其中包含了各种来源不同的误差对结果的影响,而它们的计 算又反映了这些误差所听从的分布规律,这是更精确地表述了测量结果的牢靠程度,因 而有必要采纳不确定度的概念；1.2.2 测量结果的表示和合成不确定度 在做物理试验时,要求表示出测量的最终结果；在这个
3、结果中既要包含待测量的近似真实值x ,又要包含测量结果的不确定度 ,仍要反映出物理量的单位；因此,要写成物理含意深刻的标准表达形式,即 x x（单位）（14）式中 x 为待测量；x 是测量的近似真实值 , 是合成不确定度,一般保留一位有效数字 , 如首数是 1 或 2 时可取 2 位；这种表达形式反应了三个基本要素：测量值、合成不确定 度和单位；在物理试验中,直接测量时如不需要对被测量进行系统误差的修正,一般就取多次 测量的算术平均值 x作为近似真实值；如在试验中有时只需测一次或只能测一次,该次 测量值就为被测量的近似真实值；假如要求对被测量进行肯定系统误差的修正,通常是 将肯定系统误差（即肯
4、定值和符号都确定的可估量出的误差重量）从算术平均值 x 或一 次测量值中减去,从而求得被修正后的直接测量结果的近似真实值；在上述的标准式中,近似真实值、合成不确定度、单位三个要素缺一不行,否就就 不能全面表达测量结果；同时,近似真实值 x 的末尾数应当与不确定度的所在位数对齐,近似真实值 x 与不确定度 的数量级、单位要相同；在开头试验中,测量结果的正确表 示是一个难点,要引起重视,从开头就留意订正,培育良好的试验习惯,才能逐步克服 难点,正确书写测量结果的标准形式；由于误差的来源许多,测量结果的不确定度一般包含几个重量；在修正了可定系统误差之后,把余下的全部误差归为A、 B 两类不确定度重量
5、； A 类重量（ A 类不确定度） ：SA在同一条件下,多次重复测量时,用统计分析- 1 - / 6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -方法评定的不确定度； B 类重量 （B 类不确定度） ：B用其它方法 （非统计分析方法）评定的不确定度；测量结果的总不确定度由“ 方和根” 方法合成：S2 A2 B（15）1.2.3 直接测量结果的不确定度的估算不确定度的评定方法是一个比较复杂的问题,在多数一般物
6、理试验教学中,为了简便,在进行直接测量的不确定度的合成问题时,对 A 类不确定度主要争论在多次等精度测量条件下,读数分散对应的不确定度,并且用“ 贝塞尔公式”（12）式运算 A 类不确定度, 即 SA=Sx；对 B 类不确定度, 主要争论仪器不精确对应的不确定度,即 B= 仪,最终将测量（包括后面介绍的间接测量）结果写成标准形式：XX（单位）（16）为了比较测量结果精确度的高低,经常使用相对不确定度这一概念,其定义为：E 100 %（17）X式中, X 为测量值,它可以使单次测量值,也可以是多次测量的算术平均值； 为肯定不确定度,亦即总不确定度,假如是单次测量,它为仪器误差 仪,假如是多次测量
7、,它是合成不确定度；因此,试验结果的获得,应包括待测量近似真实值的确定,A、B两类不确定度以及合成不确定度的运算；应当是出,单次测量的不确定度估算是一个近似或粗略的估算方法；由于测量的随机分布特点是客观存在的,不随测量次数的不同而变化；也不能由此得出结论“ 单次测量的不确定度小于多次测量的不确定度” 的结论；直接测量不确定度的估算举例：用螺旋测径器测量小钢球的直径,八次的测量值分别为d（mm） 2.125, 2.131, 2.121, 2.127, 2.124, 2.126, 2.123, 2.129 螺旋测径器的零点读数d 为 0.008 、最小分度数值为0.01 mm ,试写出测量结果的标
8、准式；解 ：（1）求直径d 的算术平均值2.1212.1272.1242. 1262.1232.129d18di12.1252. 131n182 .126mm（2）修正螺旋测径器的零点误差ddd02.1260.0082.118mm- 2 - / 6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）运算 B 类不确定度螺旋测径器的仪器误差为 仪0.005 （mm）B 仪0.005 （mm）（4）运算 A 类
9、不确定度Sd08.2282 .1312 .1262did1126n12.1252. 003mm1（5）合成不确定度2 S d2 B0.0032.0 00520.006 mm （6）测量结果为ddEd2. 1180 .006mm100 %0. 3%（7）相对不确定度d100 %0 . 0062. 118当有些不确定度重量的数值很小时,相对而言可以略去不计；在运算合成不确定度中求“ 方和根” 时,如某一平方值小于另一平方值的 1 ,就这一项就可以略去不计；这 9 一结论叫做微小误差准就；在进行数据处理时, 利用微小误差准就可削减不必要的运算；不确定度的运算结果,一般应保留一位有效数字,余外的位数按
10、有效数字的修约原就进行取舍；评判测量结果, 除了需要引入相对不确定度E的概念之外, 有时候仍需要将测量结果的近似真实值x 与公认值x 公进行比较, 得到测量结果的百分偏差B；百分偏差定义为Bxxx公100%公百分偏差其结果一般应取2 位有效数字；1.2.4 间接测量结果不确定度的合成（或传递）如间接测量量N 为直接测量量x,y,z 的函数：（18）NF（ x , y , z）间接测量的近似真实值和合成不确定度是由直接测量结果通过函数式运算出来的,既然直接测量有误差,那么间接测量也必有误差,这就是误差的传递（或合成）；由直 接测量值及其不确定度来运算间接测量值的不确定度之间的关系式称为误差的传递
11、公 式；- 3 - / 6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -设 N 为间接测量的量,它有 3 个直接测量相互独立的物理量x , y , z,各直接观测量的测量结果分别为xxx,yyy,zzz（1）如将各个直接测量量的近似真实值 近似真实值；NFx ,y,zx 代入函数表达式中,即可得到间接测量的（2）求间接测量的合成不确定度；由于不确定度均为微小量,相像于高等数学中的微小增量,对函数式 NF（x
12、 , y , z ）求全微分,即得F F FdN dx dy dzx y z式中 dN , dx , dy , dz 均为微小量, 代表各变量的微小变化,dN 的变化由各自变量的变化打算 , F, F, F 为函数对自变量的偏导数；将上面全微分式中的微分符号 d 改写为不x y z确定度符号 ,并将微分式中的各项求“ 方和根”,即为间接测量的合成不确定度NFx2Fy2Fz2（19）xyz当间接测量的函数表达式为积和商（或含和差的积商形式）的形式时,为了使运算 简便起见,可以先将函数式两边同时取自然对数,然后再求全微分,即dNlnFdxlnFdylnFdz（110）Nxyz定度同样改写微分符号为
13、不确定度符号,再求其“ 方和根”,即为间接测量的相对不确EN,即lnFz2E NNlnFx2 lnFy2Nxyz已知EN、 N ,由（ 110）式可以求出合成不确定度（111）NNEN这样运算间接测量的统计不确定度时,特殊对函数表达式很复杂的情形,特殊显示出它的优越性；今后在运算间接测量的不确定度时,对函数表达式仅为“ 和差” 形式,可以直接利用（19）式,求出间接测量的合成不确定度N；如函数表达式为积和商（或积商和差混合）等较为复杂的形式,可直接采纳（- 4 - / 6 110）式,先求出相对不确定细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4
14、 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -度,再求出合成不确定度 N ；例 1已知电阻R 50.2 0.5 （）, R149.8 0.5 （）, 求它们串联的电阻R的和合成不确定度R；解 ：串联电阻的阻值为RR R 50.2 149.8 200.0 （）合成不确定度RR12R22.07（）R 1R22 12 205.20. 52相对不确定度ERR.07100%0.35 %R200. 0测量结果为R200.0 0.7 （）间接测量的不确定度运算结果一般应保留一位有效数字,相对不确定度一般应保留2 位
15、有效数字；厚度例 2测量金属环的内径D 2.880 0.004 （cm）,外径D 3.600 0.004 （cm）, h2.575 0.004 （cm）；试求环的体积V 和测量结果；解 ：环体积公式为V4h D2 2D 1 2（1）环体积的近似真实值为V4h 2 D 22 D 1 3. 60022. 88029.436 cm33 .14162 .5754（2）第一将环体积公式两边同时取自然对数后,再求全微分lnVln4lnhlnD2 2D2 1dV0dh2D2dD22 D1 dD1VhD2 2D2 1- 5 - / 6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -
16、 - - - 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就相对不确定度为EVV2.h22D2D222D1DD120 . 00421VhD2 2D2 1D2 22 10 . 00423 . 6000 .004222. 88022 . 57503. 60022. 88023 .2 6002 .2 8800.008181%（ 3）总合成不确定度为VVEV9.4360. 00810.08 cm3（ 4）环体积的测量结果为V 9.440.08cm3因此将小数点后的第三位数6,V 的标准式中,V9 .436 cm3应与不确定度的位数取齐,根据数字修约原就进到百分位,故为9.44；间接测量结果的误差,常用两种方法来估量：算术合成（最大误差法）和几何合成（标准误差） ；误差的算术合成将各误差取肯定值相加,是从最不利的情形考虑,误差 合成的结果是间接测量的最大误差,因此是比较粗略的,但运算较为简洁,它常用于误 差分析、试验设计或粗略的误差运算中；上面例子采纳的是几何合成的方法,运算较麻 烦,但误差的几何合成较为合理；- 6 - / 6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -