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1、13.2 数列的极限知识梳理1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 an的项 an无限地趋近于某个常数a（即|ana|无限地接近于0），那么就说数列an以 a 为极限.注：a 不一定是 an中的项.2.几个常用的极限：nlimC=C（C 为常数）;nlimn1=0;nlimqn=0（|q|1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当nliman=a,nlimbn=b 时，nlim（anbn）=ab;nlim（an bn）=ab;nlimnnba=ba（b0）.特别提示（1）an、bn的极限都存在时才能用四则运算法则；（2）可推广到有限多个.点击双基1.下列极限
2、正确的个数是nlimn1=0（0）nlimqn=0 nlimnnnn3232=1 nlimC=C（C 为常数）A.2 B.3 C.4 D.都不正确解析:正确.答案:B 2.nlimn（131）（141）（151）（121n）等于A.0 B.1 C.2 D.3 解析:nlimn（131）（141）（151）（121n）=nlim n32435421nn=nlim22nn=2.答案:C 3.下列四个命题中正确的是A.若nliman2A2，则nlimanA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -B.若 an0，nlimanA，则 A0 C.若nlimanA，则nli
3、man2A2D.若nlim（anb）0，则nlimannlimbn解析:排除法，取an（）n，排除 A；取 ann1，排除；取an bnn，排除 D答案:C 4.（2005 年春季上海,2）nlimnn212=_.解析:原式=nlim2)1(2nnn=nlim221212nnn=0.答案:0 5.（2005 年春季北京,9）nlim32222nnn=_.解析:原式=nlim23221nn=21.答案:21思考讨论求数列极限时，如是不定型（00,等），应先变形，再求极限，一般应如何变形？典例剖析【例 1】求下列极限：（1）nlim757222nnn;（2）nlim（nn2n）;（3）nlim（2
4、2n+24n+22nn）.剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因nn2与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -解:（1）nlim757222nnn=nlim2275712nnn=52.（2）nlim（nn2n）=nlimnnnn2=nlim1111n=21.（3）原式=nlim22642nn=nlim2)1(nnn=nlim（1+n1）=1.评述:对于（1）要避免下面两种错误：原式
5、=)75(lim)72(lim22nnnnn=1,nlim（2n2+n+7）,nlim（5n2+7）不存在，原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：nlim（nn2 n）=nlimnn2nlimn=0;原式=nlimnn2nlimn=不存在.对于（3）要避免出现原式=nlim22n+nlim24n+nlim22nn=0+0+0=0 这样的错误.【例 2】已知数列 an是由正数构成的数列，a1 3，且满足 lganlgan1lgc，其中n 是大于 1 的整数，c 是正数（1）求数列 an的通项公式及前n 和 Sn；（2）求nlim1122nnnnaa的值解:（1）由已知得anan1,an是
6、以 a13，公比为 c 的等比数列，则an3n1.Sn).10(1)1(3)1(3cccccnn且（2）nlim1122nnnnaanlimnnnncc323211.当 c=2 时，原式41;当2 时，原式nlimcccnn3)2(23)2(11c1;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -当 02 时，原式=nlim11)2(32)2(31nnccc21.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例 3】已知直线 l:x ny=0（n N*）,圆 M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x 1）2,又 l 与 M 交于点 A、B，l 与交于点
7、C、D，求nlim22|CDAB.剖析:要求nlim22|CDAB的值，必须先求它与n 的关系.解:设圆心 M（1,1）到直线 l 的距离为 d,则 d2=1)1(22nn.又 r=1,|AB|2=4（1d2）=218nn.设点 C（x1,y1）,D（x2,y2），由2)1(0 xynyxnx2（2n+1）x+n=0,x1+x2=nn12,x1x2=1.（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=214nn,（y1y2）2=（nx1nx2）2=414nn,|CD|2=（x1x2）2+（y1y2）2=41n（4n+1）（n2+1）.nlim22|CDAB=nlim225)1)(14(8nnn=n
8、lim2)11)(14(8nn=2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求22|CDAB,这就要求掌握求弦长的方法.【例 4】若数列 an的首项为 a1=1,且对任意 nN*,an与 an+1恰为方程x2bnx+cn=0 的两根,其中 0|c|1,当nlim（b1+b2+bn）3,求 c 的取值范围.解:首先,由题意对任意n N*,anan+1=cn恒成立.121nnnnaaaa=nnaa2=nncc1=c.又 a1a2=a2=c.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -a1,a3,a5,a2n1,是首项为 1,公比为 c 的等比数列,a2
9、,a4,a6,a2n,是首项为c,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意nN*,an+an+1=bn恒成立.nnbb2=132nnnnaaaa=c.又 b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,b1,b3,b5,b2n1,是首项为1+c,公比为 c 的等比数列,b2,b4,b6,b2n,是首项为2c,公比为 c 的等比数列,nlim（b1+b2+b3+bn）=nlim（b1+b3+b5+）+nlim（b2+b4+）=cc11+cc123.解得 c31或 c1.0|c|1,0c31或 1c0.故 c 的取值范围是（1,0）（0,31.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c
