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1、集合、基本初等函数、导数知识梳理集合1_234_1xAxBABA BA（）元素与集合的关系：属于（ ）和不属于（）（）集合中元素的特性：_ 、_ 、_集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：_ 、_ 、_（）集合的表示方法：_ 、_ 、_ 、_子集：若，则，即 是 的子集。、若集合中有注关系集合集合与集合00_23, , ,_ .4_/nAAAA BCABBCACAB ABxBxAA BAB ABABABx xA x BAA个元素，则集合 的子集有个，真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则
2、是 的真子集。集合相等：且定义：且交集 性质：运算_,_/_()_- _/()_()_UUUUAABBA ABA ABBABABAABx xA x BAAAABBA ABA ABBABABBCard ABC Ax x UxAAC AAC AAC，定义：或并集 性质：，定义：且补集 性质：，()_()()_(),( _ )()()UUUUUUUC AC ABC AC B C ABC AC B，函数与导数一、映射1映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合 B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 .2象与原象： 如果f:AB是一个 A到 B的映射， 那
3、么和 A中的元素a对应的叫做名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 象，叫做原象。二、函数1定义：设A、B 是，f:AB 是从 A 到 B 的一个映射，则映射f:AB 叫做 A 到 B的，记作 .2函数的三要素为、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。3函数的表示法有、。4函数的定义域就是使函数式的集合 .三、单调性1定义一：如果函数yf (x) 对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2
4、，当x1、x2时， 都有，则称f (x) 在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个；都有，则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 . 若函数f(x) 在整个定义域内只有唯一的一个单调区间，则f(x) 称为 . 2，定义二：如果函数yf (x) 对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1、0). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - (2) 性质：aann)(； 当n为奇
5、数时，aann； 当n为偶数时，nna_ 六，指数：(1) 规定： a0(a0) ； a-p；(0,mnmnaaam.、(2) 运算性质： aaaasrsr,0(a0, r、sQ)aaasrsr, 0()(a0, r、sQ) rbababarrr,0,0()(a0, r、sQ)注：上述性质对r 、sR均适用 .七，指数函数： 定义： 函数称为指数函数， 1) 函数的定义域为；2) 函数的值域为；3) 当_时函数为减函数，当_时为增函数 . 函数图像：1) 过点，图象在；2) 指数函数以为渐近线 ( 当10a时，图象向无限接近x轴，当1a时，图象向无限接近x轴) ；3)函数xxayay与的图象关
6、于对称 . 函数值的变化特征：10a1a时0 x时0 x时0 x时0 x时0 x时0 x八，对数：(1) 定义：如果Nab)1, 0(aa且，那么称为，记作，其中a称为对数的底，N称为真数 . 以 10 为底的对数称为常用对数，N10log记作 _ 以无理数)71828.2(ee为底的对数称为自然对数，Nelog记作 _(2) 基本性质： 真数 N为 (负数和零无对数) ；01loga；1logaa； 对数恒等式：NaNaloglogNaa_ 作用：把不是同底的指对数变成同底(3) 运算性质：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
7、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - loga(MN)_；logaNM_；lognMa (nR). 换底公式： logaN (a0，a1，m0，m1，N0) 换底公式的衍生公式：3241231loglogloglognnaaaaaaaa_logmnaanbbm .九，对数函数： 定义： 函数称为对数函数， 1) 函数的定义域为_ ；2) 函数的值域为；3) 当_时，函数为减函数，当_时为增函数；4) 函数xyalog与函数) 1,0(aaayx且互为反函数 . 1) 图象经过点 ( )， 图象在； 2) 对数函数以为渐
8、近线 ( 当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴) ；4) 函数ylogax与的图象关于x轴对称 函数值的变化特征：10a1a时1x时1x时10 x时1x时1x时10 x十、函数图象变换1平移变换：口诀：_ 【1，特别注意函数与曲线的上下平移区别；2，解析式内的变化只针对1 倍 x 和 y】水平变换： y f(x)yf(x a) (a0) yf(x)-yf(x a) (a0) 竖直变换 : yf(x)-yf(x) b (b0) yf(x)-yf(x) b (b0) 2对称变换： yf(x)-yf(x) y f(x)-yf(x) y f( x)-yf(x) yf -1(
9、x)-yf(x) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - ( )yf x-1()yfxy|f(x)|-yf(x) yf(|x|)-yf(x) 3伸缩变换： 振幅变换：sin()ywx-sin()yAwx 周期变换：sin()yAx-sin()yAwx【1，周期变换只是x 的系数在变其他不变；2，w 增大周期减小】十一，周期性和对称性周期定义： 若函数 f(x) 对定义域内任意一个x 都满足 _,则称 T（T0）为函数 f
10、(x) 的周期常见的周期递推式：若xafxf=2Ta若1()(0)( )f xaaf x= 2Ta；若1()(0)( )f xaafx= 则2Ta. , 1( )()1( )f xf xaf x=则 T=4a【借助三角函数】对称性： ，对称点：()()( )(,)22ab Mf xaf bxMfx函数关于点对称，对称轴：()()f xaf bx= 函数 f(x) 关于直线2abx对称【强调】：注意公式之间的区别：1，周期递推式中的x 的系数为 _;对称递推式中的 x 的系数为 _；2，对称性中推对称点和对称轴的公式结构的区别类比“三角函数图像”得：若( )yfx图像有两条对称轴,()xa xb
11、 ab，则( )yf x必是周期函数，且一周期为2 |Tab；若( )yfx图像有两个对称中心( ,0),( ,0)()A aB bab，则( )yf x是周期函数，且一周期为2 |Tab；如果函数( )yf x的图像有一个对称中心( ,0)A a和一条对称轴()xb ab，则函数( )yf x必是周期函数，且一周期为4 |Tab；【提示】：遇到一个函数具有周期性，对称性（对称点，对称轴）中的任意两个，一般可借助三角函数作为特征函数解决问题。十二，导数1导数的概念：函数y)(xf的导数)(xf，就是当 x0 时，函数的增量y 与自变量的增量 x的比xy的， 即)( xf=_ 【注意保证横纵增量
12、的统一】2导数的几何意义：设函数y)(xf在点0 x处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00yxM处的 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4求导数的方法(1) 八个基本求导公式)(C；)(nx；(n Q) )(sin x，)(cos x)(xe，)(xa)(ln x，)(logxa(2) 导数的四则运算)(vu )(xCf)(uv，)(vu)0(v(3) 复合函数的导数设)(xu在点 x 处
13、可导，)(ufy在点)(xu处可导，则复合函数)(xf在点 x 处可导，且)( xf _，即xuxuyy.5 函数的单调性 函数 y)( xf在某个区间内可导，若)(xf在区间 D上单调递增=_恒成立若)(xf在区间 D上单调递减 =_恒成立 (2) 如果在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf . (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数)(xf的； 求)( xf，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；【找出所有对导数正负情况有影响的零根】 把函数)(xf的间断点（即)(xf的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(xf的定义区间分
14、成若干个小区间；【注意 1，穿针引线方式由 _确定 2，注意重根问题】 确定)(xf在各小开区间内的， 根据)(xf的符号判定函数)(xf在各个相应小开区间内的增减性 .6可导函数的极值 极值的概念：极值点对应的导数一定为0（极值点一定是导数方程的根），导数方程的根不一定是极值点（可疑点） 求可导函数极值的步骤： 求导数)(xf； 求方程)(xf0 的； 检验)(xf在方程)( xf0 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y)(xf在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
15、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 数 y)(xf在这个根处取得 . 7函数的最大值与最小值： 设 y)(xf是定义在区间a ,b 上的函数， y)(xf在(a ,b ) 内有导数，则函数y)(xf在a ,b 上有最大值与最小值；但在开区间内有最大值与最小值(2) 求最值可分两步进行： 求 y)(xf在 (a ,b )内的值； 将 y)(xf的各值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 . (3) 若函数 y)(xf在a ,b 上单调递增，则)(af为函数的，)(bf
16、为函数的；若函数y)(xf在a ,b 上单调递减，则)(af为函数的，)(bf为函数的 . 附. 指对函数与幂函数的图像与性质对比表表1 指数函数0,1xyaaa对数数函数log0,1ayx aa定义域xR0,x值域0,yyR图象性质过定点(0,1)过定点(1,0)减函数增函数减函数增函数(,0)(1,(0,)(0,1)xyxy时，时，(,0)(0,1)(0,)(1,)xyxy时，时，(0,1)(0,)(1,)(,0)xyxy时，时，(0,1)(,0)(1,)(0,)xyxy时，时，abababab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 表 2 幂函数()yxRpq00111pq为奇数为奇数奇函数pq为奇数为偶数pq为偶数为奇数偶函数第一象限性质减函数增函数过定点01（ ， ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -