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1、学习必备欢迎下载浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果)0,(2acbacbxaxy是常数， 特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。)0,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法- 五点作图法 ：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出
2、这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C，再找到点C 的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D。由 C、M、D 三点可粗略 地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例 1】 、已知函数y=x2-2x-3 ，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（ 1）题的图象
3、草图，说出 x 取哪些值时， y=0 ； y0 知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀- 一般 两根三顶点（1）一般一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2）两根当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02cbxax有实根1x和2x存在时， 根据二次三项式的分解因式)(212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式)(21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁。精选
4、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载【例 1】 、抛物线cbxaxy2与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，且过（-1，16） ，求抛物线的解析式。【例 2】 、如图，抛物线cbxaxy2与 x 轴的一个交点A 在点（ -2，0）和（ -1，0）之间（包括这两点） ，顶点 C是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc 0 （或或 =）（2）a 的取值范围是【例 3】 、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0 ，1) 的是 ( ) Ay = (x- 2)
5、2 + 1 By = (x + 2)2 + 1 Cy = (x- 2)2- 3 Dy = (x + 2)2- 3 知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如果在此范围内， y 随 x 的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此范围内， y 随 x 的
6、增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。【例 1】 、已知二次函数的图像（0 x3）如图所示 ,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是( ) A有最小值0，有最大值3 B有最小值1,有最大值 0 C有最小值 1,有最大值3 D有最小值1,无最大值【例 2】 、某宾馆有50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80 元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10 元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元设每个房间的房价每天增加x 元(x 为 1
7、0的正整数倍 ) （1）设一天订住的房间数为y，直接写出y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求 w与 x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元? 知识点四、二次函数的性质1、二次函数的性质O-1xy1 3 2 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载函数二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，图像a0 a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0 时y值随x值增
8、大而减小的是（） Ay = x2By = xCy = 34xDy = 1x【例 6】 、若二次函数2()1yxm当xl 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（） A m=l Bml Cm l Dml 知识点五、二次函数图象的平移 对于抛物线y=ax2+bx+c 的平移通常先将一般式转化成顶点式2ya xhk ，再遵循 左加右减 ，上加下减 的的原则化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。cbxaxy2沿y轴平移： 向上（下）平移m（m 0）个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy
9、2） 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式cbxaxy2：向左（右）平移m（m 0）个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）【例 1】 、将抛物线2yx向左平移2 个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A 2(2)yx B22yx C 2(2)yx D 22yx【例 2】 、将抛物线y=x22x 向上平移3 个单位 , 再向右平移4 个单位等到的抛物线是_. 【例 3】 、抛物线2yx可以由抛物线223yx平移得到 , 则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2 个单位 , 再向上平移3 个单位B.先向左平移2 个单位 , 再
10、向下平移3 个单位C.先向右平移2 个单位 , 再向下平移3 个单位D.先向右平移2 个单位 , 再向上平移3 个单位【补】抛物线y=2x2-3x-7 在 x 轴上截得的线段的长度为_ 【公式】抛物线y=ax2+bx+c 在 x 轴上截得的线段的长度为_ 知识点六、抛物线cbxaxy2中，a、b、c 的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b
11、时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.口诀 - 左同，右异（a、b 同号，对称轴在y 轴左侧）（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置 . 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 【例 1】 、如图为抛物线2yaxbxc的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 ( ) Aab=1 Ba
12、b=1 Cb2a Dac0 Bb0 Cc0 D abc0 【例 3】 、如图所示的二次函数2yaxbxc的图象中， 刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240bac； （2）c1； （3）2ab0； （4）a+b+c0。你认为其中错误的有 ( ) A 2个B 3 个C4 个D1 个【例 4】 、如图， 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交， 其顶点坐标为1,12，下列结论： ac0；a+b=0；4ac b2=4a； a+b+c0. 其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例 5】 、 如图，是二次函数yax2bxc （a0） 的图象的一部分， 给出
13、下列命题： a+b+c=0； b2a； ax2+bx+c=0的两根分别为 -3 和 1； a-2b+c 0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）【例 6】 、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）Amn，kh Bmn ，kh Cmn，kh Dmn，kh知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆）1、两点间距离公式：如图：点A 坐标为（ x1，y1） ，点 B 坐标为（ x2，y2） ，则 AB 间的1xpx2x12xx12yy1y2yPyA P B O yx精选学习资料 - - - - - - -
14、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载距离，即线段AB 的长度为221221yyxx（这实际上是根据勾股定理 得出来的）2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为11()A xy，22()B xy，AB中点P的坐标为 ()ppxy，由12ppxxxx ，得122pxxx，同理122pyyy，所以AB的中点坐标为1212()22xxyy，3、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k 值。4、两垂直直线的解析式分别为
15、：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k 值。 （对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解 ）以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚 ”【例 1】 、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两点，与y 轴交于点C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线AC 的解析式及BD 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点，过P作直线 lAC 交抛物线于点Q，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点A P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接
16、写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC 上找一点M，使 BDM 的周长最小，求出M 点的坐标【例 2】 、如图，已知抛物线y=x2+bx+c 与一直线相交于A （ 1，0） ，C （ 2，3）两点，与 y 轴交于点N其顶点为D （1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点 M （3，m ） ，求使 MN+MD 的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点 B，E为直线 AC上的任意一点， 过点 E作 EF BD交抛物线于点F，以 B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 P是抛物线上位于直线AC
17、上方的一个动点，求 APC 的面积的最大值【例 3】 、 如图，抛物线423412xxy与 x 轴交于 A，B 两点（点B 在点 A 的右边），与 y 轴交于 C，连接 BC ，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC ，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点P的坐标为（ m ，0） ，过 P作 x 轴的垂线l交抛物线于点Q 。（1）求点 A、B 、C的坐标；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载ADCEBOADCEBOADCEBO（2）当点 P在线段 OB上运动时，直线l 分别交 BD 、BC于点 M
18、 、N。试探究 m为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。（3）当点 P在线段 EB上运动时，是否存在点Q ，使 BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由。【练 习】1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为( 建立的平面直角坐标系如右图所示)( ) A15 m B1 625 m C 166 m
19、 D167 m 2、已知函数22113513xxyxx，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则k 的值为（）A0 B1 C2 D3 3.二次函数2yaxbxc的 图 象如图所示， 则反比例函数ayx与一 次 函数ybxc在同一坐标系中的大致图象是（）. 4. 如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（1，0） ， （ 1， 2） ，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是xyO11（1,- 2）cbxxy2- 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载5. 在平面直角坐标系中，将抛物线223yxx绕
20、着它与y 轴的交点旋转180 ，所得抛物线的解析式是（） A2(1)2yxB2(1)4yxC2(1)2yxD2(1)4yx6.已知二次函数cbxaxy2的图像如图，其对称轴1x，给出下列结果acb420abc02ba0cba0cba，则正确的结论是（）A B C D 7抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如上表：从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3,0） ； 函数2yaxbxc的最大值为6；抛物线的对称轴是12x；在对称轴左侧，y随x增大而增大8. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（ 2，4） ，过点 A 作 AB
21、y 轴，垂足为B，连结 OA(1)求OAB 的面积； (2)若抛物线22yxxc经过点 A求 c 的值； 将抛物线向下平移m 个单位， 使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB的内部（不包括OAB 的边界），求 m 的取值范围（直接写出答案即可）9、 “已知函数cbxxy221的图象经过点A（ c， 2） ，这个二次函数图象的对称轴是x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BCAD ，
22、 BAD= 90 ，BC 与 y 轴相交于点M，且x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载M 是 BC 的中点， A、B、D 三点的坐标分别是A（-1，0） ，B( -1，2)，D( 3，0)，连接 DM ，并把线段DM 沿 DA 方向平移到 ON，若抛物线y=ax2+bx+c 经过点 D、M、 N （1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得 PA= PC若存在，求出点P 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与x 轴的另 个交点为E点 Q 是
23、抛物线的对称轴上的个动点， 当点 Q 在什么位置时有QEQC最大？并求出最大值。11、如图，抛物线y=21x2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点，与y轴交于 C 点，且 A（一 1，0）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；判断 ABC 的形状，证明你的结论；点 M(m ， 0)是 x 轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m 的值12、在平面直角坐标系中，如图1，将 n 个边长为1 的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上。设抛物线y=ax2+bx+c(a0）与双曲线y=4x交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，则2x1y27x2y1的值等于 _3、如图，双曲线)0(2xxy经过四边形OABC 的顶点 A、C，ABC 90，OC 平分 OA 与x轴正半 轴的夹角， ABx轴，将 ABC 沿 AC 翻折后得到 AB C，B点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是. NMFEyxCBAO图 1 图 2 图 3 yxCBAOCD = 1.1 厘yxCBAOyx O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页