10、的不等式,即将 bn的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.闯关训练夯实基础1.已知 a、b、c 是实常数，且nlimcbncan=2,nlimbcncbn22=3,则nlimacncan22的值是A.2 B.3 C.21D.6 解析:由nlimcbncan=2,得 a=2b.由nlimbcncbn22=3,得 b=3c,c=31b.ca=6.nlimacncan22=nlim22nacnca=ca=6.答案:D 2.（2003 年北京）若数列an的通项公式是an=2)23()1(23nnnnn,n=1,2,则nlim（a1+a2
11、+an）等于A.2411B.2417C.2419D.2425名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -解析:an=),(22323),(2)23(23为偶数为奇数nnnnnnnnnn即 an=).3),(2(为偶数为奇数nnnna1+a2+an=（21+23+25+）+（32+34+36+）.nlim（a1+a2+an）=411213132122221+91191=.2419答案:C 3.（2004 年春季上海）在数列 an中，a1=3，且对任意大于1的正整数 n,点（na,1na）在直线 xy3=0 上，则nlim2)1(nan=_.解析:由题意得na1na=
12、3（n2）.na是公差为3的等差数列，1a=3.na=3+（n1）3=3n.an=3n2.nlim2)1(nan=nlim12322nnn=nlim21213nn=3.答案:3 4.（2004 年 上海,4）设等比数列 an（nN）的公比 q=21,且nlim（a1+a3+a5+a2n1）=38,则 a1=_.解析:q=21,nlim（a1+a3+a5+a2n1）=4111a=38.a1=2.答案:2 5.（2004 年湖南,理 8）数列 an中,a1=51,an+an+1=156n,nN*,则nlim（a1+a2+an）等名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页
13、 -于A.52B.72C.41D.254解 析:2（a1+a2+an）=a1+（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+（an1+an）+an=51+256+356+n56+an.原式=2151+511256+nliman=21（51+103+nliman）.an+an+1=156n,nliman+nliman+1=0.nliman=0.答案:C 6.已知数列 an满足（n1）an+1=（n+1）（an1）且 a2=6,设 bn=an+n（nN*）.（1）求 bn 的通项公式；（2）求nlim（212b+213b+214b+21nb）的值.解:（1）n=1 时，由（n1）an+1=（n+
14、1）（an1）,得 a1=1.n=2 时，a2=6 代入得 a3=15.同理 a4=28,再代入 bn=an+n,有 b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想 bn=2n2.要证 bn=2n2,只需证 an=2n2n.当 n=1 时，a1=2121=1 成立.假设当 n=k 时，ak=2k2k 成立.那么当 n=k+1 时，由（k1）ak+1=（k+1）（ak 1）,得 ak+1=11kk（ak1）=11kk（2k2k1）=11kk（2k+1）（k 1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2（k+1）.当 n=k+1 时，an=2n2n 正确，从而bn=2n2.（2）nlim（2
15、12b+213b+21nb）=nlim（61+161+2212n）=21nlim311+421+)1)(1(1nn=41nlim131+2141+11n11n=41nlim1+21n111n=83.培养能力7.已知数列 an、bn都是无穷等差数列,其中 a1=3,b1=2,b2是 a2与 a3的等差中项,且名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -nlimnnba=21,求极限nlim（111ba+221ba+nnba1）的值.解:an、bn的公差分别为d1、d2.2b2=a2+a3,即 2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,2d23d1=2.又nlim
16、nnba=nlim21)1(2)1(3dndn=21dd=21,即 d2=2d1,d1=2,d2=4.an=a1+（n1）d1=2n+1,bn=b1+（n1）d2=4n2.nnba1=)24()12(1nn=41（121n121n）.原式=nlim41（1121n）=41.8.已知数列 an、bn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中 pq 且 p1,q1,设 cn=an+bn,Sn为数列 cn的前 n 项和，求nlim1nnSS.解:Sn=ppan1)1(1+qqbn1)1(1,.1)1(1)1(1)1(1)1(1111111qqbppaqqbppaSSnnnnnn当 p1 时，p
17、q0,得 0pq1,上式分子、分母同除以pn1，得.1)(11)11(1)1(1)1(11111111111qpqpbppaqpqpbpppaSSnnnnnnnnnnlim1nnSS=p.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -当 p1 时，0qp1,nlim1nnSS=qbpaqbpa11111111=1.探究创新9.已知数列 an满足 a1=0,a2=1,an=221nnaa,求nliman.解:由 an=221nnaa,得2an+an1=2an1+an2,2 an+an1是常数列.2a2+a1=2,2an+an1=2.an32=21（an132）.an3
18、2是公比为21,首项为32的等比数列.an32=32（21）n1.an=3232（21）n1.nliman=32.思悟小结1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.2.熟练掌握如下几个常用极限：（1）nlimC=C（C 为常数）;（2）nlim（n1）p=0（p0）;（3）nlimdcnbankk=ca（kN*,a、b、c、dR 且 c0）;（4）nlimqn=0（|q|1）.教师下载中心教学点睛1.数列极限的几种类型：,00,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分
19、后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -拓展题例【例题】已知等比数列 an的首项为a1,公比为 q,且有nlim（qa11qn）=21,求首项 a1的取值范围.解:nlim（qa11 qn）=21,nlimqn一定存在.0|q|1 或 q=1.当 q=1 时，21a1=21,a1=3.当 0|q|1 时，由nlim（qa11 qn）=21得qa11=21,2a11=q.0|2a11|1.0a11 且 a121.综上,得 0a11 且 a121或 a1=3.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -