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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数学问点总结及典型例题讲解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地,假如yc ax2bxc a ,b ,c 是常数,a0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 ；yax2bxa ,b ,c 是常数,a0 叫做二次函数的一般式；2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于xb 2对称的曲线,这条曲线叫抛物线 ；抛物线的主要特点：有开口方向；有对称轴；有顶点；3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先依据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M ,并用虚线 画出对称轴（2）求抛物线yax 2bxc与坐标轴的交点：当抛物线与
2、 x 轴有两个交点时, 描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到 点 C 的对称点 D；将这五个点按从左到右的次序连接起来,并向上或向下延长,就得到二 次函数的图像；当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D；由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图；假如需要画出比较精确的图像,可再描 出一对对称点 A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像；二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：yax2bxc a ,b ,c 是常数,a0 c0有实根x 1（2）顶点式：yaxh2k a,h ,k 是常数,a0 （3
3、）当抛物线yax2bxc与 x 轴有交点时,即对应二次好方程ax2bx和x 存在时,依据二次三项式的分解因式ax2bxcaxx 1xx2,二次函数yax2bxc可转化为 两根式yaxx 1xx2；假如没有交点,就不能这样表示；三、二次函数的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、二次函数的性质二次函数函数a0 yax2bxc a,b ,c 是常数,a0 a0 y y 图像0 x 0 x （1）抛物线开口向下,并向下无限延长；（1）抛物线开口向上,并向上无限延长；a（2）对称轴是x=b,顶点坐标是2a（b,4aca
4、b2）；（2）对称轴是x=b,顶点坐标是2a42 a（3）在对称轴的左侧,即当xb时, y 随 x （3）在对称轴的左侧,即当xb时, y（4）抛物线有最高点,当x=b时,2a随 x 的增大而增大,简记左减右增；2a（4）抛物线有最低点,当x=b时,y 有最大值,y 最大值4acab22a4y 有最小值,y最小值4acab24、b、c的含义：2、二次函数yax2bxc a ,b ,c 是常数,a0 中,a表示开口方向： a0 时,抛物线开口向上a0 时,图像与 x 轴有两个交点；当=0 时,图像与 x 轴有一个交点；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当
5、 0 时,图像与 x 轴没有交点；补充：1、两点间距离公式 （当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法）y 如图：点 A 坐标为（ x1,y1）点 B 坐标为（ x2,y2）就 AB 间的距离,即线段AB 的长度为x1x22y 1y22A x 0 B 2、函数平移规律 （中考试题中,只占 大大节约做题的时间）左加右减、上加下减四、二次函数的最值3 分,但把握这个学问点,对提高答题速度有很大帮忙,可以假如自变量的取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）,即当xx 2b时,2ay最值4acab2；x 1x内,如在4假如自变量的取值范畴是x 1xx 2,那么,第一要
6、看b是否在自变量取值范畴2a此范畴内,就当 x=b时,y最值4acab2；2a4c, 当x1x时 ,如不在此范畴内,就需要考虑函数在x 1xx 2范畴内的增减性,如 果 在 此 范 围 内, y 随 x 的 增 大 而 增大, 就 当xx2时 ,y最大ax2bx22y 最小2 ax 1bx 1c；c, 当xx2时 ,如 果 在 此 范 围 内 , y 随 x 的 增 大 而 减 小 , 就 当x1x时 ,y最大2 ax 1bx 1y最小ax2 2bx2c；典型例题1. 已知函数yx121x3,就使 y=k 成立的 x 值恰好有三个,就k 的值为（）x521x3A0 B1 C2 D3 【答案】
7、Dy2 axbxc 的图像, A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,就以下关系2. 如图为抛物线中正确选项名师归纳总结 Aab=1 B ab=1 C b2aDac0 第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 B 3. 二次函数yax 2bxc的图象如下列图,就反比例函数ya x与一次函数 ybxc 在同一坐标系中的大致图象是（）. 【答案】 D4. 如图,已知二次函数cyx2bxc的图象经过点（ 1,0）,（1,2）,当 y 随 x的增大而增大时,x 的取值范畴是yyx2bx1-1 O1x（1,- 2）【答案】
8、x1y2 x2x3围着它与 y 轴的交点旋转 180,所得抛物线的解析式是25. 在平面直角坐标系中,将抛物线（）Byx2 14Ayx2 12Cyx2 12Dyx2 14【答案】 B6.已 知 二 次 函 数2yax20bxc的 图 像 如 图 , 其 对 称 轴x1, 给 出 下 列 结 果）b24acabc0ababc0abc0,就正确的结论是（A B C D 【答案】D 名师归纳总结 7抛物线y2 axbxc上部分点的横坐标 x ,纵坐标 y 的对应值如下表：第 4 页,共 11 页x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 - - - - - - -精选学习资料 - - - - -
9、 - - - - 从上表可知,以下说法中正确选项（填写序号）抛物线与 x 轴的一个交点为（ 3,0）； 函数 y ax 2bx c 的最大值为 6；抛物线的对称轴是 x 1；在对称轴左侧, y 随 x 增大而增大2【答案】8. 如图,在平面直角坐标系中, O 是坐标原点,点 A 的坐标是（ 2,4）,过点 A 作 ABy 轴,垂足为 B,连结 OA1求 OAB 的面积；2如抛物线yx22xc 经过点 A求 c 的值；将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB 的内部（不包括 OAB 的边界）,求 m 的取值范畴（直接写出答案即可） 解： 1 点 A 的坐标是（ 2,4）,
10、ABy 轴,AB=2,OB4,SOAB1ABOB12x44222把点 A 的坐标（ 2,4）代入yx22c ,得 222 2c4,c4 yx22x4x2 14,抛物线顶点 D 的坐标是 1,5,AB 的中点 E 的坐标是（ 1,4）,OA 的中点 F 的坐标是（1,2）,m 的取值范畴为 lm39已知二次函数 y= 14 x 2+ 3 2 x 的图像如图名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与x 轴、 y 轴的交点分别为
11、A、B、C 三点,如 ACB=90,求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为 的位置关系,并说明理由M,以 AB 为直径, D 为圆心作 D,试判定直线 CM 与D解：（1）二次函数 y=-1 4x 2+3 2x 的对称轴为 x=3, D（3,0）（2）设抛物线向上平移 h 个单位（ h0）,就平移后的抛物线解析式为 y=-1 4x 2+3 2x+h ACB=90,OC 2=OAOB设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,就 h 2=- x1x2x1、x2 是一元二次方程 -1 4x 2+3 2x+h=0 的两个根,x1x2=-4h,h 2=4h,h=4,抛物线的解析式为
12、 y=-1 4x 2+3 2x+4（3）CM 与D 相切,理由如下：连结 CD、CM,过点 C 作 CNDM 于点 D,如下图所示：AB 是 D 的直径, ACB=90,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点 C 在D 上依据平移后的抛物线的解析式y=-1 4x 2+3 2x+4 可得： OD=3,OC=4,DM=25 4,CD=5CN=3,MN=9 4, CM=15 4CM=15 4,CD=5,DM=25 4, CDM 是直角三角形且 DCM=90 ,CM 与D 相切10. 如图 10,在平面直角坐标系xOy 中,
13、 AB 在 x 轴上, AB10,以 AB 为直径的 O 与 y 轴正半轴交于点 C,连接 BC,AC.CD 是O 的切线,ADCD 于点 D,tanCAD1 ,抛物线 2yax2bxc过 A,B,C 三点 . （1）求证： CAD CAB；（2）求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上,并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点 P,使四边形 PBCA 是直角梯形 .如存在,直接写出点 P 的坐标（不写求 解过程）；如不存在,请说明理由 . （1）证明：连接 OC. CD 是O的切线, OCCDADCD, O C AD, OCA CADO CO A, OCACAB, CAD
14、 CAB（2） AB 是 O 的直径, ACB90OCAB, CAB OCB, CAO BCO,OC OAOB OC即OC2OAOB tanCAOtanCAD1 , OA2OC 2又 AB10,OC22OC 102OC,OC0 OC4,OA8,OB2 A（ 8,0）,B（2,0）,C（0,4）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线yax2bxc过 A,B,C 三点 .c4 由题意得4aa2b40,解之得a1,y1x23x44648b40b34222 设直线 DC 交 x 轴于点 F,易证 AOC ADC,ADAO
15、8. OC AD, FO C FAD,OFOC3 x 44中,AFAD8BF55BF10,BF10,F16,03,3设直线 DC 的解析式为ykxm,就mk4m0,即k431643my3 x 44由y1x23x41x3225得4244顶点 E 的坐标为E 3 ,25将E,325代入直线 DC 的解析式y44右边33 425左边 .抛物线的顶点E 在直线 CD 上4411. 如下列图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是直角梯形, BC AD,BAD= 90 ,BC 与 y 轴相交于点 M,且 M 是 BC 的中点, A、B、D 三点的坐标分别是 A（-1,0）,B -1,2,D 3,0,连接
16、 DM,并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON,如抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得 PA= PC如存在,求出点P 的坐标；如不存在请说明理由；（3）设抛物线与 x 轴的另 个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点,当点 Q 在什么位置时有 QE QC 最大？并求出最大值；y E N B M C D x A O 图（1）解：由 题意可得 M（0,2）,N（-3,2）名师归纳总结 222c3 bc解得：a1第 8 页,共 11 页9b19 a3y=09 ax3 bc,c21 9x123- - - - - - -精选学
17、习资料 - - - - - - - - - （2） PA= PC ,P 在 AC 的垂直平分线上,依 题意, AC 的垂直平分线经过 这条直线为 y=x+1B（-1,2）,（1,0）,yx11x2x2323223 2 ）y1x293解得：x 133 2y 123 2,y23P1（ 33 2,23 2 ）,P2（ 332,2（3）D 为 E 关于对称轴 x=15 对称, CD 所在的直线 y=x+3QEyQ=45,22Q（-15,45）QC 最大值为 CD=2 = 2 2 个单位 /秒（3）（）,当 t 9时,有最大值为 121, 此时 P 11, 9 3 2 4 2 212如图,抛物线 y=
18、1 x 2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A（一 1,0）2求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；判定 ABC的外形,证明你的结论；点Mm,0是x轴上的一个动点,当 CM+DM的值最小时,求 m的值（1）点 A（-1,0）在抛物线 y=1 x 2 + bx-2上,21 -1 22 + b -1 2 = 0,解得 b =3 2抛物线的解析式为y=1 x 2-23 x-2. y= 21 x 2-23 x-2 = 21 x 2 -3x- 4 =1 x-23 2-225 , 82顶点 D 的坐标为3 , -225 . 8BC 2 = OC 2 + OB 2 = 20,
19、 （2）当 x = 0 时 y = -2, C（0,-2）,OC = 2当 y = 0 时,1 x 2-23 x-2 = 0,2x1 = -1, x2 = 4, B 4,0 OA = 1, OB = 4, AB = 5. AB 2 = 25, AC 2 = OA 2 + OC 2 = 5, AC 2 +BC 2 = AB 2. ABC 是直角三角形 . （3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C,就 C（0,2）,OC=2,连接 CD 交 x 轴于点 M,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依据轴对称性及两点之间线段
20、最短可知,MC + MD 的值最小设直线 CD 的解析式为 y = kx + n , 就nk2n25,解得 n = 2, k41. OABC,31228y41x 122.当 y = 0 时,41 x 1220,x24. m24414113.（2022 浙江金华, 10 分）在平面直角坐标系中, 如图 1,将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上,设抛物线（1）当 n1 时,假如 a=1,试求 b 的值；y=ax 2+bx+ca0过矩形顶点 B、C. （2）当 n2 时,如图 2,在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EF
21、MN,使 EF 在线段 CB 上,假如 M,N 两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转,使得点B 落到 x 轴的正半轴上,假如该抛物线同时经过原点O,试求出当 n=3 时 a 的值； 直接写出 a 关于 n 的关系式 . yyy CD = 1.1 厘M NOCO ABxx CBCFEBOAxOAxy图 3 图 1 图 2 x 解：（1）由 题意可知,抛物线对称轴为直线x=1 2,b1,得 b= 1；y 2 a2（2）设所求抛物线解析式为y2 axbx1,由对称性可知抛物线经过点B（2,1）和点 M（1 2,2）14 a2 bb1,解得a4 , 3
22、21 4a11.C A B b8. 32所求抛物线解析式为y4x28x133O D （3）当 n=3 时, OC=1,BC=3,设所求抛物线解析式为y2 axbx,过 C 作 CDOB 于点 D,就 Rt OCDRt CBD,名师归纳总结 OD2OC1, 2 OC ,设 OD=t,就 CD=3t,yx 第 10 页,共 11 页CDBC3 2ODCDO 3 2t22 1,t110, 1010C（10,3 10）, 又 B（10 ,0）,10 10把 B 、C 坐标代入抛物线解析式,得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 010a10b,10b .解得:a=10；3101 10a31010名师归纳总结 a2 n1. 第 11 页,共 11 页n- - - - - - -