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1、1 集合及其表示方法知识精要1. 集合： 我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。集合中的各个对象叫做集合的元素。集合、元素以及关系的表示符号：集合常用大写英文字母A、B、C来表示，集合中的元素常用小写英文字母a、b、c来表示。如果a是集合A的元素，记作Aa，读作“a属于A” ；如果a不是集合A的元素，记作Aa，读作“a不属于A” 。2. 集合元素的特性（1）确定性： 元素与集合的从属关系是明确的（即Aa与Aa，二者必居其一） 。元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）。（2）互异性：集合中的元素是互不相同的（即一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象） 。（3）无序性：不
2、考虑集合中元素之间的顺序。3. 集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。4. 空集：空集不含元素。记作5. 集合的表示方法（1）列举法： 将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。例如：不等式0112x的正整数解的集合，可以表示成1 ，2，3，4，5。又如：方程组15yxyx的解组成的集合可表示为)3,2(。 a 与 a不同： a 表示一个元素，a 表示一个集合，该集合只有一个元素 元素与元素之间用逗号隔开，单元素集合不用逗号。（2）描述法： 在大括号内先写
3、出这个集合的元素一般形式，再画出一条竖线，在竖线后面写出集合中元素所共同具有的特性。其形式是x|x满足性质p。例如：方程062xx的解的集合，可表示为06|2xxx；又如：直线x+y=1 上的点组成的集合，可以表示为：1),(yxyx 注： 同一个集合，有时既可以用列举法又可以用描述法，那么何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不适合用描述法表示，只能用列举法。如集合,5,23,2232yxxyxx。（2）当集合中元素个数较少时，多用列举法。（3）当集合中元素个数较多时，都写出来太烦了，可写其中一部分元素，由此提供一定规律可用省略号代表余下的元素。如：从51 到
4、 100 的所有整数组成的集合：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2 100,53,52,51；所有正奇数组成的集合：,7 ,5 ,3 , 1。（4）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。注： 1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，即 锐角三角形 ，但不可写成 所有锐角三角形 或 锐角三角形集 ，因为集合符号“ ”已包含“所有”的意思；且“ ”就是集合的符号，
5、因而大括号内的文字描述，不应再用“全体”“所有”“全部”或“集”等术语。2）用描述法表示一个集合，必须认真找出集合中元素的公共属性，既要是每一元素所共有，又要不为集合外其它元素具有。例如将 1、3、5、7、9 所组成的集合表示为：小于 10 的自然数 就不对，因为1、3、5、7、9 虽然是小于10 的自然数，但尚有其他小于10 的自然数2、4、6、8 等不是集合中的元素。6. 常用数集的符号表示：数的集合简称数集。自然数集，记作N，不包括零的自然数组成的集合，记作N整数集，记作Z；正整数集，记作Z；负整数集，记作Z；有理数集，记作Q；正有理数集，记作Q；负有理数集，记作Q；实数集，记作R；正实
6、数集，记作R；负实数集，记作R. 精解名题例 1. 判断下列对象能否组成集合: (1) 不等式250 x的正整数解；(2) 方程012yx的解；(3) 数轴上非常靠近原点的点；(4) 使|1| x的值很小的x的值。注意：元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件例 2. 用或填空：(1) 0 0； (2) 0 ； (3) 0 N；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 -
7、- - - - - - - - 3 (4) -1 Z； (5) 2Q； (6) 0 N。注： 0、与区别：它们都表示集合。但0只有一个元素0；不含任何元素；是以空集作为元素的集合。例 3. 用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x的不等式| 5x的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22xxx的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数 y=|x|-3 的所有函数值组成的集合。例 4. 判断元素0， 1，（0， 1） 分别与集合A=x|y=x2+1,B=y|y=x2+1,C=(x,y)|y=x2+1之间的关系。注意：点集与数集的区别。集合中的元
8、素可以是数、点、图形甚至是集合。例 5. 已知集合22,Ax xx, 求x的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4 例 6. 已知集合2222,1,0,7,5,2,5AaaaBaaaA，求集合B。例 7. 用列举法表示下列集合：;,612|)1 (NxNxxA;,72|),()2(*NyNxyxyxB.,2| , 1|)3(2ZxxxyyC备选例题例 1、用适当的方法表示下列集合（ 1）大于 0 且不超
9、过6 的全体偶数组成的集合A（ 2）被 3 除余 2 的自然数全体组成的集合B（ 3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C例 2、已知集合2210,Ax axxxR，aR，若集合A中至多有一个元素，求a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5 例 3、设集合 A=(x,y)|x+y=6,NyNx, ，使用列举法表示集合A。例 4关于 x 的方程)0(02acbxax，当 a,b,c分别满足什么条件时解集为空集、含一个
10、集合、含两个集合？例 5、已知集合 A=01682xkx只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合 A。巩固练习一、选择题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 6 1、下列给出的对象中，能表示集合的是( ) A、一切很大的数 B、无限接近零的数C、聪明的人 D、方程22x的实数根2、给出下列命题：1) N 中最小的元素是 1；2) 若Na，则Na；3)若NaNb则 a+b的最小值是 2 其中所有正确命题的个数为
11、（）A、0 B、1 C、2 D、3 3、由4,2,2aa组成一个集合 A，A含有 3 个元素，则实数 a 的取值是（）A、1 B 、-2 C 、6 D、2 4、下列集合表示法正确的是（）A.1,2,2 B.全体实数 C. 有理数 D.不等式052x的解集为 052x 5、设 A=a, 则下列各式正确的是（）A、A0 B、Aa C、Aa D、a=A 6、集合 5|xNx 的另一种表示法是（）A、0，1，2，3，4 B、1，2，3，4 C 、0，1，2，3，4，5 D、1，2，3，4，5 7、由大于 -3 且小于 11 的偶数所组成的集合是（）A、x|-3x11,Qx B、x|-3x11 C 、x
12、|-3x11,x=2k,Nk D、x|-3x11,x=2k,Zk 8、下列说法正确的是（）某个村子里的年青人组成一个集合所有小正数组成的集合 ，和，表示同一个集合1 3 611,0.5,2 2 44这些数组成的集合有五个元素名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7 9、下面有四个命题：（）集合中最小的数是0；（）是自然数；（） ，是不大于的自然数组成的集合；（）,aN BNab则不小于 2其中正确的命题的个数是（）个个个个二、填空题10、已知集合 A=2，4，xx2 ，若A6，则 x=_ 11、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_ 12、方程0652xx的解集可表示为 _ 13、方程0)3)(2() 1(2xxx的解集中含有 _个元素。14、集合 41|xNx用列举法表示为 _ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -