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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数学问点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地,假如yax2abxca,b ,c 是常数,a0 ,那么 y 叫做 x 的 二次函数 ；yax2bxc,b,c是常数,a0叫做二次函数的一般式；2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于xb对称的曲线,这条曲线叫抛物线 ；2 a抛物线的主要特点：有开口方向；有对称轴；有顶点；3、二次函数图像的画法-五点法：二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1） 一般式：y ax 2bx c a , b , c 是常数,a 0 （2） 顶点式：y a x
2、 h 2k a , h , k 是常数,a 0 （3）当抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴有交点时, 即对应二次好方程 ax 2 bx c 02有实根 1x 和 x 存在时,依据二次三项式的分解因式 ax bx c a x x 1 x x 2 ,二次函数 y ax 2 bx c 可转化为 两根式 y a x x 1 x x 2 ；假如没有交点,就不能这样表示；名师归纳总结 三、抛物线yax2bxc中,a,b ,c的作用第 1 页,共 10 页（1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样 . （2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax2bxc的对
3、称轴是直线xb,故：b0时,对称轴为 y 轴所在直线； b0（即 a 、 b 同号）时,2 aa对称轴在 y 轴左侧；b0（即 a 、 b 异号）时,对称轴在y 轴右侧 . a（3） c 的大小打算抛物线yax2bxc与 y 轴交点的位置 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当x0 时,yc学习必备bxc欢迎下载0, c ）：,抛物线yax2与 y 轴有且只有一个交点（c0,抛物线经过原点; c0, 与 y 轴交于正半轴；c0, 与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就b0. a四、二次函数
4、的性质1、二次函数的性质二次函数函数yax2bxca,b,c是常数,a0a0 y y 图像0 x 0 x （ 1）抛物线开口向下,并向下无限延长；名师归纳总结 性质（1）抛物线开口向上,并向上无限延长；（ 2）对称轴是 x=b,顶点坐标是第 2 页,共 10 页（2）对称轴是x=b,顶点坐标是2 a（b,4acab2）；2a（b,4acab2）；2a4（ 3）在对称轴的左侧,即当xb时, y2 a4（3）在对称轴的左侧,即当xb的增大而减小； 在对称轴的右侧, 即当 x 时, y 随 x 的增大而增大,简记左减右增；b2a时, y 随 x 2a的增大而减小,简记左增右减；（4）抛物线有最低点,
5、当x=b时,2a（ 4）抛物线有最高点,当x=b时,y 有最小值,y最小值4acb22 a4 ay 有最大值,y最大值4b2ac4a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载五、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标；因此一元二次方程中的 b 2 4 ac,在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点；当 0 时,图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时,图像与 x 轴有一个交点；当 0 时,图像与 x 轴没有交点；补充：函数平移规律：左加右减、上加下减六、二次函数的最值名师归纳总结 x假如自变量的
6、取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）,即当第 3 页,共 10 页b时,y最值4 acab2；42 ax 1假如自变量的取值范畴是x 1xx2,那么,第一要看b是否在自变量取值范畴2axx2内,如在此范畴内,就当x=b时,y最值4 acab2；42 a时,如不在此范畴内,就需要考虑函数在x 1xx 2范畴内的增减性,假如在此范畴内, y 随 x 的增大而增大, 就当xx2时,y最大2 ax 2bx 2c,当x1xy最小2 ax 1bx 1c；时,假如在此范畴内, y 随 x 的增大而减小, 就当x1x时,y 最大ax2bx1c,当xx 21y最小2 ax 2bx 2c；-
7、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载典型例题2x 1 1 x31. 已知函数 y 2,就使 y=k 成立的 x 值恰好有三个, 就 k 的值为（）x 5 1 x3A0 B1 C2 D3 22. 如图为抛物线 y ax bx c 的图像,A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点,且 OA=OC=1,就以下关系中正确选项（）Aab=1 B ab=1 C b2a Dac0 3. 二次函数 y ax 2bx c 的图象如下列图,就反比例函数 y a 与一次函数 y bx cx在同一坐标系中的大致图象是（）. 4. 如图,已知二次函数yx2bxc的图象经
8、过点（1,0）,（1, 2）,当 y 随 x 的增大而增大时,x 的取值范畴是yyx2bxc1- 1 O1x（ 1,- 2）名师归纳总结 5. 在平面直角坐标系中,将抛物线yx22x3围着它与y 轴的交点旋转180,所得抛第 4 页,共 10 页物线的解析式是（）Byx2 14Ayx122Cyx2 12Dyx2 146. 已 知 二 次 函 数yax2bxc的 图 像 如 图 , 其 对 称 轴x1, 给 出 下 列 结 果b24acabc02 ab0abc0abc0,就正确的结论是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）学习必备欢迎下载A B C D
9、27抛物线 y ax bx c 上部分点的横坐标 x ,纵坐标 y 的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知,以下说法中正确选项（填写序号）抛物线与 x 轴的一个交点为（3,0）； 函数 y ax 2bx c 的最大值为 6；抛物线的对称轴是 x 1；在对称轴左侧,y 随x增大而增大28. 如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 A 的坐标是（ 2,4）,过点 A 作 ABy轴,垂足为 B,连结 OA1求 OAB 的面积；2如抛物线y2 x2xc 经过点 A求 c 的值；名师归纳总结 将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB 的内
10、部（不包第 5 页,共 10 页括 OAB 的边界）,求 m 的取值范畴（直接写出答案即可）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9已知二次函数y=1 4 x 2+ 学习必备欢迎下载3 2 x 的图像如图（1）求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与x 轴、 y 轴的交点分别为 A、B、C 三点,如 ACB=90 ,求此时抛物线的解析式；（3）设（ 2）中平移后的抛物线的顶点为M,以 AB 为直径, D 为圆心作 D,试判定直线 CM 与 D 的位置关系,并说明理由名师归纳总结 - - - - - -
11、 -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载10. 如图,在平面直角坐标系xOy 中, AB 在 x 轴上, AB 10,以 AB 为直径的 O 与 y 轴正半轴交于点C,连接 BC,AC.CD 是 O 的切线, AD CD 于点 D,tan CAD 1 ,抛物 2线yax2bxc过 A,B,C 三点 . （1）求证： CAD CAB；（2）求抛物线的解析式；名师归纳总结 判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上,并说明理由；P第 7 页,共 10 页（3）在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA 是直角梯形 .如存在,直接写出点的坐标（不写
12、求解过程）；如不存在,请说明理由. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载11. 如下列图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是直角梯形, BC AD, BAD= 90 ,BC 与 y 轴相交于点 M,且 M 是 BC 的中点, A、B、D 三点的坐标分别是 A（ -1,0）,B -1 ,2,D 3,0,连接 DM ,并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON,如抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得 PA= PC如存在,求出点P 的坐标；如不存在请说明理由；（3）设抛物线
13、与 x 轴的另 个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的个动点,当点Q 在什么位置时有 QE QC 最大？并求出最大值；y E N B M C D x A O 图名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12如图, 抛物线 y=学习必备欢迎下载1 x 2+bx 2 与 x 轴交于 A、B 两点, 与 y 轴交于 C 点,且 A（一 1,0）2求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；判定 ABC的外形,证明你的结论；名师归纳总结 点 Mm,0是x轴上的一个动点,当CM+DM 的值最小时,求m的值第 9 页,共 10 页- - -
14、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 13.在平面直角坐标系中,如图学习必备欢迎下载OABC ,相邻两边1,将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上,设抛物线y=ax 2+bx+ca0过矩形顶点B、C. （1）当 n1 时,假如 a=1,试求 b 的值；（2）当 n2 时,如图 2,在矩形 OABC 上方作一边长为1 的正方形 EFMN ,使 EF 在线段CB 上,假如 M,N 两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转,使得点经过原点 O,试求出当 n=3 时 a 的值； 直接写出 a 关于 n 的关系式 . B 落到 x 轴的正半轴上,假如该抛物线同时y名师归纳总结 CyABxCD = 1.1 厘 yM NBxOCABx第 10 页,共 10 页CFEO图 1 OA图 3 图 2 - - - - - - -