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1、1 第一章集合一、集合的概念：把具有确定性 的一些元素组成的总体叫集合。练习：（1）大于 5 小于 13 的偶数；（2）安徽省的马路注：不含任何元素的集合叫做空集。二、集合的记法：用 A、B、C 等大写字母表示集合，用 a,b,c等小写字母表示集合中的元素。a 若是 A 中的元素，记作aA；a 若不是 A 中的元素，记作aA。识记：（1）N 表示全体非负整数集（或自然数集）；（2）N*或 N表示全体正整数集；（3）Z 表示全体整数集；（4）Q 表示全体有理数集；（5）R 表示全体实数集；（6）表示空集。三、集合的描述：1语言法例：（1）地球上的四大洋（2）（x-1）（x+2）=0 的所有实数根
2、。2列举法：把元素一一列举出来用 括起来例：（1）太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋（2）1，-2 练习：（1）用语言法描述集合1，3，5，7（2）用列举法表示不等式x-73 的解集。3描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。若根据上下文关系明确，则可省略其取值范围。例：由大于10 小于 20 的所有整数组成的集合：A=xZ|10 x20 或 A=x|10 x20 练习：写出不等式4x-53 的解集四、集合间的关系：2相等：若集合A 与集合 B 中的元素都是一样的。则集合A 与集合 B 相等，记作A=B。3真包含：若集
3、合 AB，xB，但 xA，则称 A 是 B 的真子集，记作：AB（或 BA）。注：空集是任何集体的真子集。识记：（1）任何一个集合是它本身的子集，即AA（2）若 AB，且 BC，则 AC 练习：（1）写出集体 a,b 的所有子集，并指出哪些是它的真子集。（2）用适当的符号填空：b_a,b,c；b_a,b,c；0_ x|x2=0；0_ x|x2=0；0_ x|x2=x；1包含：若集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则集合 A 是集合 B 的子集，记作 AB（或 BA），读作 A含于 B（或 B 包含 A）。图形表示如右：A B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共
4、 8 页 -2 五、集合的基本运算练习：1已知集合A=3，5，集合 B 满足 AB=3，5，则集合B 有_个；2已知全集U=A B=xN|10 x0;a1;xa前的系数必须是1 练习：（1）判断下列函数是否为指数函数。2yx8xy(21)xya（12a且1a）(4)xyxy1225xyxyx10 xy1,21xaxxayxyayay（2）求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy（2）11()2xy（3）3xy（4）1(0,1)1xxayaaa图像及性质：10a1a图像定义域R 值域),0(性质(1)过顶点（0，1），即0 x时，1y（2）在R上是减函数（2）在R上是增函数解题要点：（1）当
5、底数a大小不定时，必须分1a和10a两种情况（2）当10a时，;0,yx当1a时，0,yx（3）指数函数xay与)1,0()1(aaayx且的图像关于y轴对称（4）一般地，当0a时，将函数()yf x的图象向左平移a个单位得到()yf xa的图象；当0a时，将函数()yf x的图象向右平移|a个单位，得到()yf xa的图象。即将指数函数2xy的图象向左平移1 个单位长度，就得到函数12xy的图象；将指数函数2xy的图象向右平移2 个单位长度，就得到函数22xy的图象。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -4 练习：（1）说明函数34xy图象与函数4xy图象的
6、关系；（2）将函数21()3xy图象的左移2 个单位，再下移1 个单位所得函数的解析式是；（3）画出函数1()2xy的草图。（4）说出下列函数图象之间的关系：11yx与1yx；3xy与3x ay；22yxx与22yxx2幂函数一般地，函数yx叫做幂函数，其中 x 是自变量，a是常数幂函数底数是自变量，指数是常数；指数函数指数是自变量，底数是常数。yx2yx3yx12yx13yx1yx2yx定义域值域奇偶性单调性特殊点性质：所有的幂函数在(0,+)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);2当 为奇数时,幂函数为奇函数,当 为偶数时,幂函数为偶函数.3.如果 0,则幂函数，在(0,+)上为增函数
7、;如果 1 01 0 且 a1）叫做对数函数对数函数ylogax 是指数函数 yax（a0 且 a1）的反函数，所以底数 a同样必须满足a0 且 a1 的条件 指数函数的值域（0，），这时变成了对数函数的定义域，而指数函数的定义域实数集R，这时变成了对数函数的值域练习：求下列函数的定义域：（1）ylog（x2）2322xx；（2）y)(log14axa；（3）y)61(log231xx总结：求函数的定义域应注意以下问题：分式中分母不等于零；偶次根式中被开方数大于或等于零;指数为零的幂的底数不等于零；对数的底数大于零且不等于1；对数的真数大于零对数函数的图象及性质：a10a0，a1）的反函数f1
8、（x）（2）已知 logm5logn5，试比较 m 与 n 的大小（3）设方程 2xx30 的根为，方程 log2xx30 的根为，求 的值指数函数与对数函数的性质：（1）函数 yax（a0 且 a1）与 y logax（a0 且 a1）互为反函数，其图象关于直线 yx 对称，指数函数的定义域与值域是其相应对数函数的值域与定义域（2）对数函数与指数函数均为非奇非偶函数（3）指数函数yax（a0 且 a1）与 y（a1）x（a0 且 a1）的图象关于y 轴对称（4）指数函数yax（a0 且 a1）在 y 轴右侧部分，图象越在上方，其底数越大；对数函数 ylogax（a0，a1）在 x 轴上方部分
9、，图象越在下边其底数越大（5）对于指数幂、底可以取1，也允许取负值；而在指数函数中底数必须是不等于1的常数（6）图象对比：过点（1，0），（a，1）y 轴是渐近线a1 时由左向右逐渐上升，0a0曲线向上向下无限延伸值域 yR曲线恒过定点（1，0）loga10，即 x1 时，y 0a1 时，曲线逐渐上升a1 时，函数递增；0a1 时，曲线逐渐下降0a0）或向右（a0）平移|a|个单位可得如ylog2（x1）的图象由ylog2x 的图象沿x轴向左平移1 个单位而得翻折变换：y|f（x）|，将 yf（x）的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到 x 轴上方，其他部分不变如ylgx 和 y|lgx|的图
10、象对称变换：y f（x），作 yf（x）的图象关于x 轴的对称图形即可yf（x），作 yf（x）的图象关于y轴对称即可 y f（x），作 yf（x）的图象关于原点的对称图形即可原函数与反函数性质：原函数的定义域、值域、对应法则，分别是其反函数的值域，定义域，逆对应法则原函数的图象与其反函数的图象关于yx 对称原函数增，反函数增；例y2x，ylog2x原函数是奇函数，反函数是奇函数；原函数是偶函数，反函数不存在（f（x）a，x0 除外）练习：求下列函数的反函数：（1）y3222xx，x（1，）;（2）ylog2（x22x3），x（，1 求函数 y82log221xx的递增区间注意：利用“同增异减
11、”性的方法求复合函数的单调性，一定要先考查定义域不等式一、一元一次不等式：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1。用数轴表示解或解集例：4)1(5)3(3xx；13421xx；126231xxx1.m 为何正整数时，关于x 的方程222xmxx的解为非负数；2.关 于 x的 一 元 一 次 方 程 4x-m+l=3x-1的 解 是 负 数，则 m的 取 值 范 围二、一元一次不等式组名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -8（1）51221)1(345xxxx（2）,75674,38x504xxx（3）若不等式组232axax无解，求 a 的取值范围（a
12、2）。（4）k 取什么整数时，解方程组9114372yxkyx得到 x,y 值都大于 3 且小于 3三、一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)和 ax2+bx+c0)的解集的情况。设 f(x)=ax2+bx+c(a0),且设方程 f(x)=0 在 0 时的两个根分别是x1、x2，且 x1x2。b24ac 0 0 0f(x)0 的解集x|xx1 或 xx2x|xb2aR f(x)0 的解集x|x1x x2y=f(x)的图象练习：1、已知集合A xx25x40，B xx25x60，则 AB2、(1998 年高考题)设 ab，解关于x 的不等式：a2x+b2(1x）a xb（1x）2四、绝对值不等
13、式|ax+b|c(c0)ax+bc 或 ax+b c|ax+b|c(c0)c ax+b c（还要根据a 的取值进行讨论）。练习：1、已 知 集 合 A x x 5，则 A B 2、已知集合Ax x(m 1)22(m 1)22，Bxx23(x1)x+2(3m+1)0，xR，若A B，求实数 m 的取值范围。3、2120 xx321xx625xx1425xxx或1725xxxx或或分别求出以上各不等式的交集和并集。4、已知集合A=x|-2x5，B=x|m+1 x2m-1，若 B A，求实数m 的取值范围。O x y O x y xxO x y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -